Uwaga: To, że przyjmujemy hipotezę zerową nie oznacza, że ją

Zastosowanie metod statystycznych – laboratorium 5
Weryfikacja hipotez.
Ocena istotności średnich arytmetycznych
1. Dla próby losowej 45 posiadaczy indywidualnych rachunków w pewnym banku zbadano
poziom ich sald w dniu 30.03.2003r. Okazało się, że średnioarytmetyczne saldo wyniosło
5629 PLN, przy przeciętnym odchyleniu standardowym równym 734 PLN. Dyrekcja banku
stwierdziła jednak, że rzeczywiste przeciętne saldo wszystkich posiadaczy kont
indywidualnych było w tym dniu wyższe i wynosiło 5753 PLN. Przyjmij hipotezę zerową
"dyrekcja banku ma rację, oczekiwane saldo wynosi 5753 PLN, a obserwowana różnica nie
jest statystycznie istotna". Hipotezą alternatywną niech będzie "Powstała różnica jest
statystycznie istotna, tj. dyrekcja banku myli się bądź kłamie, a oczekiwane saldo jest
rzeczywiście mniejsze niż 5753 PLN". Przyjmij poziom istotności równy 5%.
Podpowiedź:
Rozmiar próby jest nieduży, powinniśmy więc posłużyć się rozkładem Studenta. Wpierw
wyznacz przedział, w którym musi zawierać się t, jeśli mamy przyjąć hipotezę zerową.
Pamiętaj, że w przypadku rozkładu Studenta Excel domyślnie przyjmuje, że ma do czynienia
z "ogonami" po obydwu stronach rozkładu, a my chcemy tylko jeden "ogon". Ja otrzymałem
przedział (-1.68, 1.68). Następnie oblicz wartość t, z jaką mamy do czynienia. Ja otrzymałem
t = -1.13. Skoro otrzymana wartość zawiera się w wyznaczonym wcześniej przedziale, należy
przyjąć hipotezę zerową, tj. nie mamy powodów przypuszczać że bank kłamie.
Korzystając z pakietu STATISTICA:
Granice poszukiwanego przedziału możesz łatwo wyznaczyć korzystając z Kalkulatora
prawdopodobieństwa (korzystaliśmy już z niego w ostatnim laboratorium ze Statystyki).
W tym celu wybierz Statystki podstawowe i tabele/Kalkulator prawdopodobieństwa,
dalej Rozkład t (Studenta), zaznacz Oblicz X z p (znamy prawdopodobieństwo,
szukamy granic) oraz (1-p) (znamy pole pod ogonem). W polu df wpisz liczbę stopni
swobody rozkładu. W polu t odczytasz górną granicę przedziału (1.680230).
Korzystając z pakietu STATISTICA (inaczej):
Wybierz Statystyki podstawowe i tabele/Inne testy istotności. Skoncentruj się na
panelu Różnica między dwiema średnimi (rozkład normalny). Tu możesz porównać
dwie średnie. Ponieważ jedna średnia dotyczy próby (45 banków), a druga populacji (wszyscy
posiadacze kont), zaznacz pole średnia z pomiarów 1 a średnia z populacji 2.
Wypełnij pozostałe pola w panelu, nie zapomnij ustawić przełącznika w pozycji
Jednostronny. Podawany wynik (pole p) to poziom istotności, przy którym trzeba będzie
zmienić decyzję. Ja otrzymałem 0.1316, co oznacza, że gdyby poziom istotności wynosił aż
13.16%, przestalibyśmy mieć powody do przypuszczania, że bank nie kłamie, tj.
odrzucilibyśmy hipotezę zerową na korzyść hipotezy alternatywnej. Skoro deklarowany
poziom istotności wynosił 5%, od razu widzimy, że musimy przyjąć hipotezę zerową. Ten
sposób zakłada rozkład normalny bądź odpowiednio dużą próbę (nasza była umiarkowanie
duża, popełniliśmy błąd, ale nieduży).
Uwaga:
To, że przyjmujemy hipotezę zerową nie oznacza, że ją potwierdziliśmy!
Jedyne, co możemy stwierdzić to to, że nie mamy podstaw, by ją odrzucić.
Podyplomowe Studium Statystyki i Matematyki Finansowej
2007-2009, Jacek Dziedzic; FTiMS, Politechnika Gdańska.
2. Zawartość nikotyny w papierosach pewnej marki X jest rozłożona normalnie, z odchyleniem
standardowym wynoszącym 4 mg. Aby zmniejszyć ryzyko raka płuc1, zaleca się by papieros
nie zawierał więcej niż 26 mg nikotyny 2. Aby oszacować zawartość nikotyny w papierosach
marki X zmierzono jej zawartość w próbie 10 papierosów. Otrzymane wyniki (z dokładnością
do 1 mg) przestawia tabela.
33
27
20
36
25
24
27
24
34
29
Przyjmując poziom istotności 5%, czy możemy powiedzieć, że papierosy marki X jeszcze
spełniają wspomnianą normę 26 mg?
Podpowiedź:
Najłatwiej będzie skorzystać z Excela. Hipotezą zerową będzie tu "średnia z populacji
papierosów marki X wynosi 26 mg". Jednostronną hipotezą alternatywną będzie "średnia ta
jest większa niż 26 mg".
Wynik oficjalny:
zc=1.64, z = 1.502, więc należy przyjąć hipotezę zerową. Papierosy X spełniają normę, przy
poziomie istotności 5%, ale "ledwo". Prawdopodobnie należałoby zwiększyć próbę aby
uwiarygodnić wybór.
