Weryfikacja hipotez statystycznych

5
1. Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipotezą statystyczną nazywamy każdą taką hipotezę, która dotyczy bądź postaci
rozkładu, bądź wartości parametrów rozkładu pewnej zmiennej losowej i która może być
weryfikowana statystycznie, to znaczy w oparciu o wyniki zaobserwowane w próbie.
Testem statystycznym
nazywamy każdą jednoznacznie zdefiniowaną regułę
postępowania określającą warunki przy których należy weryfikowaną hipotezę przyjąć bądź
odrzucić. Weryfikacja hipotez statystycznych odbywa się na podstawie wyników
zaobserwowanych w próbie. W rezultacie test statystyczny podaje reguły, przy jakiego
rodzaju wynikach próby sprawdzaną hipotezę się przyjmuje, a przy jakich odrzuca.
Weryfikowaną hipotezę nazywa się zwykle hipotezą zerową: H0
D e cy z j a
Hipoteza H0
Przyjąć H0
Jest prawdziwa
Decyzja poprawna Błąd I rodzaju. Prawdopodobieństwo
popełnienia tego błędu = 
Błąd II rodzaju
Decyzja poprawna
Jest fałszywa
Odrzucić H0
Wartość prawdopodobieństwa popełnienia błędu I rodzaju -  nazywamy poziomem
istotności testu; najczęściej przyjmuje się  = 0,05 , lub  = 0,1.
Oprócz hipotezy zerowej formułujemy również hipotezę H1 ( hipotezę alternatywna), którą
skłonni jesteśmy przyjąć, jeśli weryfikowaną hipotezę H0 należy odrzucić.
Sprawdzian hipotezy jest to pewna funkcja wyników z próby, na podstawie
której decydujemy, czy można hipotezę H0 przyjąć, czy odrzucić. Przez obszar krytyczny
rozumie się taki zbiór wartości sprawdzianu hipotezy, że jeżeli zaobserwowana wartość
sprawdzianu znajdzie się w tym obszarze, to odrzuca się hipotezę H 0 na korzyść H1.
Prawdopodobieństwo tego, że sprawdzian przyjmie wartość należącą do obszaru krytycznego,
jest przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 równe założonemu poziomowi istotności  .
1. 1. Testy istotności dla wartości oczekiwanej (średniej)
Model 1. Załóżmy, że populacja generalna ma rozkład normalny N(m,) o nieznanej wartości
średniej m
oraz znanym odchyleniu standardowym . Z populacji tej wylosowano n
elementową próbę w celu zweryfikowania hipotezy
H0: m = m0
wobec hipotezy alternatywnej
H1: m  m0 ,
gdzie m0 jest pewną hipotetyczna wartością średniej w populacji.
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
6
U
xm
σ
0 n ,
(1)
która przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład normalny N(0, 1). Jeśli H0 jest
prawdziwa, to wartość bezwzględna U nie powinna przekraczać wartości krytycznej u  ,
odczytanej z tablic rozkładu normalnego przy ustalonym poziomie istotności .
Jeżeli odchylenie standardowe  w populacji generalnej nie jest znane, to we wzorze (1)
można je zastąpić odchyleniem standardowym s obliczonym z próby. jest to uzasadnione
tylko wtedy, gdy próba jest duża: n > 30.
Model 2. Dla małych prób losowych (n  30) do sprawdzania hipotezy
H0: m = m0 wykorzystujemy statystykę:
t
gdzie s 
xm
s
0 n -1 ,
(2)
1 n
2
 (x i x) .
n i 1
Statystyka (2)
przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład t Studenta o n-1
stopniach swobody.
1.2. Test istotności dla wariancji
Załóżmy, że populacja generalna ma rozkład normalny N(m,) o nieznanych
parametrach wartości średniej m i odchyleniu standardowym . Z populacji tej wylosowano n
elementową próbę w celu zweryfikowania hipotezy
H 0 : σ 2  σ 02
H 0 : σ 2  σ 02 , gdzie σ 02 jest pewną
wobec hipotezy alternatywnej
hipotetyczną wartością wariancji w populacji.
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
n s2
2
 
σ2
0
(3)
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości H0 – rozkład 2 o n-1 stopniach swobody.
7
2.3. Test istotności dla wskaźnika struktury
Na podstawie n-elementowej próby (n>100) weryfikujemy hipotezę :
H0: p = p0
wobec hipotezy alternatywnej:
H1: p  p0 ,
Sprawdzianem hipotezy jest statystyka:
U
X
p
0
n
,
p (1  p )
o
0
n
(4)
która przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład normalny N(0, 1), przy czym X
oznacza ilość jednostek o wyróżnionej wartości cechy w n-elementowej próbie.