Zadanie 1 - E-SGH

Hipotezy
dr Dorota Węziak-Białowolska
1. W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów po zastosowaniu pewnego leku.
Przyjmuje się że czas snu (min) ma rozkład N(m,67). Zmierzono czas snu u 16 losowo wybranych
pacjentów i otrzymano: 435, 533, 393, 458, 525, 481, 324, 433, 348, 503, 383, 395, 416, 555, 500, 488. Na
poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipotezę, że średni czas snu pacjentów wynosi 7 godz. Przy jakim 
podjęta decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?
2. Dla poziomu istotności 0,05 sprawdzić, czy prawdziwe jest stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników
światowego koncernu „Mosty” różnią się od średnich zarobków pracowników światowego koncernu
„Dachy”. Przy czym dla 100 losowo wybranych pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnią
zarobków na poziomie 1550 $, zaś dla 200 losowo wybranych pracowników koncernu drugiego otrzymano
średnią zarobków na poziomie 1500. Wiadomo ponadto, że rozkład zarobków pracowników obu
koncernów jest rozkładem normalnym z odchyleniem standardowym równym odpowiednio 100 $ dla
„Mostów” i 200 $ dla „Dachów”. Dla jakich poziomów istotności decyzja byłaby przeciwna?
3. Dla jakiego poziomu istotności prawdziwe będzie stwierdzenie, iż średnie zarobki pracowników
światowego koncernu „Mosty” różnią się od średnich zarobków pracowników światowego koncernu
„Dachy”, jeżeli dla 100 pracowników pierwszego koncernu otrzymano średnie zarobki wysokości 1550 $ i
odchylenie standardowe wysokości 100 $, zaś dla 200 pracowników koncernu drugiego średnie zarobki
wyniosły 1500 $, zaś odchylenie standardowe zarobków 200$.
4. Zarząd pewnej firmy twierdzi, że ich pracownicy w godzinach pracy przeznaczają na prywatne rozmowy
telefoniczne średnio 22 min. dziennie. Czy na poziomie istotności 0,01 można ufać takiemu twierdzeniu,
jeżeli 24 losowo wybranych pracowników rozmawiało prywatnie średnio przez 20 minut a współczynnik
zmienności wyniósł 50%.
5. Wiadomo, że rozkłady zatrudnionych według płac w przedsiębiorstwach A i B są normalne z jednakowymi
odchyleniami standardowymi. Pobrano losowe próby 25 pracowników z przedsiębiorstwa A i 26
pracowników z przedsiębiorstwa B i wyznaczono statystyki z próby: średnia płaca brutto w próbie
pracowników przedsiębiorstwa A wyniosła 1,55 tys. zł. a w przedsiębiorstwie B 1,64 tys. zł.; odchylenia
standardowe (nieobciążone) odpowiednio 0,4 tys. zł i 0,5 tys. zł. Sprawdź hipotezę o identyczności
przeciętnych płac pracowników obu populacji przy poziomie istotności 0,01 i dwustronnie sformułowanej
hipotezie alternatywnej.
6. W 100 gospodarstwach domowych (4-osobowych) zbadano kwartalne zużycie energii elekt. (kWh) i
otrzymano: x =540, s = 150. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie kwartalne
zużycie energii w gospodarstwach 4-osobowych jest niższe niż 600 kWh.
7. W doświadczeniu badającym sprawność fizyczną młodzieży przyjęto, że oczekiwany czas pokonania
dystansu 100m przez 17-letniego chłopca wynosi mniej niż 28 sek. Oceń to przypuszczenie wiedząc, że w
26-osobowej grupie losowo wybranych 17-latków, średni czas wyniósł 27,8 s z nieobciążonym odch.
stand. 0,5s. (przyjąć  = 0,01).Podaj stosowne założenia. Czy decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie, jeśli
poziom istotności zwiększymy do 0,05. Jakiego rodzaju błąd możemy wtedy popełnić.
8. Zgodnie z napisem na opakowaniu kostka masła powinna ważyć 20 dkg. Zważono 225 losowo wybranych
kostek i okazało się, że średnia waga wynosiła 19,75 dkg a odch.stand. 0,20 dkg. Czy napis na opakowaniu
zawiera prawdziwą informację, czy też waga jest zawyżona? Zweryfikować stosowną hipotezę. Czy klient
twierdzący, że waga kostki masła jest niższa niż 20 dkg popełniłby błąd I rodzaju, jeśli w rzeczywistości
waga byłaby równa 20 dkg?
1
dr Dorota Węziak-Białowolska
Hipotezy
9. Zweryfikować na poziomie istotności  =0,05 hipotezę, że przeciętna ilość transakcji na giełdzie papierów
wartościowych latem jest niższa niż zimą, jeśli dla 10 losowo wybranych sesji w lipcu stwierdzono: x = 36
000, s=500, natomiast dla 10 sesji w styczniu: x = 36 300, s=700. Czy inwestor twierdzący, że ilość
transakcji latem jest niższa popełniłby błąd I rodzaju, jeśli w rzeczywistości m1 = m2
10. Temperatura ciała ludzkiego ma rozkład normalny. Zmierzono temperaturę 26 losowo wybranych osób i
okazało się, że średnia temperatura wyniosła 36,6oC , zaś odchylenie standardowe od średniej temperatury
ciała wyniosło 0,485 oC. Zweryfikować hipotezę, że średnia temperatura w badanej grupie będzie niższa
niż 36,8 oC. Przy jakim poziomie istotności podjęta decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie.
