Matematyka – wybrane zagadnienia

Matematyka – wybrane zagadnienia
Lista nr 5
Zadanie 1
Niech X = W0,1 oznacza przestrzeń wielomianów na odcinku 0,1 .
a.) Udowodnić, że funkcja  : X X  0,,  w1 , w2   max w1 (t )  w2 (t ) jest
t0,1
metryką w X.
ti
jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni (X, ), ale
i
i 1 2
nie jest ciągiem zbieżnym w (X, ).
n
b.) Wykazać, że ciąg wn (t )  
Zadanie 2
Niech X = C1([0,1]) będzie przestrzenią funkcji rzeczywistych mających w przedziale
[0,1] ciągłą pochodną.
a.) udowodnić, że x X  x(0)  max x(t ) jest normą w przestrzeni X.
0  t 1
b.) Niech Y = C([0,1]) będzie przestrzenią rzeczywistych funkcji ciągłych w
przedziale [0,1] z normą y Y  max y(t ) . Udowodnić, że odwzorowanie
0  t 1
Tx = x , gdzie x jest pochodną funkcji x jest ograniczonym operatorem
liniowym. Znaleźć jego normę.
Zadanie 5
Niech X będzie zespoloną przestrzenią unitarną. Udowodnić następujące własności
iloczynu skalarnego:
 x, y  X   C x,y    x, y 
 x, y, z  X x, y  z   x, y   x, z 
 x  X 0,x  0


x, y  X
x 
x, x 
x, y   x, x   y, y 
spełnia aksjomaty normy.
Zadanie 6
Udowodnić następujące twierdzenie (twierdzenie Pitagorasa):
Niech V będzie przestrzenią unitarną. Niech x1,…,xn będzie skończonym ciągiem
wektorów V takim, że (xi,xj) = 0 dla każdego i  j , i,j = 1,2,…,n. Wówczas
x1  x2  ...  xn
2
2
2
2
 x1  x21  ...  xn .
Wskazówka: Najpierw udowodnić twierdzenia dla n = 2, a uogólnić dla n, stosując
zasadzie indukcji matematycznej.
Zadanie 7
Niech w1 , w2 C1 2,3 (przestrzeń funkcji mających ciągłą pochodną), gdzie
w1 ( x)  3x 2  4 x  4 , w2 ( x)  2 x 2  2 x  7 . Obliczyć odległość miedzy funkcjami
w1, w2 stosując do wyznaczania tej odległości metrykę generowana przez następującą
normę:
a)
w  w0  max wx 
2 x3
3
b)
w 
 wx  dx
2
Zadanie 8
Sformułować twierdzenie o rzucie ortogonalnym dla przestrzeni Hilberta H.
Niech H = L2 0,1 . Korzystając z twierdzenia o rzucie ortogonalnym oraz z faktu, że
funkcje g1 ( x)  1 oraz g2 ( x)  x są liniowo niezależne, znaleźć najlepszą aproksymację
funkcji f ( x)  sin x funkcją g0 ( x)  ax  b w tej przestrzeni, tzn. taką, dla której norma
błędu jest minimalna.