Wykład08

PODSTAWY MECHANIKI
PŁYNÓW
WYKŁAD 8
ZASADY ZACHOWANIA
Zastosowania równania Bernoulliego
Równanie ciągłości ruchu jednowymiarowego
Masa płynu wpływającego w czasie dt przez przekrój 1-1 wynosi
Avdt
Masa płynu wypływającego przez przekrój 2-2 wynosi:
 
A  v 

   ds  A  ds  v  ds dt
s 
s  s 

(1)
Po wymnożeniu i pominięciu wielkości małych wyższego rzędu otrzymamy:

v 
 A
Avdt v  Av ds  A dsdt
s
s 
 s
(2)
W ruchu ustalonym masy płynu przepływającego w czasie dt
przez przekrój 1-2 i 2-2 są jednakowe, zatem
(3)

v 
 A
Avdt  Avdt   v  Av ds  A dsdt
s
s 
 s
czyli
 Av 
 0  Av  const.
s
(4)
W ruchu nieustalonym różnica płynu dopływającego przekrojem 1-1 i
wypływającego przekrojem 2-2 w czasie dt jest równa zmianie masy zawartej
między przekrojami 1-1 i 2-2, będącej skutkiem zmiany gęstości płynu i wynosi:
czyli

 ( vA)
Adsdt  
dsdt
t
s
(5)
  ( vA)
A

0
t
s
(6)
Dla ruchu ustalonego

0
t
zatem równanie (6) przybiera postać (4)
Dla płynu nieściśliwego ρ = const.
więc
vA = const.
Równanie ciągłości ruchu ogólnego
Różnica mas wpływających i wypływających wynosi:
Suma tych przyrostów jest równa lokalnej zmianie masy
wynikającej ze zmiany gęstości  dxdydzdt czyli:
t
Po podzieleniu przez dxdydzdt otrzymamy:
(12)
Po przekształceniach:

 
 v  grad    div v 
t
Więc równanie (12) można zapisać w postaci
(13)
Dla płynu nieściśliwego ρ = const. otrzymamy równanie ciągłości w postaci:
(14)
lub
(15)
Równanie Bernoulliego
Założenia:
 płyn nielepki, nieściśliwy,
 ruch jednowymiarowy, ustalony,
 prędkość jest stała w przekroju poprzecznym strugi.
Całkowita energia mechaniczna płynu przepływającego
przez przekrój 1-1 w czasie dt składa się z:
 energii potencjalnej położenia
E'p  gQdtz1
 energii potencjalnej ciśnienia, równej iloczynowi siły
powierzchniowej
czyli
p1A1 i przesunięcia
ds1 = v1dt
E"p  p1 A1v1dt  p1Qdt
 energii kinetycznej masy dm = pQdt,
poruszającej się z prędkością v1, czyli
2
v1
E k  Qdt
2
Całkowita energia płynu przepływającego w czasie dt
przez przekrój 1-1 wynosi:
(16)
1
2
E c1  gQz1dt  p1Qdt  gQv1 dt ,
2
a przez przekrój 2-2
(17)
Ec 2
1
2
 gQz 2 dt  p2Qdt  gQv 2 dt ,
2
Ponieważ ruch odbywa się bez strat energetycznych, to:
zatem
Ec1  Ec 2
(18)
(19)
Po podzieleniu równania (19) obustronnie przez ρgQdt otrzymamy:
(20)
Ogólne równanie Bernoulliego zapisujemy w postaci:
(21)
Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego
Zjawisko spiętrzenia strugi
Oznaczając 1- punkt spiętrzenia (stagnacji) strugi, zapiszemy równanie
Bernoulliego w postaci:
(22)
Po przekształceniu
p1 
 v 
gdzie:
p∞ – ciśnienie statyczne ps
– ciśnienie dynamiczne pd
p1 
zatem:
– ciśnienie całkowite pc
pc  ps  pd
(23)
Rurka Pitota
h


p
1
z
p. p.
1
Z równania Bernoulliego:
(24)
Po podstawieniu:
otrzymamy:
p1  pb  g ( z  h),
p  pb  gz,
a po uproszczeniu
h
 v 
(25)
Rurka Pitota + U-rurka – pomiar prędkości przepływu gazu
Z prawa naczyń połączonych, przy założeniu ρm << ρ otrzymamy
(26)
skąd
v 
(27)
Rurka Prandtla
Z równania Bernoulliego dla punktu spiętrzania:
stąd
v 
(28)
Z prawa naczyń połączonych
p A  pB
p A  p  z m g
p B  p1  zg
(29)
p1  p  z (  m   ) g
Po podstawieniu (29) do (28) otrzymamy:
v 
(30)
Pomiar strumienia objętości zwężką pomiarową
Z równania Bernoulliego, dla z1 = z2 = 0, poziom odniesienia w osi rury
(31)
a z równania ciągłości przepływu
v1 A1  v2 A2  v1 
(32)
A2
gdzie: m 
jest modułem zwężki.
A1
Po podstawieniu (32) do (31) otrzymamy:
v2 
(33)
Z prawa naczyń połączonych
p1  p2 
(34)
Po podstawieniu (34) do (33) otrzymamy wzór na prędkość
v2 
(35)
Więc strumień przepływu wynosi:
q
(36)
Uwzględniając straty tarcia wewnętrznego cieczy w postaci współczynnika k
otrzymamy ogólny wzór w postaci:
q
(37)
Po oznaczeniu  
k
1 m
2
i podstawieniu A2  mA1 otrzymamy:
q
(38)
Dla płynu ściśliwego wprowadzimy jeszcze współczynnik ekspansji ε
q  mA1
Współczynnik ekspansji
  1.0
2p

  f (p / p1 ,  , m),   0.85 1.0
(39)
dla cieczy
Liczba przepływu
  f (m, Re),
ale dla Re > Regr
  f (m)
Liczbę przepływu można wyznaczyć na podstawie wykresu przedstawiającego
zależność  0  f (m, Re),, przy czym    0 k1k2 k3 ,
gdzie:
k1  f1 (m, Re), - mnożnik poprawkowy lepkości, k1  1  1.06
k2  f 2 (m, Re), - mnożnik poprawkowy chropowatości, k2  1  1.1
k3  f 3 (m, Re), - mnożnik poprawkowy nieostrości krawędzi wlotowej
kryzy, k3  1  1.1
Rozkład ciśnienia – mierniczy spadek ciśnienia i strata ciśnienia.
a) kryza
b) Zwężka
p s
Zależność
p
od modułu kryzy i zwężki Venturiego.