Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernouliego
advertisement
Graficzna interpretacja i zastosowanie równania Bernoulli,ego Józef Wojnarowski Daniel Bernoulli • • • Daniel Bernoulli (ur. 9 lutego 1700 r. – zm. 17 marca 1782 r.) - szwajcarski matematyk i fizyk. Był profesorem uniwersytetów w Bazylei i Petersburgu. Twórca podwalin mechaniki statystycznej (kinetyczna teoria gazów). Obszarem jego zainteresowań były także medycyna i fizjologia. Jako matematyk zajmował się rachunkiem prawdopodobieństwa, równaniami różniczkowymi i metodami przybliżonymi rozwiązywania równań. Zdefiniował liczbę e. Jako fizyk rozwiązał problem struny drgającej i podał równanie ruchu stacjonarnego cieczy idealnej zwane równaniem Bernoulliego. Pochodził ze znanej rodziny matematyków Bernoullich. Jego ojcem był Johann Bernoulli a wujem Jakob Bernoulli. Równanie Bernoulliego Równanie Bernoulliego opisuje parametry płynu doskonałego płynącego w rurze (niekoniecznie materialnie istniejącej) o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy doskonałej (która jest nieściśliwa) i zasady zachowania energii mechanicznej. Szczególna postać równania Założenia: ciecz jest nieściśliwa ciecz nie jest lepka przepływ stacjonarny i bezwirowy Szczególna postać równania Bernoulliego gdzie: ρ -gęstość cieczy v - prędkość cieczy w rozpatrywanym miescu h - wysokość w układzie odniesienia w którym liczymy energię potencjalną g - przyspieszenie grawitacyjne p - ciśnienie cieczy w rozpatrywanym miejscu • Poszczególne człony to: energia kinetyczna, energia potencjalna przyciągania ziemskiego, energia ciśnienia. • Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz. Ogólna postać równania Bernoulliego Gdzie: Φ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada Φ = gh w - energia ciśnienia (ε - energia wewnętrzna płynu). Równanie Bernoulliego może z pewną dokładnością stosowane też dla cieczy ściśliwych. Opracowano także wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to ma postać: Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione też dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane też dla gazów. Praktyczne wykorzystanie równania Bernulliego Z równania Bernuliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość: Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury to wzór upraszcza się do: W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (v1 > v2), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju. Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy. Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny. Zastosowanie równania Bernoulliego Z równania Bernoulliego wynika wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych: paradoks hydrodynamiczny zjawisko zrywania dachów gdy wieje silny wiatr zasada działania sondy Pitota zasada działania sondy Prandla zasada działania sondy Venturiego pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu Graficzna interpretacja równania Bernoulliego Najczęściej równanie Bernoulliego jest przedstawiane w postaci: Ponieważ każdy ze składników tego równania ma wymiar długości, noszą one odpowiednio nazwę wysokości prędkości, wysokości ciśnienia i wysokości położenia. Sumę wspomnianych wysokości nazywamy wysokością rozporządzalną. Na rysunku przedstawiono wykres obrazujący zmianę każdej wysokości w strudze o zmiennym przekroju. Wykres ten składa się z trzech linii: *oś strugi leżąca na wysokości z ponad poziomem odniesienia, *linia ciśnień leżąca o p/g ponad osią strugi, *linia energii leżąca o v2/2g ponad linią ciśnień. Równanie Bernoulliego odniesione do dwu przekrojów poprzecznych jednej i tej samej strugi ma postać: stosowaną najczęściej do rozwiązywania konkretnych zadań. Równanie Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii w przepływie płynu nielepkiego. Mimo wyraźnej rozbieżności tego twierdzenia z doświadczeniem, stwierdzającym powstawanie strat energetycznych podczas przepływów płynów rzeczywistych, w zagadnieniach praktycznych, gdy odległość między przekrojami strugi jest niewielka i nie ma znacznego rozpraszania energii na drodze przepływu, pojawiające się rozbieżności między wynikami teoretycznymi i doświadczalnymi korygujemy, wprowadzając odpowiednie współczynniki. Wiele tych zagadnień wymaga równoczesnego zastosowania równania Bernoulliego i równania ciągłości, które w odniesieniu do jednowymiarowych ustalonych przepływów płynów ma następujące postacie: w przypadku płynu ściśliwego VA=const. w przypadku płynu nieściśliwego VA=const. Zastosowanie równania Bernoulliego w zagadnieniach pomiaru prędkości i strumienia objętości. Pomiar prędkości miejscowej W obszarze przepływu mogą znajdować się punkty, w