Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K.
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K,
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Definicja
Wektor α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk nazywamy kombinacja̧
liniowa̧ wektorów v1 , v2 , . . . , vk o współczynnikach α1 , α2 , . . . , αk .
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Definicja
Wektor α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk nazywamy kombinacja̧
liniowa̧ wektorów v1 , v2 , . . . , vk o współczynnikach α1 , α2 , . . . , αk .
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1 , v2 , . . . , vk
oznaczamy przez
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Definicja
Wektor α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk nazywamy kombinacja̧
liniowa̧ wektorów v1 , v2 , . . . , vk o współczynnikach α1 , α2 , . . . , αk .
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1 , v2 , . . . , vk
oznaczamy przez
Lin(v1 , v2 , . . . , vk )
Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Niech (V , +) - przestrzeń liniowa nad ciałem K. Niech
α1 , α2 , . . . , αk ∈ K, v1 , v2 , . . . , vk ∈ V .
Definicja
Wektor α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk nazywamy kombinacja̧
liniowa̧ wektorów v1 , v2 , . . . , vk o współczynnikach α1 , α2 , . . . , αk .
Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów v1 , v2 , . . . , vk
oznaczamy przez
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) := {α1 ·v1 +α2 ·v2 +· · ·+αk ·vk : α1 , . . . , αk ∈ K}.
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk lub podprzestrzenia̧ generowana̧ przez układ
wektorów v1 , v2 , . . . , vk .
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk lub podprzestrzenia̧ generowana̧ przez układ
wektorów v1 , v2 , . . . , vk .
Definicja
Skończony niepusty układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny (ozn. lnz), jeśli spełniony jest warunek:
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk lub podprzestrzenia̧ generowana̧ przez układ
wektorów v1 , v2 , . . . , vk .
Definicja
Skończony niepusty układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny (ozn. lnz), jeśli spełniony jest warunek:
∀α1 , . . . , αk ∈ K α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk = O ⇒
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk lub podprzestrzenia̧ generowana̧ przez układ
wektorów v1 , v2 , . . . , vk .
Definicja
Skończony niepusty układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny (ozn. lnz), jeśli spełniony jest warunek:
∀α1 , . . . , αk ∈ K α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk = O ⇒
α1 = α2 = . . . = αk = 0.
Uwaga. Dla dowolnego układu wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V zbiór
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni (V , +).
Nazywamy ja̧ podprzestrzenia̧ rozpiȩta̧ na wektorach
v1 , v2 , . . . , vk lub podprzestrzenia̧ generowana̧ przez układ
wektorów v1 , v2 , . . . , vk .
Definicja
Skończony niepusty układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny (ozn. lnz), jeśli spełniony jest warunek:
∀α1 , . . . , αk ∈ K α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk = O ⇒
α1 = α2 = . . . = αk = 0.
Definicja
Układ wektorów jest liniowo zależny (ozn. lz), jeśli nie jest liniowo
niezależny.
Uwaga. Układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów vi można
zapisać jako kombinacjȩ liniowa̧ pozostałych.
Uwaga. Układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów vi można
zapisać jako kombinacjȩ liniowa̧ pozostałych.
Uwaga. Jeżeli układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny, to układ wektorów vi1 , vi2 , . . . , vik , gdzie
1 ¬ i1 < i2 < . . . < ij ¬ k, jest liniowo niezależny.
Uwaga. Układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów vi można
zapisać jako kombinacjȩ liniowa̧ pozostałych.
Uwaga. Jeżeli układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny, to układ wektorów vi1 , vi2 , . . . , vik , gdzie
1 ¬ i1 < i2 < . . . < ij ¬ k, jest liniowo niezależny.
Definicja
Układ wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) nazywamy baza̧
(skończona̧) przestrzeni V , jeśli
Uwaga. Układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów vi można
zapisać jako kombinacjȩ liniowa̧ pozostałych.
Uwaga. Jeżeli układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny, to układ wektorów vi1 , vi2 , . . . , vik , gdzie
1 ¬ i1 < i2 < . . . < ij ¬ k, jest liniowo niezależny.
Definicja
Układ wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) nazywamy baza̧
(skończona̧) przestrzeni V , jeśli
1
układ (v1 , v2 , . . . , vk ) jest liniowo niezależny,
Uwaga. Układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo zależny
wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z wektorów vi można
zapisać jako kombinacjȩ liniowa̧ pozostałych.
Uwaga. Jeżeli układ wektorów v1 , v2 , . . . , vk ∈ V jest liniowo
niezależny, to układ wektorów vi1 , vi2 , . . . , vik , gdzie
1 ¬ i1 < i2 < . . . < ij ¬ k, jest liniowo niezależny.
Definicja
Układ wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) nazywamy baza̧
(skończona̧) przestrzeni V , jeśli
1
układ (v1 , v2 , . . . , vk ) jest liniowo niezależny,
2
Lin(v1 , v2 , . . . , vk ) = V .
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Twierdzenie
Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V
nad ciałem K, nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Twierdzenie
Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V
nad ciałem K, nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
1
B jest baza̧
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Twierdzenie
Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V
nad ciałem K, nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
1
B jest baza̧
2
B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Twierdzenie
Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V
nad ciałem K, nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
1
B jest baza̧
2
B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym
3
każdy wektor v ∈ V ma jednoznaczne przedstawienie w
postaci
v = α1 · v1 + · · · + αk · vk ,
Uwaga. Każda przestrzeń liniowa ma bazȩ (niekoniecznie złożona̧
ze skończonej liczby wektorów). Nas bȩda̧ interesowały tylko bazy
skończone.
