Warsztaty Doktorskie z zakresu statystyki i ekonometrii

Dominik Śliwicki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania
ESTYMATORY JĄDROWE W ANALIZIE EKONOMETRYCZNEJ
Streszczenie
Klasyczne
metody
analizy
w
znacznej
mierze
opierają
się
na
metodach
parametrycznych, zakładających określony charakter zależności między badanymi zmiennymi
(np. liniowe) oraz określone postacie rozkładów badanych zjawisk. Jednak możliwa do
otrzymania tą drogą różnorodność postaci uzyskiwanych gęstości, ograniczona praktycznie do
kilkunastu standardowych typów rozkładów (np. normalny, jednostajny, trójkątny, beta, tStudenta), może być trudna do zaakceptowania z punktu widzenia złożonych współczesnych
zastosowań. Często charakter tych zależności oraz postacie funkcyjne rozkładów nie są znane
bądź trudne do zidentyfikowania, co powoduje potrzebę wprowadzenia do analizy innych
metod, które nie wymagają tak restrykcyjnych założeń. Fakt ten spowodował konieczność
poszukiwań procedur alternatywnych, niewymagających arbitralnych założeń o typie
badanego rozkładu oraz charakteru zależności – dla podkreślenia odmienności zostały one
nazwane metodami nieparametrycznymi. Obecnie jedną z podstawowych metod estymacji
nieparametrycznej staje się koncepcja estymatorów jądrowych. Zostały one zaproponowane
na przełomie lat pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX. Wieku niezależnie przez Rosenblatta
(1956) i Parzena (1962) a ich zasadnicza koncepcja wywodzi się z problemu estymacji funkcji
gęstości rozkładu prawdopodobieństwa. Od tamtego okresu nastąpił ich dynamiczny rozwój,
wielu badaczy poruszało tą tematykę, np. Silverman (1986), Devroye and Gyorfi (1985),
Eubank (1988), Ullah and Pagan (1999). Stosunkowo mało jest odniesień do estymacji
jądrowej w literaturze polskiej. Kulczycki (2005) jest autorem książki poświęconej jądrowym
estymatorom charakterystyk rozkładu prawdopodobieństwa. W kilku publikacjach można
zauważyć wzmianki na temat jądrowego estymatora gęstości np. Domański, Pruska (2000),
Gajek, Kałuszka (2000), Kulczycki, Hryniewicz, Kacprzyk (2007). W literaturze światowej
dużym zainteresowaniem cieszy się obecnie zastosowanie estymatorów jądrowych do
konstrukcji testów statystycznych m. in. testów nieliniowości, np. Lee (2000)
i
przyczynowości np. Jeong, Nishiyama (2005). Jedynym ograniczeniem w stosowaniu
estymatorów jądrowych jest wymaganie stosunkowo dużej liczebności próby tzn. nie mniej iż
100 obserwacji. Wśród wad i kwestii dotychczas nierozwiązanych należy wymienić brak
możliwości prognozowania na podstawie modelu regresji jądrowej. W praktyce estymatory
jądrowe można zastosować do modelowania rozkładów stóp zwrotu, wyznaczania wartości
narażonej na ryzyko, wygładzania szeregów czasowych.
Celami badawczymi są: ocena efektywności jądrowych estymatorów regresji
dynamicznej, analiza mocy testów opartych na jądrowych estymatorach regresji. Hipotezy
badawcze:
 jądrowe estymatory regresji dynamicznej są efektywnym narzędziem opisu
szeregów czasowych,
 testy skonstruowane w oparciu o estymatory jądrowe posiadają wysoką moc w
wykrywaniu zależności nieliniowych.
Statystyka testowa testu liniowości ma postać:
L' 
1 n
1
ˆt E (ˆt xt ) fˆ ( xt ) 

