ELEKTRYCZNOŚĆ i MAGNETYZM Podstawowe pojęcia elektrostatyki

2015-10-03
ELEKTRYCZNOŚĆ
i MAGNETYZM
ELEKTROSTATYKA
zagadnienia związane
z oddziaływaniem ładunków
elektrycznych w spoczynku
Podstawowe pojęcia
elektrostatyki





q
q
l
q
 
S

siły elektrostatyczne wywołane
q

są ładunkiem elektrycznym
V
ładunek elementarny e = 1.6010–19 C
ładunek punktowy, liniowy,
powierzchniowy i objętościowy
w układzie zamkniętym całkowity ładunek
pozostaje stały
1 q1  q2
q q
F 
k 1 2 2
2
4  o r
prawo Coulomba
r
k
gdzie 0=8.85410–12 C2/(Nm2) to przenikalność dielektryczna próżni
1
2015-10-03
q F
Pole elektryczne


E
Natężenie pola elektrycznego

 F
E
q
[N/C] lub [V/m]
P


r r r '
Q

Pole elektryczne ładunku punktowego

1 Q  gdzie r' jest wektorem jednostkowym
E
r ' skierowanym od ładunku Q do punktu P(x, y, z)
4  o r 2


Pole od n ładunków punktowych

E

4
1
n

n
Qj 
r, 
E x , y , z 
o  r 2 j  j
j 1 j
Q1
Q2

E1 E 2

E3
Q3
j 1
P

r
Pole od ładunku rozłożonego
z gęstością 


E 
1
4  o V
 x, y , z  r
r
r2
dxdydz
V
Dipol elektryczny


moment dipolowy p  Ql

p
z podobieństwa trójkątów
F 

F2

F

F1
F
l

F1 r
l
l  Qq 
p
F1   k 2   qk 3
r
r r 
r
E
1
p
4  o r 3
Pole elektryczne dipola szybko
maleje z odległością
2
2015-10-03
Energia potencjalna

Pole elektrostatyczne jest polem zachowawczym tzn.
 
 
WABA   F  ds  q  E  ds  0


 
E
  ds  0
praca nie
zależy od
drogi
Energia potencjalna to praca jaką muszą wykonać siły
zewnętrzne, aby przenieść ładunek z nieskończoności do danego
punktu pola
A 

U A  q  E  ds


Energia potencjalna ładunku punktowego q umieszczonego w
polu ładunku Q (tor radialny więc ds = dr)
r
1
qQ
Q
1
dr 
2
4



4



r
o
r
o
r
r

U  q 
U
rA
rB
r
Q, q różnoimienne to U<0
przy rozsuwaniu siły zew. wykonują pracę to U wzrasta
Potencjał pola
elektrostatycznego

Potencjał elektryczny określamy jako energię
potencjalną jednostkowego ładunku
V U
q

wolt V = J/C
Potencjał elektryczny jest to praca jaką należy
wykonać aby przenieść jednostkowy ładunek z
nieskończoności na odległość r od danego
ładunku Q
A 

V    E  ds

V 
Q
4o  r r
1
3
2015-10-03
Różnica potencjałów – napięcie elektryczne
V+dV
V
V-dV
ds 
E
A

V  VA  VB    E  ds
B


dV r
E 

dr r


E   grad V

 V  V  V  
i 
j
k
grad V  
y
z 
 x
powierzchnie ekwipotencjalne – stały potencjał
V=const


 V=0  E  dr  0
czyli


E  dr
powierzchnie ekwipotencjalne są prostopadłe do linii sił pola
Strumień pola elektrycznego
strumień to iloczyn natężenia
pola przez powierzchnię

S
S
 
 E  E  S  EScos

S j
E 


[Vm]


 E j  S j   E  dS
j
S
strumień określa liczbę linii sił pola
przechodzących przez daną powierzchnię
4
2015-10-03
Prawo Gaussa

strumień natężenia pola elektrycznego przez
dowolną, zamkniętą powierzchnię równy jest
całkowitemu ładunkowi zamkniętemu w tej
powierzchni podzielonemu przez  o r
n
E  
i =1

qi
 o r
w przypadku ładunku o gęstości objętościowej


 E  dS 
S
1
 or V
dV
Algorytm wyznaczania
natężenia pola z prawa Gaussa

wybieramy powierzchnię Gaussowską:
• prostopadłą lub równoległą do E
• tak aby E było stałe na tej powierzchni




obliczamy strumień
określamy ładunek zawarty wewnątrz tej
liniowy rozkład ładunku
powierzchni


stosujemy prawo Gaussa

E
E
obliczamy wartość pola E
   pb  2 pp   pb  E 2 rh
q  h
  q o
E 2 rh   h  o
h

E 
2 o r

E
A
r
5
2015-10-03
PRZYKŁAD - nieskończona płaszczyzna
o gęstości powierzchniowej ładunku 