Twierdzenie
Dla dowolnego układu wektorów B = (v1 , v2 , . . . , vk ) przestrzeni V
nad ciałem K, nastȩpuja̧ce warunki sa̧ równoważne:
1
B jest baza̧
2
B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym
3
każdy wektor v ∈ V ma jednoznaczne przedstawienie w
postaci
v = α1 · v1 + · · · + αk · vk ,
gdzie αi ∈ K, i = 1, . . . , k.
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończona̧
baza̧ licza̧ca̧ n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n
wektorów.
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończona̧
baza̧ licza̧ca̧ n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n
wektorów.
Definicja
Liczbȩ elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K
nazywamy wymiarem przestrzeni V
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończona̧
baza̧ licza̧ca̧ n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n
wektorów.
Definicja
Liczbȩ elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K
nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dimV .
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończona̧
baza̧ licza̧ca̧ n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n
wektorów.
Definicja
Liczbȩ elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K
nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dimV .
Jeżeli przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to
przyjmujemy dimV = ∞.
Uwaga. Jeżeli przestrzeń liniowa V nad ciałem K ma skończona̧
baza̧ licza̧ca̧ n wektorów, to każda baza tej przestrzeni liczy n
wektorów.
Definicja
Liczbȩ elementów bazy B przestrzeni liniowej V nad ciałem K
nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dimV .
Jeżeli przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to
przyjmujemy dimV = ∞.
Uwaga. dim{O} = 0.
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
2
dimW =dimV ⇒ W = V .
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
2
dimW =dimV ⇒ W = V .
Definicja
Niech B = (v1 , v2 , . . . , vk ) bȩdzie baza̧ przestrzeni liniowej V nad
ciałem K i niech v ∈ V .
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
2
dimW =dimV ⇒ W = V .
Definicja
Niech B = (v1 , v2 , . . . , vk ) bȩdzie baza̧ przestrzeni liniowej V nad
ciałem K i niech v ∈ V . Skalary α1 , α2 , . . . , αk ∈ K nazywamy
współrzȩdnymi wektora v w bazie B, gdy
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
2
dimW =dimV ⇒ W = V .
Definicja
Niech B = (v1 , v2 , . . . , vk ) bȩdzie baza̧ przestrzeni liniowej V nad
ciałem K i niech v ∈ V . Skalary α1 , α2 , . . . , αk ∈ K nazywamy
współrzȩdnymi wektora v w bazie B, gdy
v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk .
Twierdzenie
Niech V bȩdzie przestrzenia̧ liniowa̧ nad K o skończonej bazie.
Jeżeli W jest podprzestrzenia̧ liniowa̧ przestrzeni V , to
1
dimW ¬dimV
2
dimW =dimV ⇒ W = V .
Definicja
Niech B = (v1 , v2 , . . . , vk ) bȩdzie baza̧ przestrzeni liniowej V nad
ciałem K i niech v ∈ V . Skalary α1 , α2 , . . . , αk ∈ K nazywamy
współrzȩdnymi wektora v w bazie B, gdy
v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αk · vk .
Oznaczenie. v = (α1 , α2 , . . . , αk )B
Uwaga. Współrzȩdne wektora v w bazie B sa̧ wyznaczone
jednoznacznie.
Uwaga. Współrzȩdne wektora v w bazie B sa̧ wyznaczone
jednoznacznie.
Definicja
Dla przestrzeni liniowej Kn nad ciałem K określamy bazȩ
kanoniczna̧ jako układ
Uwaga. Współrzȩdne wektora v w bazie B sa̧ wyznaczone
jednoznacznie.
Definicja
Dla przestrzeni liniowej Kn nad ciałem K określamy bazȩ
kanoniczna̧ jako układ
E = (e1 , e2 , . . . , en ),
Uwaga. Współrzȩdne wektora v w bazie B sa̧ wyznaczone
jednoznacznie.
Definicja
Dla przestrzeni liniowej Kn nad ciałem K określamy bazȩ
kanoniczna̧ jako układ
E = (e1 , e2 , . . . , en ), gdzie
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1).
Uwaga. Współrzȩdne wektora v w bazie B sa̧ wyznaczone
jednoznacznie.
Definicja
Dla przestrzeni liniowej Kn nad ciałem K określamy bazȩ
kanoniczna̧ jako układ
E = (e1 , e2 , . . . , en ), gdzie
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1).
Oznaczenie. (α1 , α2 , . . . , αk )E = (α1 , α2 , . . . , αk ).
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe
Niech (V1 , +1 ), (V2 , +2 ) bȩda̧ przestrzeniami liniowymi nad tym
samym ciałem K.
Przekształcenia liniowe
Niech (V1 , +1 ), (V2 , +2 ) bȩda̧ przestrzeniami liniowymi nad tym
samym ciałem K.
Definicja
Przekształcenie φ : V1 → V2 nazywamy przekształceniem
liniowym, jeśli spełnione sa̧ warunki:
Przekształcenia liniowe
Niech (V1 , +1 ), (V2 , +2 ) bȩda̧ przestrzeniami liniowymi nad tym
samym ciałem K.
Definicja
Przekształcenie φ : V1 → V2 nazywamy przekształceniem
liniowym, jeśli spełnione sa̧ warunki:
1
∀u, v ∈ V1 φ(u +1 v ) = φ(u) +2 φ(v )
Przekształcenia liniowe
Niech (V1 , +1 ), (V2 , +2 ) bȩda̧ przestrzeniami liniowymi nad tym
samym ciałem K.
Definicja
Przekształcenie φ : V1 → V2 nazywamy przekształceniem
liniowym, jeśli spełnione sa̧ warunki:
1
∀u, v ∈ V1 φ(u +1 v ) = φ(u) +2 φ(v )
2
∀α ∈ K ∀v ∈ V1 φ(α ·1 v ) = α ·2 φ(v )