których prędkość przepływu v= 0, nazywane punktami spiętrzenia (stagnacji), gdzie ciśnienie statyczne przybiera wartości ciśnienia całkowitego, zwanego ciśnieniem spiętrzenia. Jeżeli płyn poruszający się ruchem jednostajnym z prędkością v pod ciśnieniem p napotyka na przeszkodę w postaci ciała zanurzonego, to przed przeszkodą następuje spiętrzenie w punkcie S oraz opływ rozdzielonych strug dookoła tej przeszkody. Równanie Bernoulliego dla poziomej linii prądu przechodzącej przez ten punkt ma postać: Sumę ciśnienia statycznego p i ciśnienia dynamicznego nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie spiętrzenia jest równe ciśnieniu całkowitemu w przepływie niezakłóconym. Wyznaczenie prędkości miejscowej (lokalnej) można zatem sprowadzić do zagadnienia pomiaru ciśnienia spiętrzenia oraz ciśnienia statycznego w obszarze przepływu niezakłóconego lub różnicy tych ciśnień, ponieważ z powyższego wzoru wynika: Pomiar prędkości średniej i strumienia objętości metodą prędkościomierzową W przepływach przez prosto osiowe rury o kołowym przekroju (o promieniu R) strumień objętości gdzie: v (r) – miejscowa prędkość przepływu prostopadła do elementu dA = 2. r dr przekroju poprzecznego przewodu w odległości r od osi. W prostoosiowym kanale prostokątnym o polu powierzchni A strumień objętości gdzie: v – prędkość miejscowa w polu elementarnym dA = 2.dr przekroju hydrometrycznego A ( prostopadła do dA). Prędkość średnia w tych przekrojach jest ilorazem strumienia objętości i pola przekroju poprzecznego W praktyce bryłę prędkości wyznaczamy następująco: dzielimy przekrój hydrometryczny na równe pola cząstkowe, mierzymy za pomocą prędkościomierzy (np. rurek piętrzących) miejscowe prędkości przepływu w odpowiednich miejscach tych pól v = v (x, y), a następnie wyznaczamy metodą rachunkową lub wykreślną prędkość średnią i strumień przepływu. Na rysunku pokazano schemat pomiaru rozkładu prędkości w przewodzie o przekroju prostokątnym (np. wentylacyjnym) za pomocą rurki Prandtla. Pomiar strumienia objętości metodą zwężkową Dla ustalonego ruchu płynu w poziomej rurze, w której pewien odcinek zastąpiono przewężeniem – zwężką, równanie Bernoulliego dla przekrojów 1. i 2. ma postać Z równania ciągłości wiadomo, że Stosunek średnicy otworu ( gardzieli) zwężki (d) do średnicy wewnętrznej rurociągu (D) nazywamy przewężeniem: ß = d/D. Po rozwiązaniu układu równań względem v2, otrzymamy: a zatem: miarą średniej prędkości przepływu przez zwężkę jest spadek ciśnienia (p = p1 – p2) między jej przekrojami mierniczymi, zwany ciśnieniem różnicowym. Wypływ ustalony przez mały otwór Rozpatrzmy przepływ cieczy przez mały otwór, znajdujący się w pionowej ścianie oddzielającej dwa zbiorniki wypełnione cieczami o gęstościach i oraz j przy wysokościach cieczy hi oraz hj. Nad cieczami znajdują się gazy o ciśnieniach odpowiednio pi oraz pj. Zakładamy, że przepływ jest ustalony, tzn. wysokości hi oraz hj i ciśnienia pi oraz pj – podczas przepływu nie ulegają zmianie. Po przyjęciu poziomu odniesienia w osi otworu, równanie Bernoulliego ma postać W przypadku otworu małego (A0 >> A1) (A1/A0) 0 v0 0, prędkość wypływu (przepływu) ze zbiornika (i) określa zależność: Jeżeli wprowadzimy oznaczenia gdzie Hi oraz Hj nazywamy wysokościami rozporządzalnymi, wzór przyjmie postać: a zatem prędkość przepływu (wypływu) cieczy nielepkiej zależy od różnicy wysokości rozporządzalnych w obu zbiornikach. Szczególne przypadki wypływów: v=2gh - zależność ta jest zwana wzorem Torricellego Wypływ ustalony przez duży otwór Jeżeli wymiary otworu (wymiar pionowy) są wielkościami tego samego rzędu co głębokość zanurzenia jego środka, to prędkości wypływu strug na różnych głębokościach są rozmaite. Niech A oznacza pole otworu (o dowolnym konturze) znajdującego się w płaskiej ścianie nachylonej do poziomu pod kątem . Prędkość wypływu przez powierzchnię elementarną dA na głębokości z wynosi: zaś pole powierzchni elementarnej dA = b(z) dy = b(z) , a zatem elementarny strumień objętości: Całkowity rzeczywisty strumień objętości: W otworze prostokątnym umieszczonym w ścianie pionowej: a zatem strumień objętości wypływającej cieczy zależy od wysokości jej spiętrzenia nad dolną krawędzią otworu. Gdy powierzchnia swobodna cieczy znajduje się poniżej górnej krawędzi otworu, otwór staje się przelewem. Przelewy są stosowane jako przyrządy do pomiaru strumienia objętości wody w przewodach otwartych. Przelew mierniczy prostokątny ze zwężeniem bocznym Przelew mierniczy prostokątny ze zwężeniem bocznym Dla każdego przelewu może być sporządzona krzywa określająca zależność strumienia objętości od wysokości spiętrzenia qV = f (h), zwana charakterystyką przepływu.