 
   E  dS  2ESo
E
2 ESo 
S0
E
S o
 o r

2 o  r
Pole elektryczne w dielektrykach
Dielektryk umieszczony w zewnętrznym polu elektrycznym E 0
pow. Gaussa

z
E0
dielektryk
Prawo Gaussa
z
Ep

S
E=E0-Ep
dielektryk ulega polaryzacji
na powierzchni indukują się
ładunki związane o gęstości z

 E  dS 
   z   S
0


 Pn S
0
zamiast mówić o ładunkach
związanych wprowadzamy wektor
polaryzacji dielektrycznej P
  
 
  o E  P dS   D  dS  S  Q
S

S

D   oE   o  E   o 1   E


r  1  
D   o r E
wektor indukcji elektrostatycznej

 
D   oE  P
6
2015-10-03
Prawo Gaussa w dielektrykach




D   o r E
 D  dS  Q
S
Strumień wektora indukcji przez powierzchnię zamkniętą
równy jest ładunkowi swobodnemu zawartemu w obszarze
ograniczonym rozpatrywaną powierzchnią
 


E
 o r  dS  Q
S
 
1
E
  dS  Q
 o r
S
informacja o dielektryku zawarta jest w przenikalności dielektrycznej r
Dla próżni r=1, a =0
  1
E
  dS  Q
S
o
linie sił prądu
Prąd elektryczny

prąd elektryczny to ilość ładunku przepływająca
przez dany przekrój w jednostce czasu (1A)
Q dQ

t
dt 


j   vd  nevd
 gęstość prądu
I 

I
 
I  j S


I   j  dS
S
Prawo Ohma: stosunek R = V/I nie zależy od
natężenia prądu I dla metali przy stałej
temperaturze (1om W = V/A)
I  V
R




j  nevd  ne E   E
 - przewodność
właściwa (S)
7
2015-10-03
Pole magnetyczne
Oddziaływania magnetyczne



elektrostatyka – oddziaływanie nieruchomych
ładunków
gdy ładunki poruszają się pojawia się nowy
typ oddziaływania – oddziaływanie
magnetyczne, zależne od prędkości ładunków
na naładowaną cząstkę poruszającą się w
polu magnetycznym działa siła, wynikająca z
istnienia tego pola
Istnienie siły magnetycznej jest
następstwem uwzględnienia szczególnej
teorii relatywistycznej w prawie Coulomba





wzór Lorentza konsekwencją fizyki
relatywistycznej F=qvB
pole magnetyczne B=F/qv – indukcja
magnetyczna [B]=Ns/Cm=N/Am=T (tesla)
0=1/0c2 – przenikalność magnetyczna
próżni = 4·10-7 V·s/A·m c2 =1/(0·0)
względność pól: magnet. i elektrycznego
indukcja, a natężenie pola magnetycznego

B  0 

I
 0  H
2 r
8
2015-10-03
Przykłady pól magnetycznych
magnes sztabkowy
przewodnik liniowy
cewka z prądem
solenoid
Jak wyznaczyć pole magnetyczne od danego rozkładu prądów?
Prawo Ampera
Pozwala wyznaczyć pole magnetyczne
w przypadku symetrii układów prądów
Rozważmy nieskończenie długi przewód
prostoliniowy w którym płynie prąd I
I

r

ds
Cyrkulacja wektora B po okręgu:

B
I


 B  ds    B ds
B ||ds
 B  ds 
B const.
o 2I
 2 r  oI
4 r
Okazało się, że wyrażenie to jest słuszne nie tylko dla okręgu
9
2015-10-03
Treść prawa Ampera
Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest równa
sumie algebraicznej natężeń prądów płynących
wewnątrz konturu całkowania pomnożonych przez
przenikalność magnetyczną ośrodka
n
 
 B  ds  o r  Ii  o r Ic
S
i 1
C
w przypadku prądu niejednorodnego:

 

B

d
s



j

d
S

o r
C
C
I
S
gdzie powierzchnia S jest rozpięta na konturze C
Właściwości pola
magnetycznego
 Pole
magnetyczne nie jest polem
zachowawczym,

ponieważ cyrkulacja wektora B po konturze
 
zamkniętym jest różna od zera
B  ds    I

C
 Pole
o r c
magnetyczne jest polem wirowym
 Pole
elektrostatyczne jest polem bezwirowym, bo
jest polem zachowawczym:
 