11. Związek zawodowy zarzucił prezesowi koncernu zawyżenie średniego zarobku jego pracowników w
przedłożonym sprawozdaniu z prowadzonej działalności. Według twierdzenia prezesa wynosi on 50
dukatów, podczas gdy średnia uzyskana na podstawie losowej próby 200 pracowników dała wynik 48
dukatów, przy wariancji 100 dukatów. Przyjmując poziom istotności 0,05 należy sprawdzić czy
twierdzenie związkowców jest uzasadnione. Przy jakim poziomie istotności decyzja weryfikacyjna
uległaby zmianie?
12. Pełnomocnik rządu Alfalandii d/s równego statusu kobiet i mężczyzn podejrzewa, że udział mężczyzn
wśród pracowników przedszkoli jest niższy niż minimum przewidziane w Ustawie, a wynoszące 35%.
Czy, przy poziomie istotności 0,05, można uznać to stwierdzenie za uzasadnione, jeżeli wśród losowo
zbadanych 400 pracowników przedszkoli było 128 mężczyzn? Jak powinno kształtować się ryzyko błędnej
decyzji by decyzja podjęta w poprzednim punkcie uległa zmianie?
13. Zbadano 1000 osób w mieście oraz 500 osób na wsi. W mieście 350 osób wyraziło swoje poparcie dla
partii ALFA, na wsi zaś odsetek zwolenników tej partii wyniósł 30. Dla jakiego zakresu wartości poziomu
istotności prawdziwe jest stwierdzenie, iż partia ALFA cieszy się większym poparciem w mieście niż na
wsi?
14. Pobrano losowo 200 elementową próbę abonentów TP S.A. dla sprawdzenia czy rozkład miesięcznych
wydatków jest na usługi internetowe jest zgodny z rozkładem normalnym. Otrzymano następujące
informacje:
wydatki na Internet
40-80
80-120
120-160
160-200
200-240
liczba osób
17
50
*
35
25
(ni  ni ) 2
ni
0,34
0,066
*
3,62
7,12
15. Wiedząc, że x =140, S(x) = 43,9 zweryfikować hipotezę, że rozkład wydatków na Internet w populacji
wszystkich osób korzystających z tej usługi jest rozkładem normalnym (=0,05).
16. Badając rozkład wydatków na papierosy stwierdzono, że wydatki te mogą mieć rozkład normalny o
parametrach [90 zł;15 zł]. W celu sprawdzenia tego przypuszczenia zbadano 200 losowo wybranych
konsumentów, grupując wyniki w 12 przedziałów klasowych, każdy o liczebności co najmniej 5 jednostek.
Ponadto obliczono, że:
(ni  nˆ i ) 2
 17.7

nˆ i
i 1
12
Czy można uznać normalność rozkładu wydatków na papierosy?
2
dr Dorota Węziak-Białowolska
Hipotezy
17. Zważono 200 kostek masła i zbudowano rozkład ich wagi z 5 przedziałami. Średnia waga zważonych
kostek wyniosła 250g a odchylenie standardowe 5g. Weryfikując hipotezę o tym, że waga kostek masła ma
rozkład normalny ustalono wartość testu zgodności chi kwadrat = 1,4.
a. Podjąć decyzję weryfikacyjną przy poziomie istotności  = 0,05.
b. Jaka jest w tej próbie teoretyczna liczba kostek masła o wadze 249 – 250g?
18. Jeśli rozkład wydajności pracy 200 losowo wybranych pracowników kształtował się następująco:
Wydajność w szt/h
5 – 10
10 – 15
15 – 20
20 – 25
25 – 30
30 - 35
Liczba pracowników
15
40
80
35
25
5
To czy można uznać, że wydajność pracy pracowników ma rozkład normalny?
19. Pewna firma farmaceutyczna oceniła działanie trzech leków nasennych, badając liczbę godzin snu
pacjentów (po sześciu pacjentów w każdej grupie) po zastosowaniu każdego leku:
Lek A : 7 7 6 6 8 8
Lek B: 6 8 6 6 8 6
Lek C: 7 7 6 6 7 8
Przyjmując poziom istotności 0,1 sprawdzić, czy średni czas snu po zastosowaniu każdego z leków jest
identyczny, czy też występują istotne różnice w długości snu?