n t 1
n(n  1)h d
n
n
 ˆ ˆ K
t 1 t '1,t 't
t t'
t 't
gdzie: ˆt  yt  xt ˆ – reszta z modelu liniowego,
n
E (ˆt xt ) 
 ˆ K
t '1,t 't
n
t
K
t '1,t 't
t 't
– jądrowy lokalnie stały leave one out estimator procesu ˆt
t 't
warunkowo względem ciągu wartości xt ,
fˆ ( xt ) 
1
(n  1)h d
n
K
t '1,t 't
t 't
–
jądrowy
leave
one
out
estimator
gęstości
prawdopodobieństwa xt ,
x x 
K t 't  K  t ' t  – jądro d – wymiarowe.
 h 
Rozkład statystyki L' mnożonej przez nh
d
2
jest zbieżny do rozkładu normalnego o średniej
zero oraz wariancji  2 , tzn.:
nh 2 L'  N (0; 2 ) .
d
d
Zgodny estymatorem asymptotycznej wariancji wyrażenia nh 2 L' jest:
ˆ 2 
2
n(n  1)h d
n
n
  ˆ ˆ K
t 1 t '1,t 't
2 2
t t'
2
t 't
.
Pod pewnymi warunkami można dokonać standaryzacji statystyki L' :
L  nh
d
2
L'
.
ˆ
Asymptotyczny rozkład statystyki L jest zbieżny do standardowego rozkładu normalnego
N(0;1).
Wygenerowano 200 obserwacji według schematu:
yt  xt   t ,
gdzie:  t , xt ~N(0;1),    2;0,9;0,2;0,5;3.
Udział odrzuceń hipotezy zerowej o zależności liniowej otrzymany w wyniku 200 powtórzeń
symulacji przedstawia tabela.

-2
-0,9
0,2
0,5
3
udział odrzuceń 0,16 0,24 0,24 0,235 0,22
Podstawowa postać jądrowego estymatora regresji została zaproponowana w 1964 roku
niezależnie przez Nadaraya i Watsona:
 x  xt 
 yt
h 
t 1
ˆ
.
m( x )  n
 x  xt 
k


h 
t 1 
n
 k 
Dynamizacja jądrowego estymatora regresji Nadaraya-Watsona polega na podstawieniu:
xt = yt-1:
 x  yt 1 
 yt
h 
t 2
.
m( x )  n
 x  yt 1 
k


h 
t 2 
n
 k 
Generowano 200 obserwacji według schematu:
yt  yt 1   t ,
gdzie:  t ~N(0;1),    0,5;0,5.
Następnie szacowano regresje za pomocą estymatora według metody najmniejszych
kwadratów oraz estymatora jądrowego. Do porównań estymatorów zastosowano iloraz sumy
kwadratów reszt:
n
e
 ˆ
t 2
n
*2
t
 ˆt2
t 2
,
gdzie: ˆt – reszta z modelu liniowego,
ˆt* – reszta z modelu regresji jądrowej.
W wyniku 200 powtórzeń otrzymano następujące wyniki.

-0,5
0,5
min
1,00321 1,00493
max
1,03253 1,02951
średnia 1,00645 1,00527
W wyniku symulacji zostaną przeprowadzone dalsze badania mocy testu liniowości oraz
efektywności dynamicznych estymatorów regresji, w których schemat generowania danych
będzie przybierał różne postacie funkcyjne.
Literatura
Watson G. S. (1964), Smooth Regression Analysis, Sankhaya Ser. A, Vol. 21, pp. 101 – 116,
Stone J. C. (1977), Consistent Nonparametric Regression, The Annals of Statistics, Vol. 5,
No. 4, pp. 595 – 620,
Fan J., Gijbels I. (1996), Local Polynomial Modelling and Its Applications, Chapman & Hall,
London,
Wand M. P., Jones M. C. (1995), Kernel smoothing, Chapman & Hall, London,
Phillips P. C., Park J. Y. (1998), Nonstationary Density Estimation and Kernel
Autoregression, Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University,
Economics Division, Seoul National University,
Lee T.- H. (2000), Neural Network Test and Nonparametric Kernel Test for Neglected
Nonlinearity In Regression Models, Depatment of Economics Uniwersity of California,
Zheng J. X. (1996), A Consistent Test of Functional Form Via Nonparametric Estimation
Techniques, Journal of Econometrics, Vol. 75, pp. 263 – 289,
Li Q. (1999), Consistent Model Specification Tests for Time Series Econometric Models,
Journal of Econometrics, Vol. 92, No. , pp. 101 – 147,
Hjellvik V., Tjostheim D. (1995), Nonparametric Tests of Linearity for Time Series,
Biometrika, Vol. 82, No. 2, pp. 351 – 368,