O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch

O pewnych zastosowaniach
rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych
w ekonomii
1) Wielkość wytwarzanego dochodu narodowego D zależna jest od wielkości
produkcyjnego majątku trwałego M i nakładów pracy żywej Z. Funkcję D =
f (M, Z) nazywamy funkcją produkcji.
∂f
określa tzw. krańcową wydajność produkcyjnego
Pochodna cząstkowa ∂M
majątku trwałego. Z przybliżonej równości z różniczką wynika, że jest ona w
przybliżeniu równa przyrostowi dochodu narodowego, gdy nakłady produkcyjnego majątku trwałego wzrastają o jednostkę, przy czym nakłady pracy żywej
nie ulegają zmianie. Istotnie
f (M + 1, Z) − f (M, Z) ≈ df (M, Z; 1)
∂f
∂f
∂f
(M, Z) · 1 +
(M, Z) · 0 =
(M, Z) .
=
∂M
∂Z
∂M
∂f
Analogicznie, pochodna cząstkowa ∂Z
określa tzw. krańcową wydajność nakładów pracy żywej i w przybliżeniu jest równa przyrostowi dochodu narodowego spowodowanemu przyrostem nakładów pracy żywej o jednostkę przy niezmienionych nakładach produkcyjnego majątku trwałego.
W wielu badaniach ekonomicznych stosowana jest funkcja produkcji postaci
D = f (M, Z) = aM α Z β , gdzie a, α, β są stałymi takimi, że a > 0, 0 < α < 1,
0 < β < 1. W tym wypadku krańcowa wydajność produkcyjnego majątku
trwałego wynosi
∂f
= aαM α−1 Z β ,
∂M
a krańcowa wydajność pracy żywej —
∂f
= aβM α Z β−1 .
∂Z
2) Podobnie, jak elastyczność funkcji jednej zmiennej, określa się elastyczno∂f
ści cząstkowe funkcji wielu zmiennych. Jeżeli istnieje pochodna cząstkowa ∂x
,
i
i = 1, ..., n (f jest funkcją n zmiennych), to elastycznością cząstkową funkcji f
względem zmiennej xi nazywamy wyrażenie
∂f
xi
·
(x1 , ..., xn ) , i = 1, ..., n.
f (x1 , ..., xn ) ∂xi
(1)
Określa ona w przybliżeniu procentowy przyrost wartości funkcji, gdy zmienna
xi wzrasta o 1% przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych. Istotnie
wyrażenie (1) jest (na mocy definicji pochodnej cząstkowej) granicą:
f (x1 , ..., xi + ∆xi , ..., xn ) − f (x1 , ..., xn )
∆xi
lim
· 100% :
· 100% .
∆xi →0
f (x1 , ..., xn )
xi
1
Jeżeli popyt q na jakieś dobro zależy od ceny tego dobra oraz cen pozostałych
dóbr tego samego rodzaju, to możemy zapisać, że popyt jest funkcją n zmiennych
(cen) q = f (c1 , ..., cn ). Wówczas
ci
∂f (c1 , ..., cn )
·
f (c1 , ..., cn )
∂ci
jest elastycznością cząstkową popytu względem ceny i-tego dobra i określa przybliżoną procentową zmianę popytu na to dobro, gdy cena i-tego dobra wzrasta