20. Zbadano grupę 50 pracowników pewnej firmy ze względu na wysokość miesięcznych dochodów oraz
posiadany poziom wykształcenia, wyróżniając trzy kategorie: podstawowe. średnie i wyższe. Na podstawie
porównania wartości średniego wynagrodzenie osób o różnym wykształceniu ustalono zmienność
3
międzygrupową
 ( x
i
na
poziome
(x
i 1
ij
i
 x ) 2 ni  516,6 oraz
wewnątrzgrupową
na
poziomie
 x i ) 2  871,8 . Czy na tej podstawie można mówić o istotnej zależności poziomu dochodu
j
względem poziomu wykształcenia?
21. W celu ustalenia, czy średnia miesięczna sprzedaż trzech marka oleju jest istotnie różna zebrano
informacje z 24 losowo wybranych stacji benzynowych. Uzyskano następujące wyniki dotyczące wielkość
sprzedaży czterech różnych typów olejów do samochodów (rozkład dziennej ilości sprzedaży oleju jest
normalny): zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic, wyniosło
336, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich różnic
wyniosło 100. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności =0,05.
23. Punktualność dostaw pieczywa jest sprawą pierwszoplanową dla funkcjonowania pewnego barku. Jego
właściciel – miłośnik statystyki – dla oceny punktualności dwóch dostawców postanowił porównać wariancje
czasu dostaw. Dla 11 losowo wybranych zamówień u dostawcy A odchylenie standardowe wynosiło 4 min.,
zaś dla tylu samo u dostawcy B – 3 min. Czy są podstawy do preferowania jednego z dostawców. Przyjąć  =
0,1.
24. Producent gofrownic „MARKOWYCH” twierdzi, iż średni czas działania bez awarii (w miesiącach)
produkowanych przez niego urządzeń jest dłuższy niż gofrownic marki „NO NAME”. Czy ma on rację, jeśli
na
podstawie
losowych
prób
uzyskano
następujące
wyniki:
n  200 x  20 , s1  5 ;
„MARKOWA”: 1
, 1
Przyjmij poziom istotności 0,01.
„NO NAME”:
n2  150 , x2  18 , s2  3 ;
25. Dyrektor gimnazjum ogłosił na zebraniu rodziców, że więcej niż 35% uczniów pali na przerwach papierosy.
Proszę sprawdzić, czy jego twierdzenie jest uzasadnione, skoro opiera je na następujących danych: wśród
losowo wybranych 140 uczniów 50 przyznało się (anonimowo) do palenia. (α=0,05).
3
Hipotezy
dr Dorota Węziak-Białowolska
26. Zgodnie z dyrektywą Komisji Europejskiej długość ogona cebuli w krajach członkowskich musi być mniejsza
niż 4 cm. Komisarz Europejski 007 zbadał losowo wybranych 26 cebul w pewnym kraju kandydującym do
UE, stwierdzając, że ich ogony miały średnią długość 3,8 cm przy wariancji 0,295 cm2, zaś rozkład długości
jest normalny.
a) Czy na tej podstawie można stwierdzić, z ryzykiem błędu I rodzaju 0,025, że cebule w tym kraju
spełniają przeciętne normy europejskie? Z jakim minimalnym prawdopodobieństwem błędu I rodzaju
można tak twierdzić?
b) Proszę sprawdzić odpowiednią hipotezę przyjmując, że próba liczyła 100 cebul.
27. W celu weryfikacji hipotezy o wartości oczekiwanej w populacji generalnej o rozkładzie normalnym
wylosowano próbę i odrzucono hipotezę zerową na rzecz dwustronnej hipotezy alternatywnej przy poziomie
istotności równym dokładnie 0,02. Różnica pomiędzy empiryczną i hipotetyczną średnią wyniosła 2.
Wiadomo, że odchylenie standardowe zmiennej w populacji generalnej wynosi 4,30. Ile wynosiła liczebność
próby?
28. Firma zajmująca się sprzedażą detaliczną w skali kraju chce sprawdzić, czy nowy wystrój półek, na
których ustawiane są napoje bezalkoholowe, przyczynił się do zwiększenia sprzedaży. Zebrano
następujące dane o sprzedaży napoju BEZALKOHOLOWY (w szt.) w 15 losowo wybranych sklepach w
tygodniu poprzedzającym zmianę wystroju półek i w tygodniu następującym po zmianie wystroju półek:
Numer sklepu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Tydzień przed
57 61 12 38 12 69 5
39 88 9
92 26 14 70 22
Tydzień po
69 54 20 35 21 70 1
65 79 10 90 32 19 77 29
Czy przy poziomie istotności 0.05 doszedłbyś/doszłabyś do wniosku, że nowy wystrój półek przyczynił się do
wzrostu sprzedaży napoju BEZALKOHOLOWY?
29. Wysunięto hipotezę, że muzyka wpływa na koncentrację i a tym samym na wyniki w nauce. Wylosowano
dwie próby po 120 uczniów każda, przeprowadzono testy i uzyskano następujące wyniki:
Praca w ciszy:
x = 133 pkt s=18,6
Praca przy muzyce: x = 135 pkt s=20
Czy jest tak w rzeczywistości, skoro krytyczny poziom istotności w teście na porównanie średnich wyniósł
0,00074?
4