Zestaw 6: Estymacja i testowanie hipotez 1. Czas spędzany przed

Zestaw 6: Estymacja i testowanie hipotez
1. Czas spędzany przed komputerem osób od 20 do 25 lat jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z
wartością oczekiwaną 150 minut i odchyleniem standardowym 25 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że osoby w wieku od 20 do 25 lat spędzają przed komputerem: a) mniej niż 60 minut, b) więcej niż 180
minut, c) więcej niż 45 minut, ale mniej niż 145 minut.
2. Staż pracy [w latach] pracowników pewnego przedsiębiorstwa ma rozkład normalny N (14, 32 ). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wylosowany pracownik pracuje: a) więcej niż 11 lat, b) mniej niż 7 lat,
c) więcej niż 5 lat, ale mniej niż 10 lat.
3. Wyznacz wartości odpowiednich kwantyli rozkładu normalnego N (0, 1): a) P(X < uα ) = 0.97,
b) P(X > uα ) = 0.97, c) P(|X| < uα ) = 0.97.
4. Na pewnej stacji benzynowej badano czas postoju samochodów. Dla 140 wylosowanych samochodów
uzyskano średni czas 250 sekund oraz odchylenie standardowe 30 sekund. Oszacuj punktowo przeciętny
czas postoju na stacji benzynowej. Przyjmij, że czas postoju ma rozkład normalny.
5. Spośród 300 wylosowanych klientów pewnego sklepu elektronicznego, aż 210 było zadowolonych zakupionego sprzętu. Oszacuj punktowo odsetek klientów zadowolonych z zakupu.
6. Z magazynu wybieramy losowo 100 worków. Średnia waga worka równa jest 50 kg, a odchylenie standardowe wynosi 4 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga wybranych worków przekroczy 4.5
tony?
7. Wyznacz kwartyle zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym N (0, 1) oraz oblicz
P(−1 ¬ X ¬ 1),
P(−2 ¬ X ¬ 2),
P(−3 ¬ X ¬ 3).
8. Na pewnej stacji kontroli pojazdów badano czas kontroli samochodów. Otrzymano następujące wyniki
[w godzinach]: 1, 3, 5, 4, 4.5, 5, 6, 3.5, 2.5, 4, 1.5, 3, 2.5, 5.5, 6. Oszacuj punktowo i przedziałowo średni czas
kontroli pojazdów na tej stacji, przyjmując poziom ufności 0.95. Czas kontroli ma rozkład normalny.
9. Badano tygodniowe wydatki na ksero wśród losowo wybranej grupy studentów pewnej uczelni. Otrzymano następujące kwoty:
11, 13, 14, 5, 8, 16, 22, 15, 14, 19, 9, 10, 7, 23, 15, 19, 13, 15, 10, 5,
9, 12, 4, 23, 11, 18, 17, 24, 2, 30, 12, 10, 3, 7, 17, 19, 22, 14, 13, 13.
Oszacuj przedziałowo średnie wydatki na ksero na tej uczelni. Przyjmij poziom ufności 0.95 oraz rozkład
normalny wydatków na ksero.
10. Z partii żarówek wylosowano 15 i uzyskano średni czas świecenia 2555 godzin. Wiadomo, że czas
świecenia żarówek w badanej partii ma rozkład normalny oraz odchylenie standardowe w badanej partii
żarówek wynosi 35 godzin. Oszacuj przedziałowo średni czas świecenia żarówek przyjmując poziom ufności
0.99.
11. Wśród 900 losowo zatrzymanych przez policję kierowców, u 164 z nich stwierdzono wysoki poziom
alkoholu we krwi. Oszacuj odsetek kierowców jeżdżących na tzw. „podwójnym gazie” przyjmując poziom
ufności 0.99.
12. Dla danych z zadania 8 oszacuj przedziałowo wariancję. Przyjmij poziom ufności 0.98.
13. Dla danych z zadania 9 oszacuj przedziałowo odchylenie standardowe wydatków na ksero. Przyjmij
poziom ufności 0.99.