o 1%.
3) Przypuśćmy, że przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby. Zysk osiągnięty
ze sprzedaży produkcji jest zależny od wielkości produkcji obu wytwarzanych
produktów. Załóżmy, że pomiędzy zyskiem a wielkością produkcji zachodzi zależność
Z (x1 , x2 ) = 4x1 + 5x2 + x1 x2 − x21 − x22 ,
gdzie x1 oznacza wielkość produkcji pierwszego wyrobu, a x2 — drugiego wyrobu. Należy określić optymalny plan produkcji przedsiębiorstwa, przyjmując za
kryterium optymalności zysk.
Ponieważ oczywiście musi być x1 ­ 0 i x2 ­ 0, więc zbiór
D = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ­ 0 ∧ x2 ­ 0
jest zbiorem decyzji dopuszczalnych. Mamy wyznaczyć maksimum funkcji Z w
zbiorzeD. Stosowne rachunki pokazują, że funkcja Z ma maksimum w punkcie
13 14
13
3 , 3 . Zatem optymalny plan produkcji nakazuje wyprodukować 3 jednostek
14
pierwszego produktu i 3 jednostek drugiego produktu.
4) W wielu zagadnieniach ekonomicznych występuje konieczność wyznaczenia wzoru, który określałby zależność pomiędzy dwiema wielkościami, np. zależność między popytem na jakieś dobro a jego ceną, dochodem narodowym a
inwestycjami itp. Dysponując odpowiednimi danymi statystycznymi jesteśmy w
stanie wyznaczyć wzór opisujący te zależności. Pozwala nam na to tzw. metoda
najmniejszych kwadratów.
Niech X, Y oznaczają dwie wielkości ekonomiczne oraz niech x1 , ..., xn oraz
y1 , ..., yn będą wartościami odpowiednio zmiennej X i Y otrzymanymi z badań statystycznych. Metoda najmniejszych kwadratów polega na wyznaczeniu
parametrów funkcji f tak, by wyrażenie
S=
n
X
2
(yi − f (xi ))
i=1
przyjmowało wartość najmniejszą.
Zanim przystąpimy do rozwiązywania tego zagadnienia należy zaobserwować pewną tendencję do ”układania się”punktów (xi , yi ) wzdłuż jakiejś krzywej
np. prostej, krzywej wykłądniczej, potęgowej itp. W ten sposób określimy typ
funkcji, której parametry chcemy wyznaczyć.
2
Przypuśćmy, że do wyników obserwacji (xi , yi ) chcemy dopasować funkcję
liniową Y = aX + b. Musimy więc wyznaczyć parametry a, b. Zatem zgodnie z
metodą najmniejszych kwadratów wyznaczamy parametry a, b tak, by funkcja
dwóch zmiennych
n
X
2
S (a, b) =
(yi − axi − b)
i=1
przyjmowała wartość najmniejszą.
Obliczając pochodne cząstkowe tej funkcji mamy:
n
X
∂S
=
2 (yi − axi − b) (−xi )
∂a
i=1
i
X
∂S
=−
2 (yi − axi − b) .
∂b
Przyrównując je do zera, otrzymujemy układ równań:

n
P


xi (yi − axi − b) = 0
 −2
i=1
n
P


(yi − axi − b)
 −2
.
=0
i=1
Po przekształceniach otrzymujemy:

n
n
P
P


x2i + b
xi
 a


 a
i=1
n
P
=
n
P
=
i=1
n
P
i=1
xi + nb
i=1
xi yi
.
yi
i=1
Obliczając a z wzoru Cramera, a następnie b z drugiego równania dostajemy
P
P P
n xi yi − xi yi
a =
(2)
P
P 2 ,
n x2i − ( xi )
P
P
yi − a xi
b =
.
n
Mamy więc wyznaczone współrzędne punktu krytycznego funkcji S. Obliczmy
pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji S:
∂2S
∂a2
= −2
n
X
xi (−xi ) = 2
i=1
∂2S
∂a∂b
= −2
∂2S
∂b2
= −2
n
X
i=1
n
X
n
X
x2i ,
i=1
xi (−1) = 2
X
xi ,
(−1) = 2n.
i=1
Stąd hesjan funkcji S wyraża się wzorem
H (a, b) = 4n
n
X
x2i − 4
i=1
n
X
i=1
3
!2
xi
.
Pokażemy, że H (a, b) > 0. W tym celu udowodnimy następujący
LEMAT (nierówność Schwarza) Dla dowolnych ciągów n-wyrazowych a1 , ..., an ,
b1 , ..., bn liczb rzeczywistych zachodzi nierówność
!2
!
!
n
n
n
X
X
X
2
2
ai bi
¬
ai ·
bi ,
(3)
i=1
i=1
i=1
przy czym równość w (3) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wyrazy jednego z
ciągów są proporcjonalne do wyrazów drugiego ciągu.
Dowód. Zauważmy, że dla każdego x ∈ R zachodzi nierówność
n
X
2
(ai x + bi ) ­ 0,
i=1
bo lewa strona jest sumą liczb nieujemnych. Stąd dla każdego x ∈ R trójmian
!
n
n
n
X
X
X
2
b2i
ai bi · x +
ai x2 + 2
i=1
i=1
i=1
przyjmuje wartość nieujemną. Zatem ponieważ współczynnik przy x2 jest dodatni, więc wyróżnik ∆ tego trójmianu jest niedodatni. Stąd
!2
!
!
n
n
n
X
X
X
2
2
4
ai bi
−4
ai ·
bi ¬ 0,
i=1
i=1
i=1
co po podzieleniu stronami przez 4 daje (3). Ponadto równość w (3) jest równoważna warunkowi ∆ = 0, a więc równoważna jest temu, że istnieje x0 ∈ R
takie, że
n
X
2
(ai x0 + bi ) = 0.
i=1
Ponieważ wszystkie składniki po lewej stronie są nieujemne, więc ostatni warunek jest równoważny warunkowi
^
(ai x0 + bi ) = 0
i
i w konsekwencji
^
bi = −x0 ai ,
i
czyli (ai ) i (bi ) są proporcjonalnymi układami liczb.
Przyjmując teraz w powyższym lemacie ai = 1 oraz bi = xi dla i = 1, ..., n
otrzymujemy na mocy nierówności Schwarza
!2
n
n
X
X
xi
¬n·
x2i ,
(4)
i=1
i=1
4
co daje H (a, b) ­ 0. Ponadto równość zachodziłaby tylko wtedy, gdy liczby
układu (xi ) są proporcjonalne do liczb układu złożonego z samych jedynek, zatem tylko wtedy, gdy x1 = ... = xn . Sytuacja taka jest dla nas nieinteresująca, bo
z jednej strony świadczy o błędnie przeprowadzonych badania statystycznych,
a z drugiej strony w takiej sytuacji wszystkie punkty (xi , yi ) leżą na prostej
pionowej, czyli nie ma sensu szukanie prostej postaci Y = aX + b, która leży
możliwie blisko tych punktów. Zatem w (4) zachodzi nierówność ostra, co daje
H (a, b) > 0. Zatem na mocy warunku dostatecznego istnienia ekstremum funkcja S ma ekstremum w punkcie (a, b) danym równościami (2).Ponadto jest to
minimum, bo
∂2S
(a, b) > 0.
∂a2
Ostatecznie wzory (2) dają nam minimum funkcji S, czyli współczynniki opisujące szukaną prostą.
Przykład. W pewnym zakładzi przemysłowym dokonano pomiarów zużycia
wody przy produkcji pewnego wyrobu i otrzymano następujące dane (X —
wielkość produkcji w tysiącach sztuk, Y = Y — zużycie wody w tysiącach
metrów sześciennych wody): (1, 8) , (2, 15) , (3, 8) , (4, 10) , (5, 22) , (6, 14) , (7, 17) ,
(8, 28) , (9, 22) , (10, 26). Rozkład tych punktów na płaszczyźnie wskazuje, że leżą
wzdłuż pewnej prostej. Podstawiając do wzorów (2) otrzymujemy
a = 1, 96 , b = 6, 22,
czyli teoretycznie zużycie wody w zależności od wielkości produkcji wyraża się
wzorem
Y = 1, 96X + 6, 22.
Można więc przewidywać, że przy wielkości produkcji 5, 5 tysiąca sztuk zużycie
wody wyniesie
Y = 1, 96 · 5, 5 + 6, 22 = 17.
5