E
  ds  0
C
10
2015-10-03
Strumień magnetyczny
 
 B   B  dS
S
Tw. Gaussa: Strumień magnetyczny przez dowolną
zamkniętą powierzchnię równa się zeru
S1
B  0


B

d
S
0

S




N
S
S2
linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte
w przyrodzie nie występują ładunki magnetyczne
pole magnetyczne jest bezźródłowe
jednostka strumienia weber Wb=Tm2
Obwód z prądem, a magnes stały
Skąd wynika podobny kształt linii sił pola
magnetycznego magnesu stałego (a) i solenoidu (b)?
11
2015-10-03
Magnetyczny moment dipolowy
Występowanie biegunów magnetycznych N i S rozsuniętych
na odległość l kojarzy się z pojęciem dipola magnetycznego
Właściwości dipolowe w czasie przepływu prądu mają
zarówno solenoid, jak i obwód kołowy czy pojedyncza ramka
Pojedynczy zamknięty obwód o powierzchni przekroju S
przez który płynie prąd o natężeniu I charakteryzuje się
dipolowym momentem magnetycznym pm:


pm  I  S
[1 Am2]
r 
indukcja pola na osi obwodu w odległości r wynosi

B  o

pm

B
pm
I
analogia do dipola
elektrycznego
2 r 3


pm  I  S
Dipole magnetyczne
Przykładowe wartości niektórych
dipolowych momentów magnetycznych
cewka z prądem
1 J/T
magnes sztabkowy
5 J/T
Ziemia
8,0 1022 J/T
proton
1,4 10-26 J/T
elektron
8,0 10-24 J/T

pm
pm
pm
I

 pm
12
2015-10-03
Indukcja
elektromagnetyczna
Czy pole
magnetyczne
powoduje powstanie
pola elektrycznego?
Doświadczenie Faraday’a
+ B
I1
M
K
+
1
K1
B
K2
2
G
G
I2
13
2015-10-03
Siła elektromotoryczna SEM
Źródło siły elektromotorycznej wykonuje pracę nad nośnikami ładunku
utrzymując różnicę potencjałów między zaciskami (biegunami)
Źródła siły elektromotorycznej:
 ogniwo elektryczne (bateria)
 prądnica elektryczna (SEM indukcji)
 ogniwa słoneczne
 ogniwa paliwowe (np. wodorowe)
 termoogniwa
SEM 
dW
dq
V   volt
ozn. SEM, U0,

Siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą przypadającą na
jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z
bieguna o mniejszym potencjale, do bieguna o większym potencjale
Prawo indukcji Faraday’a
d B
SEM  
dt
 
d B
E

d
s



dt
Siła elektromotoryczna indukcji
równa się szybkości zmiany
strumienia indukcji magnetycznej
 
d  
E

d
s


B  dS

dt S
Cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego
wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej równa się
szybkości zmian strumienia pola magnetycznego
obejmowanego przez tę krzywą
14
2015-10-03
Reguła Lenza

v

v

prąd indukowany w obwodzie ma zawsze taki kierunek, że
wytworzony przezeń strumień magnetyczny przez
powierzchnię ograniczoną przez ten obwód przeciwdziała
zmianom strumienia, które wywołały pojawienie się prądu
indukowanego

reguła Lenza jest konsekwencją zasady zachowania energii

pole elektryczne wywołane zmianami indukcji
magnetycznej powstaje niezależnie czy w polu są
przewodniki czy nie

pole elektryczne wywołane przez zmiany strumienia nie
jest polem zachowawczym – jest polem wirowym
jeśli zmienne pole
magnetyczne powoduje
powstanie pola
elektrycznego, to czy
zmiany pola elektrycznego
nie powodują powstania
pola magnetycznego?
Indukowane pole
magnetyczne
rozważmy płaski kondensator ładowany przez
opór R ze źródła o stałej sile elektromotorycznej

B

B
I(t)

dD
dt
R

B
wokół przewodnika powstaje
pole magnetyczne, a co w
obszarze między okładkami?
U0
15
2015-10-03
Prąd przesunięcia
prawo
Ampera powinno być spełnione dla
dowolnej powierzchni rozpiętej na okręgu



 

E
 B  ds  o I  IP   o  j  dS o o  t  dS
C
S
S
Uogólnione prawo Ampera

  D  
 B  ds  0 r S  j  t   dS
C




Cyrkulacja wektora indukcji magnetycznej jest
równa sumie algebraicznej natężeń prądów
płynących wewnątrz konturu całkowania i zmian
strumienia pola elektrycznego pomnożonych przez
przenikalność magnetyczną ośrodka
Prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne
wytwarzają wirowe pole magnetyczne
16