14. Firma jest przekonana, że jej udział w rynku pewnego produktu wynosi około 14%. Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania rzeczywistego udziału z dokładnością do 5%, przy 90%
poziomie ufności.
15. Wyznaczyć minimalną liczebność próby do oszacowania średniego wzrostu uczniów w klasach piątych
szkół podstawowych, jeżeli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów, otrzymano następujące wyniki (w
cm): 125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku 5 cm, przy
współczynniku ufności 0.95.
16. Obserwując liczbę kilometrów, jaką w ciągu roku przebywają prywatne samochody osobowe, otrzymano w losowej próbie 100 samochodów średnią x̄ = 12 500 km oraz odchylenie standardowe s = 2400 km.
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę, że przeciętna liczba kilometrów przebytych rocznie przez prywatny samochód wynosi 12 000 km. Jakie wartości x̄ zaobserwowane w próbie spowodują
odrzucenie H0 ?
17. Producent oświadcza, że średni czas świecenia żarówki wynosi 1000 godzin. Aby zweryfikować tą
hipotezę pobrano próbkę o liczebności n = 100 i stwierdzono, że w tej próbce x̄ = 995, s2 = 36. Czy
mamy podstawy, by na poziomie istotności α = 0.02 odrzucić weryfikowaną hipotezę? Jaki jest najniższy
poziom istotności, na którym przyjmiemy hipotezą sprawdzaną?
18. Tadek założył się z Ernestem, że osoby w wieku od 20 do 50 lat wypijają dziennie 2.5 szklanki kawy.
Ernest żeby udowodnić, że osoby te wypijają więcej niż 2.5 szklanki kawy spytał 47 losowo wybranych
osób w wieku od 20 do 50 lat o liczbę wypitych dziennie szklanek kawy, otrzymał średnią 2.27 i wariancję
0.5. Wiedząc, że rozkład liczby wypitych szklanek kawy przez osoby w przedziale wiekowym 20-–50 lat
jest rozkładem normalnym, rozstrzygnij na poziomie istotności 0.05 kto ma rację?
19. W pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym norma techniczna przewiduje 95 sekund na wykonanie
detalu „OK2”. Wiadomo, że czas na wykonanie detalu „OK2” ma rozkład normalny z odchyleniem
standardowym 0.25 sekundy. Dokonano pomiaru czasu wykonania tego detalu u 60 losowo wybranych
pracowników i otrzymano średnią 96 sekund. Określ na poziomie istotności 0.01, czy norma techniczna
jest dobrze ustalona.
20. W celu porównania średniego stażu pracy w dwóch zakładach, wylosowano z każdego z tych zakładów
grupę pracowników i zbadano ją pod względem długości stażu pracy w danym zakładzie. Otrzymano
następujące rezultaty:
• zakład 1 – liczba badanych pracowników 36, średni staż pracy 6.8 i odchylenie standardowe 1.7,
• zakład 2 – liczba badanych pracowników 40, średni staż pracy 8.2 i odchylenie standardowe 2.5.
Zweryfikować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę, że średnie staże pracy dla wszystkich pracowników
każdego z tych zakładów są równe, jeśli alternatywną jest hipoteza, że średni staż pracy w pierwszym
zakładzie jest krótszy niż w drugim.
21. Na poziomie istotności 0.01 sprawdź czy słuszne jest stwierdzenie, że wariancja liczby przeczytanych
książek przez jedną osobę jest większa niż 3.8, jeśli wiadomo że dla 120 badanych osób wariancja wyniosła
3.2. Liczba przeczytanych książek ma rozkład normalny.
22. 130 losowo wybranym uczniom pewnej szkoły ponadgimnazjalnej zadano pytanie „Czy lubisz matematykę” 49 osób odpowiedziało „TAK”. Czy na poziomie istotności 0.1 można przyjąć, że 45% uczniów
szkół ponadgimnazjalnych lubi matematykę?
