A. Załącznik A – równanie Schrödingera

A. Załącznik A – równanie Schrödingera
Postać funkcji falowej otrzymuje się rozwiązując równanie, zwane równaniem
Schrödingera:
h2 2
δΨ
ih
−
∇ Ψ + UΨ =
2m
δt
gdzie ħ = h/2π - stała Plancka, m – masa elektronu, ∇ 2 =
δ2 δ2 δ2
+
+
- operator
δx 2 δy 2 δz 2
Laplace’a , Ψ - funkcja falowa, t – czas, U – funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu,
której gradient, wzięty ze znakiem minus, określa siłę działającą na cząstkę. W przypadku
gdy funkcja U jest niezależna od czasu, ma ona charakter energii potencjalnej cząstki (35).
Z równania Schrödingera wynika, że funkcja U – opisująca oddziaływania wewnątrz
rozpatrywanego układu – wyznacza postać funkcji falowej Ψ. Zakładając brak zależności U
od czasu rozwiązanie równania rozkłada się na dwa czynniki – jeden zależny od
współrzędnych przestrzennych, a drugi tylko od czasu:
Ψ ( x , y , z , t ) = ψ ( x, y , z ) ⋅ e
( h )t
−i E
gdzie i – jednostka urojona (i2 = -1), E – energia cząstki.
Podstawiając taką postać funkcji falowej do równania Schrödingera ulega ono
przekształceniu na:
−
h 2 −i (E h )t 2
− i (E )t
− i (E )t
e
∇ ψ + Uψe h = ih(− i E h )ψe h
2m
Poprzez podzielenie obu stron równania przez czynnik e
Schrödingera niezależne od czasu:
−
( h )t
−i E
uzyskuje się równanie
h2 2
∇ ψ + Uψ = Eψ ,
2m
zapisywane często w postaci:
∇ 2ψ +
2m
( E − U )ψ = 0
h2
W mechanice kwantowej, oprócz funkcji falowych, ogromną rolę odgrywa pojęcie
operatora – reguły, która jednej funkcji przypisuje inną. I tak operator –iħ ∇ jest
h2 2
∇ - operatorem energii kinetycznej. Często spotykanym
operatorem pędu cząstki, a −
2m
jest operator, który działając na funkcję φ powoduje jedynie pomnożenie jej przez liczbę
(35):
Âφ = Aφ
Â=A
gdzie  – symboliczne oznaczenie operatora, φ – symboliczne oznaczenie funkcji falowej,
A – symboliczne oznaczenie funkcji.
Równanie Schrödingera niezależne od czasu można zapisać w postaci:
(
Hψ = Eψ
gdzie E – energia całkowita cząstki,
(
(
2
H =−h
2m
)∇
2
+ U – hamiltonian, U – operator
energii potencjalnej.
Ze względu na symetrię atomu często opisuje się go we współrzędnych sferycznych
zamiast we współrzędnych kartezjańskich. Dla tak przedstawionego układu oraz po
uwzględnieniu zależności:
x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosθ
równanie Schrödingera dla stanu stacjonarnego przybiera postać (40):
⎞
− h 2 ⎡ 1 δ ⎛ 2 δΨ ⎞
1
δ ⎛
δΨ ⎞
1
δ 2Ψ ⎤ ⎛ − e2
r
+
sin
θ
+
+ ⎜⎜
Ψ ⎟⎟ = EΨ
⎟
⎜
⎟
⎢ 2 ⎜
2
2
2
2 ⎥
2m ⎣ r δr ⎝ δr ⎠ r sin θ δθ ⎝
δθ ⎠ r sin θ δϕ ⎦ ⎝ 4πε 0 r ⎠
gdzie ħ - stała Plancka, m - masa elektronu, Ψ - funkcja falowa elektronu, r - odległość
elektronu od jądra atomowego, φ, θ - zmienne kątowe, ε0 - przenikalność elektryczna
próżni, E - energia elektronu.
Funkcja falowa zależna jest w takim wypadku od promienia wodzącego r
i zmiennych kątowych φ, θ:
Ψ = Ψ(r, θ, φ)
Dzięki przejściu do układu współrzędnych sferycznych, przekształcenia równania
Schrödingera dla elektronu w atomie wodoru prowadzą do otrzymania „niezależnych
równań falowych, których każde będzie zawierało funkcję tylko jednej współrzędnej
sferycznego układu współrzędnych” (40):
Ψnlm = Rnl (r ) ⋅ Θ lml (θ ) ⋅ Φ ml (ϕ )
gdzie R - część radialna, Θ - część biegunowa, Φ - część azymutalna, n - główna liczba
kwantowa, l - orbitalna liczba kwantowa, ml - magnetyczna liczba kwantowa, r, φ, θ współrzędne sferyczne układu.
Ogólne rozwiązanie funkcji przyjmuje postać:
(
)(
)(
Ψnlm = e − nr r l Lnl (r ) Plml (cos θ ) Ae imlϕ
)
gdzie Lnl(r) - wielomiany Laguerre’a, Plml (cos θ ) - stowarzyszone wielomiany Legendre’a.
Dla tak opisanych funkcji otrzymano trzy stałe kwantowania – nazwane: n - główną,
l - orbitalną i ml - magnetyczną liczbą kwantową.