Jednowymiarową zmienną losową opisuje funkcja gęstości: f(x) = 2

Jednowymiarową zmienną losową opisuje funkcja gęstości: f(x) =
3 x
2
dla x ∈<0, 1>.
a) Oblicz modę Mo, medianę Me, E(x), E( x ), odchylenie standardowe σ.
b) Wyznacz funkcję gęstości dla zmiennej losowej Z = X
3/2
i sprawdź dla niej warunek normalizacji.
Funkcja gęstości dwuwymiarowej zmiennej losowej f(x,y) = 1 dla x ∈<0, 1>, 0 ≤ y ≤ 2- 2x.
Wyznacz:
a) rozkłady brzegowe i sprawdź niezależność zmiennych X i Y
b) równanie prostej regresji II-go rodzaju Y względem X
c) rozkład zmiennej losowej Z = 2X + Y
Student otrzymał na egzaminach następujące oceny x:: 5, 2, 5, 4, 3, 5, 4, 2, 5, 5
a) Wyznacz: statystyczny rozkład prawdopodobieństwa P(X), dystrybuantę F(x), modę Mo, medianę Me,
odchylenie standardowe σ, odchylenie przeciętne d, współczynnik zmienności V, współczynnik asymetrii As
b) Przyjmując poziom ufności α = 0.9 wyznacz przedziały ufności dla wartości średniej oceny m oraz
wariancji σ2. Przyjmując, że σ = 1 oblicz minimalną liczebność próby dla oszacowania średniej oceny
z maksymalnym błędem ≤ 0,3
c) Przyjmując poziom istotności β = 0.3 zweryfikuj hipotezy: H0(m=3), H0(m>5), H0(σ
σ2≤0,5)
d) Stosując test χ2 zweryfikuj na poziomie istotności 0,05 hipotezę: H0(rozkład ocen jest jednostajny).
Przeprowadzono obserwacje opóźnień pociągów. Stwierdzono, że na 225 przypadkowo wybranych pociągów
81 przyjechało z opóźnieniem. a) Wyznacz przedział ufności dla nieznanego prawdopodobieństwa p
występowania opóźnienia, przyjmując poziom ufności α = 0.95. b) Na poziomie istotności 0.02 zweryfikuj
hipotezę, że frakcja opóźnionych pociągów nie przekracza 20%.
Przeprowadzono obserwacje palaczy papierosów. Wybrano losowo 300 mężczyzn i 200 kobiet. Okazało się, że
wśród mężczyzn było 180 palaczy a wśród kobiet 120. Na poziomie istotności 0,02 zweryfikuj hipotezę o
jednakowym odsetku palących papierosy wśród kobiet i mężczyzn
W celu porównania przeciętnego stażu pracy pracowników w dwóch zakładach wylosowano z każdego grupę
pracowników i zbadano pod względem długości stażu pracy. Otrzymano następujące wyniki:
Zakład 1: n1 =30 pracowników, x1 = 5 lat , δ 12 = 3 ; zakład 2: n2 = 40 pracowników, x2 = 4 lat, δ 22 = 6
Na poziomie istotności 0,04 zweryfikować hipotezę, że średnie staże pracy dla wszystkich pracowników
każdego z tych zakładów są jednakowe.
Liczebności dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) prezentuje tabela:
-2
0
1
-3
1
20
20
10
20
0
30
Wyznacz:
a) równanie prostej regresji II-go rodzaju Y względem X, wariancję reszt, typowe przedziały zmienności oraz
przedziały ufności współczynników regresji liniowej dla współczynnika ufności α = 0.9
b) przyjmując poziom istotności β = 0,02 zweryfikuj hipotezę niezależności zmiennych X i Y oraz oblicz
współczynnik zbieżności Cramera.
Dla 100 próbek betonu przeprowadzono badanie wytrzymałości na ściskanie i uzyskano następujące wyniki:
(13)
Wytrzymałość
Liczba próbek
<8, 10>
10
(10, 12>
20
(12, 14>
40
(14, 16>
20
(16, 18>
10
Zweryfikuj hipotezę, że rozkład wytrzymałości jest
rozkładem normalnym, przyjmując poziom istotności
β = 0.05 stosując test χ2 .
Przeprowadzono pomiary czasu nauki do egzaminu ze statystyki w losowo dobranej grupie studentek i
studentów otrzymując następujące wyniki (w minutach):
Studentki: 170, 190, 165, 210, 170, 160, 175
Studenci: 150, 110, 150, 171, 150, 164, 151, 160, 166
Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że rozkłady czasu w obu grupach są jednakowe.
Wykorzystaj do tego celu a) test serii b) test Kołmogorowa – Smirnowa ( λ0,05=1,36)
Do kontroli technicznej wylosowano 13 elementów i zmierzono ich średnice otrzymując wyniki (w mm): 16,
20, 25, 34, 22, 33, 47, 30, 28, 19, 22, 40, 25. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę a) o losowym
wyborze elementów próby b) o istnieniu trendu. (Zastosuj medianowy test liczby serii)