Statystyka opisowa i planowanie eksperymentu

Statystyka opisowa i projektowanie eksperymentu
dr inż. Krzysztof Bryś
Konspekt zajęć
1. Podstawowe pojęcia statystyki
doświadczenie losowe – doświadczenie, którego wynik jest nieznany ale znany jest zbiór
możliwych wyników zwanych zdarzeniami losowymi.
zmienna losowa – zmienna, która przyjmuje określoną wartość w wyniku doświadczenia
losowego.
rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej - przypisanie wartościom zmiennej
losowej wartości funkcji prawdopodobieństwa (tzn. szans wystąpienia określonych wartości)
Podstawowe parametry rozkładu prawdopodobieństwa: wartość oczekiwana, wariancja,
wskaźnik struktury.
Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa wykorzystywane w statystyce: rozkład
Bernoulliego, rozkład normalny, rozkład t-Studenta, rozkład chi-kwadrat.
populacja – cały zbiór badanych osób, przedmiotów lub wartości,
próba – skończony podzbiór populacji podlegający badaniu,
próba losowa – próba losowana (najczęściej) zgodnie z rozkładem równomiernym tzn.
wylosowanie każdej próby jest jednakowo prawdopodobne,
cechy: mierzalne, niemierzalne.
Przedmiot badania: cecha (cechy) populacji = zmienna losowa.
Cel badania: znalezienie rozkładu prawdopodobieństwa (częstości wystąpień
poszczególnych wartości) badanej cechy w populacji.
próba n-elementowa = ciąg n zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie (takim jak
poszukiwany rozkład badanej cechy).
2. Etapy badania statystycznego
1) Przygotowanie (formatowanie) badania: określenie celu, rodzaju, potrzebnych
parametrów wejściowych badania.
2) Przeprowadzenie badania: wylosowanie próby, określenie wartości badanych cech w
próbie.
3) Zebranie uzyskanych podczas badania danych.
4) Opis i wnioskowanie statystyczne: obliczenie parametrów, estymacja, weryfikacja
hipotez.
5) Przedstawienie wyników.
3. Szeregi statystyczne
a) Szereg wyliczający punktowy.
b) Szereg rozdzielczy punktowy.
c) Szereg rozdzielczy przedziałowy.
4. Rozkład empiryczny i jego graficzna prezentacja
-Rozkład częstości
-Histogram rozkładu częstości
-Dystrybuanta empiryczna (skumulowana częstość)
5. Parametry empiryczne – wyznaczanie i interpretacja.
a) Miary położenia
-Średnia z próby
- Dominanta (moda, wartość modalna)
-Kwantyle rzędu p (mediana, kwartyl dolny, kwartyl górny, decyle, percentyle)
b) Miary rozproszenia
- Rozstęp,
- Wariancja z próby,
- Odchylenie standardowe z próby.
c) Miary asymetrii i koncentracji
- Współczynnik asymetrii (skośności),
- Kurtoza.
6. Estymacja punktowa
estymator parametru T – statystyka (funkcja próby), której wartość zależy od rzeczywistej
wartości parametru T rozkładu cechy w populacji.
estymacja punktowa – szacowanie nieznanej wartości parametru T na podstawie próby;
polega na wyznaczeniu z próby wartości u estymatora U parametru T i przyjmowaniu tej
wartości za oszacowanie T.
Estymatory wartości oczekiwanej: średnia z próby, mediana z próby.
Estymatory wariancji: wariancja z próby.
Estymator wskaźnika struktury: wskaźnik struktury z próby.
7. Estymacja przedziałowa.
Przedział ufności dla parametru T na poziomie ufności 1- - przedział ( a ; b) taki, że :
1) a, b są funkcjami próby,
2) P ( a < T < b ) = 1-
Uwagi:
- Przedział ufności zmienia się wraz z próbką.
- Nieznana wartość parametru może być albo nie być w utworzonym przedziale ufności.
- Można stworzyć nieskończenie wiele przedziałów ufności na danym poziomie ufności.
- Częstość występowania prób, dla których zbudowany przedział ufności na poziomie
ufności 1-zawiera nieznaną wartość parametru T wynosi w przybliżeniu 1- (dla
„dużej” liczności próby).
Przedziały ufności dla wartości oczekiwanej, odchylenia standardowego, wskaźnika
struktury.
7. Zagadnienie minimalnej liczności próby
Dane:
1-poziom ufności,
 maksymalny błąd oszacowania (estymacji)
Szukane: minimalna liczność próby n0 , przy której błąd oszacowania (promień przedziału
ufności) nie przekracza 

Wyznaczanie minimalnej liczności próby przy szacowaniu wartości oczekiwanej oraz
przy szacowaniu wskaźnika struktury.

8. Weryfikacja hipotez statystycznych.
hipoteza statystyczna – przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy
populacji.
hipoteza parametryczna – hipoteza statystyczna dotycząca wartości parametru badanej
cechy.
weryfikacja – odpowiedź na pytanie czy hipoteza statystyczna jest prawdziwa.
test statystyczny – reguła postępowania, która danej próbie przyporządkowuje decyzję
przyjęcia lub odrzucenia badanej hipotezy.
H0 – hipoteza zerowa (podlega badaniu)
H1 – hipoteza alternatywna
test istotności – test statystyczny, przy którym wnioskowanie odbywa się przy założeniu, że
hipoteza H0 jest prawdziwa; pozwala jedynie odrzucić H0 ( = przyjąć H1 ); jako H0 należy
stawiać hipotezy, co do których zachodzi podejrzenie o ich fałszywości.
Typy błędów popełnianych przy weryfikacji hipotez:
błąd 1-go rodzaju – odrzucenie prawdziwej hipotezy H0 (prawdopodobieństwo popełnienia =
poziom istotności =
błąd 2-go rodzaju - przyjęcie fałszywej hipotezy H0 (prawdopodobieństwo popełnienia = 

moc testu = 1-

zbiór krytyczny W – zbiór wartości osiągany przez statystykę testową z
prawdopodobieństwem  (przy założeniu, że hipoteza H0 jest prawdziwa)
Algorytm weryfikacji hipotez za pomocą testów istotności:
1) Wybieramy model (dla danej postaci hipotezy H0, H1 i próby)
2) Obliczamy wartość statystyki testowej u.
3) Budujemy zbiór krytyczny W (w zależności od postaci H1)
4) Jeśli obliczona wartość statystyki testowej u należy do zbioru krytycznego W, to
odrzucamy hipotezę H0 (przyjmujemy H1) na poziomie istotnościW przeciwnym
przypadku mówimy, że nie ma podstaw do odrzucenia H0 na poziomie istotności 
Krytyczny poziom istotności poziom istotności przy którym następuje zmiana decyzji
weryfikacyjnej.
Weryfikacja hipotez za pomocą krytycznego poziomu istotności:
Jeśli to mówimy, że nie ma podstaw do odrzucenia H0 na poziomie istotności 
Jeśli to odrzucamy H0 na poziomie istotności 
Wyznaczanie krytycznego poziomu istotności dla danej próby: jest to taka wartość
poziomu istotności, przy której obliczona wartość statystyki testowej znajduje się na brzegu
zbioru krytycznego.