23. Wśród losowo wybranych studentów kierunku A i kierunku B pewnej uczelni oceny z egzaminu, z
przedmiotu Psychologia prezentują się następująco:
• kierunek A: 2, 4, 4.5, 4, 4, 3.5, 2, 2, 3, 4.5, 5, 5, 2, 2,
• kierunek B: 4, 4, 5, 4.5, 4, 3, 2, 3.5, 3.5, 2, 5.
Czy można przyjąć na poziomie istotności 0.05, że średnia ocen z egzaminu z psychologii dla kierunku A
jest taka sama jak dla kierunku B? Oceny z egzaminu na kierunku A i kierunku B mają rozkład normalny
z odchyleniami standardowymi odpowiednio równymi 1.2 oraz 0.9.
24. W dwóch konkurencyjnych przedsiębiorstwach produkcyjnych przeprowadzono badanie dotyczące
satysfakcji pracowników z otrzymywanych premii świątecznych (możliwe odpowiedzi TAK lub NIE). W
przedsiębiorstwie A spośród 140 losowo wybranych pracowników 68 było zadowolonych, a w przedsiębiorstwie B spośród 155 losowo wybranych 48 było niezadowolonych. Czy na poziomie istotności 0.05 można
wnioskować, że procent zadowolonych pracowników w przedsiębiorstwie A jest większy niż w przedsiębiorstwie B?
25. W n = 4040 rzutach monetą hrabia de Buffon otrzymał ν = 2048 orłów i n − ν = 1992 reszek. Czy
rzucał monetą symetryczną?
26. Rejestrując straty czasu na skutek przestoju maszyn i urządzeń otrzymano dla wydziału A pewnego
zakładu wyniki:
Straty czasu w minutach
Liczba stanowisk
0–10
8
10–20
11
20–30
14
30–40
8
Dla wydziału B otrzymano s2 = 120 dla losowo wybranych 36 stanowisk. Czy można uważać, że wariancja
strat czasu na obu wydziałach jest taka sama? Przyjmij poziom istotności α = 0.05.
27. Wybrano losową próbę 100 firm i dla każdej z nich zanotowano czy miała zysk, czy straty oraz czy
należy do sektora usług, czy nie. Dane podsumowane w postaci tablicy wielodzielczej 2 × 2 prezentuje
poniższa tablica. Wykorzystując informacje zawarte w tablicy określ, czy zdarzenia: „firma przyniosła
zysk” i „firma działa w sektorze usług”, są niezależne.
Zysk
Strata
Razem n.j
Rodzaj działalności
usługi
inne
42
18
6
34
48
52
Suma ni.
60
40
100
28. Dane dotyczące jakości wyrobu A produkowanego w ciągu I i II zmiany są następujące:
Jakość
Dobra
Zła
Zmiana
I
II
52 18
8 22
Zweryfikuj hipotezę, że jakość wyrobu nie zależy od zmiany, na której jest produkowany. Przyjmij poziom
istotności α = 0.05. Zmierz siłę tej zależności.
29. Z populacji, w której badana cecha ma nieznaną dystrybuantę F , pobrano próbkę o liczności 200.
Otrzymane wyniki po podziale na 10 równych klas zawarto w tabeli:
Środki klas
liczebność
45.25
23
45.75
19
46.25
25
46.75
18
47.25
17
47.75
24
48.25
16
48.75
22
49.25
20
49.75
16
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę
H : F jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na przedziale (45, 50).
30. Dokonano pomiarów długości (w cm) 200 sardynek złowionych w pewnym rejonie Atlantyku. Otrzymane wyniki przedstawiono w postaci następującego szeregu rozdzielczego:
Długość sardynki
Liczba sztuk
10–12
10
12–14
26
14–16
56
16–18
64
18–20
30
20–22
14
Na poziomie istotności α = 0.10 zweryfikuj hipotezę, że rozkład długości sardynek żyjących w tym rejonie
Atlantyku jest normalny.