Dynamiczne równania ruchu
advertisement
MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu. Dynamiczne równania ruchu W kartezjańskim układzie współrzędnych Wektory F i a mają składowe: Dynamiczne równania ruchu przybierają postać: Dynamiczne równania ruchu We współrzędnych biegunowych Dynamiczne równania ruchu We współrzędnych walcowych r We współrzędnych kulistych: Zadania dynamiki 1. Zadanie pierwsze - zadane są parametryczne równania toru x x(t ) y y (t ) z z (t ) Należy wyznaczyć siłę F , pod której wpływem porusza się punkt materialny. Tok postępowania: Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe wektora siły działającej na punkt. Zadania dynamiki 2. Drugie zadanie dynamiki - należy wyznaczyć przyspieszenie, prędkość i tor poruszającego się punktu, przy danej masie i sile. a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie, b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła, c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości, d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór powietrza. Dynamiczne równania ruchu W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych kartezjańskich mają postać: Całka ogólna równań ruchu Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i uwzględniając zadane warunki początkowe (położenie początkowe punktu i prędkość początkową) wyznacza się równania toru. x xo x xo Dla t = 0 y yo y y o z zo z zo Parametryczne równania toru mają postać: Przykład 1 Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym równaniami x 4t 2t 6 3 2 y 3t 4 2 Wyznaczyć siłę działającą na tę masę Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy składowe przyspieszenia Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy składowe wektora siły Wektor siły Przykład 2 Ruch pod wpływem siły F0 Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0 Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0 czyli ro v o , otrzymamy r ro , otrzymamy Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i prostoliniowego. Przykład 3 Ruch pod wpływem siły stałej F const Równanie ruchu ma postać Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych, że dla t = 0 ro v o i r ro otrzymamy Przykład 4 Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia. Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością vo. Równanie ruchu: ale lub Po scałkowaniu otrzymujemy równanie Przykład 4 cd. Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość początkową vo. Podstawimy więc v = 0, x = H, xo = R otrzymamy lub po przekształceniu Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą planety. Prędkość tę v∞ otrzymamy po podstawieniu do wzoru vo = v∞ oraz H = ∞. Przykład 4 cd. Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość ucieczki dla Ziemi Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 otrzymamy: v∞ ≈ Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się satelitą Ziemi. Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch postępowy Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniami oraz W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem w którym nazywamy siłą bezwładności unoszenia. Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch postępowy Równanie ruchu przybiera postać: Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch postępowy, punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia. Zasada względności mechaniki klasycznej: Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia. Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać : – siła bezwładności unoszenia, – siła bezwładności unoszenia Coriolisa. Po podstawieniu Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Względem ruchomego układu odniesienia, wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła bezwładności Coriolisa. W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego (dośrodkowego), czyli w związku z tym Dt – styczna siła bezwładności, Dn – normalna siła bezwładności Dc – siła Coriolisa Ruch względny – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Wartości tych sił określone są wzorami: e – przyśpieszenie kątowe ruchu obrotowego w – prędkość kątowa ruchu obrotowego Ruch względem Ziemi W wielu zagadnieniach praktycznych za układ odniesienia przyjmujemy Ziemię. Ściśle biorąc jest to układ nieinercjalny. Jednak z wystarczająco dobrym przybliżeniem Ziemię możemy uważać za układ inercjalny, o ile tylko będziemy rozpatrywać ruch w przedziałach czasu krótkich w porównaniu z okresem ruchu postępowego i obrotowego Ziemi. Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy występujących w praktyce prędkościach, siła Coriolisa. Układ nazywamy inercjalnym gdy przyśpieszenie jest tylko skutkiem siły działającej na ciało. RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO – układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy Przykład 1 Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie Rys. 9 Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO – układ ruchomy wykonuje ruch postępowy Rys. 8 x Ostatecznie: Dla au g tg punkt materialny będzie poruszał się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry. Gdy au g tg , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).
