Wykład09

PODSTAWY MECHANIKI
PŁYNÓW
WYKŁAD 9
WYPŁYWY PRZEZ OTWORY I
PRZYSTAWKI
Wypływ przez mały otwór
Z równania Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 otrzymamy:
(1)
skąd
v
(2)
Dla zbiornika otwartego, gdy pn = 0 a p = pb
otrzymujemy wzór
Torricellego
v
(3)
Przepływ między dwoma zbiornikami
Równanie Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 przybiera postać
p1
p2  2gh2  2
 h1 

,
1g
1g
2g
skąd
v
(4)
(5)
Rzeczywista prędkość wypływu jest mniejsza
vr   v
(6)
Współczynnik φ, jest współczynnikiem prędkości, i
ma wartość zależną od liczby Reynoldsa.
Rys. 3. Formowanie się strugi cieczy podczas wypływu przez otwór o ostrych
krawędziach
Wskutek oddziaływania na cząstki płynu sił bezwładności struga ulega
zwężeniu (kontrakcji), a ciśnienie osiąga wartość ciśnienia otoczenia właśnie w
miejscu maksymalnego przewężenia, gdzie występuje prędkość określona
wzorem (2), to rzeczywisty strumień wypływu wynosi:
(7)
qvr  vr Ac  vA,
gdzie:   Ac / A - jest współczynnikiem kontrakcji,
   - współczynnikiem wypływu.
Tabela 1.
Ssące działanie strugi
Równanie Bernoulliego dla przekroju 1-1 i 2-2 przybiera postać
(8)
a równanie ciągłości
2
(9)
Po podstawieniu (9) i (8) i wyznaczamy p1
p1 
(10)
gdzie v2   2 gh.
Wartość współczynników φ, κ, μ dla różnych przystawek przedstawiono
w tabeli 2.
Wypływ ustalony cieczy przez duży otwór
Prędkość wypływu cieczy w odległości z od zwierciadła określa
wzór Torricellego
v  2 gz
(11)
Przez elementarną powierzchnię
dz
dA  b( y )dy  b( z )
sin 
(12)
wypływa ciecz o elementarnym strumieniu objętości
b( z )
dqV 
sin 
2 gz dz
(13)
Strumień objętości wypływającej przez powierzchnię A wynosi
h2
2g
qV    dqV  
b( z ) z dz

sin  h1
A
(14)
Dla otworu prostokątnego w pionowej ścianie
b(z) = b = const., sinα = 1, zatem
qV 
(15)
Dla b(z) = b = const., sinα = 1, h1 = 0, h2 = h otrzymamy wzór dla przelewu
qV 
(16)
Rys. 7. Charakterystyka przepływu przelewu
Czas wypływu przez mały otwór
Chwilowy strumień objętości cieczy wypływającej wynosi
Q (z ) 
(17)
Z porównania objętości cieczy wypływającej w czasie dt otrzymamy
(18)
skąd
dt 
(19)
a czas wypływu
t
(20)
Wypływ gazu przez mały otwór
Załóżmy, że wypływ odbywa się przy przemianie adiabatycznej (bez wymiany
ciepła ) więc proces rozprężania opisuje równanie
p0
0


p

Równanie Bernoulliego przybiera wówczas postać
(25)
zatem dla wypływu ze zbiornika
(26)
stąd
v
Uwzględniając że

(27)
(28)
to
p


(29)
Po podstawieniu (27) do (29) otrzymujemy wzór Saint-Venata i Wantzela.
v
(30)
p
Stosunek p zależy tylko od wykładnika adiabaty i przybiera wartość
0
krytyczną równą
 kr
 p 
pkr  2 
 
 


p0    1 
 p0  kr
Dla powietrza κ = 1,4 więc βkr = 0,528.

 1
(31)
p  p
  
W zakresie p0  p0 
kr
gaz rozpręża się w dyszy do ciśnienia otoczenia p
p  p
  
Natomiast w zakresie p0  p0  kr
rozpręża się tylko w dyszy tylko do ciśnienia
a dalsze rozprężanie następuje poza dyszą.
pkr  0,528  p0
Strumień masy Qm wynosi
 p 
 p 
 p 
2
 Av  A
  

Qm  Av   0 
p0  0 
 1
p0 
 p0 
 p0 


1

2

 1





Dla
 1
Tkr  0,831T0 ,
Dla
 kr  0,636  0 ,
pkr  0,528 p0
p = 0, ze wzoru (30)
vmax 
Krytyczna prędkość wypływu jest równa prędkości dźwięku w warunkach
wypływu
a  a0 
2
2
 1
2
v
2