3. Piekarnia X produkuje biszkopty w opakowaniach, dla których deklaruje wagę 350 g.
Kontroler jakości pobrał próbę 20 opakowań i zważył zawarte w nich biszkopty, otrzymując
w wyniku średnią wagę: 340 g z odchyleniem standardowym 15 g. Przyjmując poziom
istotności 5%, czy możemy stwierdzić, że faktyczna waga opakowania biszkoptów to 350 g?
Spróbuj znaleźć odpowiedź wszystkimi trzema sposobami (Excel, kalkulator
prawdopodobieństw Statistiki i Inny test istotności Statistiki).
Wynik oficjalny:
tc=2.09, t = 2.98, więc należy odrzucić hipotezę zerową, przyjmując hipotezę alternatywną
"średnia waga paczki nie wynosi 350 g".
4. Poziom kursu "Wstęp do mechaniki" nie zmieniał się przez ostatnie kilka lat. Średni wynik
osiągany przez studentów tego kursu, na przestrzeni wspomnianych kilku lat wynosił 23/30.
W ostatnim roku natomiast, pięćdziesiątka studentów zapisanych na kurs zakończyła kurs
średnim wynikiem 35/50, przy odchyleniu standardowym 4 pkt. Przyjmując poziom istotności
2% chcemy sprawdzić, czy studenci w tym roku różnią się od studentów z lat poprzednich
(in plus lub in minus). Załóż, że n=50 wystarcza, by posiłkować się rozkładem normalnym.
Wynik oficjalny:
zc=2.326, z = -3.5355, więc należy odrzucić hipotezę zerową na korzyść hipotezy
alternatywnej. Zatem obserwowana różnica jest statystycznie istotna, przy poziomie istotności
2%.
1 Do dziś nie jest jasne, czy nikotyna sama w sobie jest rakotwórcza. Bez wątpienia rakotwórcze są natomiast substancje
smoliste zawarte w papierosach.
2 Faktyczna dawka nikotyny docierająca do płuc palacza jest wielokrotnie mniejsza i jest rzędu 1 mg. Dane na pudełku
papierosowym odzwierciedlają tę właśnie dawkę.
Podyplomowe Studium Statystyki i Matematyki Finansowej
2007-2009, Jacek Dziedzic; FTiMS, Politechnika Gdańska.
Weryfikacja hipotez.
Ocena istotności różnicy dwóch średnich
5. Firma X produkuje tabletki przeciwbólowe, mając w linii produkcyjnej dwie maszyny
tabletkujące A i B. Badanie 40 tabletek wyprodukowanych przez maszynę A dało w wyniku
średnią wagę 330 mg przy odchyleniu standardowym 7 mg. Badanie 50 tabletek
wyprodukowanych przez maszynę B dało w wyniku średnią wagę 320 mg przy odchyleniu
standardowym 6.5 mg. Przyjmując poziom istotności 5%, czy obie maszyny produkują tabletki
o tej samej wadze (przyjmujemy hipotezę alternatywną dwustronną)? Załóż, że próby są na
tyle duże, że uzasadnione jest stosowanie rozkładu normalnego.
Wynik oficjalny:
zc=1.960, z = 6.95, więc zdecydowanie należy odrzucić hipotezę zerową na korzyść hipotezy
alternatywnej. Zatem obserwowana różnica jest statystycznie istotna, przy zadanym poziomie
istotności, wnioskujemy, że maszyny produkują tabletki o różnych masach.
6. Dwie firmy produkują farbę fosforyzującą. W teście konsumenckim przeprowadzonym przez
niezależną organizację zbadano próbę pięciu puszek farby każdej z firm, zakupionych
w różnych sklepach. Zmierzono czas "świecenia" warstwy każdej z farb, otrzymując
następujące wyniki (w godzinach):
Firma A
65
70
59
62
64
Firma B
64
65
71
75
73
Przyjmując poziom istotności 1%, sprawdź czy obydwie firmy produkują farbę o takim
samym czasie "świecenia".
Wynik oficjalny:
Próba jest mała, więc korzystamy z rozkładu Studenta.
tc=3.355, t = -1.97, więc nie ma podstaw, by odrzucić hipotezę zerową. Należy więc
przypuszczać, że obserwowane różnice nie są statystycznie istotne.
7. W pewnym małym miasteczku, w celu przeprowadzenia badań budżetów domowych
wylosowano niezależnie dwie losowe próby dwuosobowych gospodarstw domowych w dwóch
kategoriach: 37 gospodarstw domowych pracowniczych oraz 14 gospodarstw domowych
emerytów. Obserwowaną zmienną losową były wydatki na żywność w czerwcu 2000r.
Komputerowy wydruk wyników wskazuje, że średnie arytmetyczne oraz odchylenia
standardowe wyników były następujące: dla gospodarstw pracowniczych: 456.30 PLN
(137.20 PLN), dla gospodarstw emerytów: 382.90 PLN (177.04 PLN). Deklarując poziom
istotności 1%, uzasadnij statystycznie, czy różnica ocen średnich wydatków w obu
zbiorowościach jest pochodzenia przypadkowego, czy też ma charakter różnicy
nieprzypadkowej (istotnej). Hipotezę alternatywną przyjmij jednostronną, załóż że próby są na
tyle małe, że należy korzystać z rozkładu Studenta.
Wynik oficjalny:
tc=2.405, t = -1.572, więc nie ma podstaw, by odrzucić hipotezę zerową. Zatem wnioskujemy,
że obserwowana różnica nie jest statystycznie istotna.
Podyplomowe Studium Statystyki i Matematyki Finansowej
2007-2009, Jacek Dziedzic; FTiMS, Politechnika Gdańska.