O liczbach i wielomianach Bernoulliego

www.awans.net
Publikacje nauczycieli
Beata Leska
Zespół Szkół im. M. Konarskiego w Warszawie
O liczbach i wielomianach Bernoulliego
Praca opublikowana w Internetowym Serwisie Oświatowym AWANS.NET
O LICZBACH I WIELOMIANACH BERNOULLIEGO
Za
twórcę
liczb
i
wielomianów
Bernouuliego
uważa
się
powszechnie
Jakuba Bernoulliego (1654 - 1705). Do historii matematyki wpisał się on jako jeden z ośmiu
uczonych o tym samym nazwisku. Największe zasługi Jakub Bernoulli położył w teorii
rachunku różniczkowego oraz rachunku prawdopodobieństwa.
Badając sumy postaci:
1m+2m+3m+...+nm ,n,mN+
wyznaczył liczby, które dziś zwane są liczbami Bernoulliego ([5],str.92-94). Z wyliczeniem
tych liczb związane było również określenie wielomianów, które J. L. Raabe w 1851 roku
nazwał „wielomianami Bernoulliego”. Należy zaznaczyć, że sam Bernoulli zajmował się
jedynie wielomianami określonymi na zbiorze liczb naturalnych. Dla dowolnej zmiennej
rzeczywistej wielomiany Bernoulliego jako pierwszy rozważał L. Euler. Rezultaty swojej
pracy na temat liczb i wielomianów Jakub Bernoulli zebrał w książce „Ars Conjectandi’
opublikowanej pośmiertnie w 1713 roku ([6],str. 272).
LICZBY BERNOULLIEGO
Rozpatrzmy funkcję
f (x ) 
x
,
e 1
x
x  R  0
Zauważmy, że
x
x
x
1



2
3
n
2
2
3
e 1  x x
x x
x
x
x x
xn
x




...


...
1



...

 ...
1  

 ...   1
1
!
2
!
3
!
n
!
2
!
3
!

n

1

!
1
!
2
!
3
!


x
Powyższa równość zachodzi dla x  0 . W punkcie x=0 wyrażenie
1
1
ma wartość 1, a ułamek
2
x x
xn

 ... 
 ...
2! 3!
n  1!
(1)
x
ma granicę równą 1.
e 1
x

Iloraz (1) daje się przedstawić w postaci szeregu
c
0
n
x n na mocy twierdzenia:
TWIERDZENIE: „Jeżeli szeregi


0
0
 an x n oraz  bn x n mają dodatnie promienie zbieżności

i szereg
 bn x n w punkcie x=0 jest różny od zera, to istnieje szereg
0

c
n
x n o dodatnim
0
promieniu zbieżności taki, że w pewnym otoczeniu punktu x=0 zachodzi tożsamość:



n 
b
x


cn x n 

n

 0
 0


 an x n  
0

Ze względów historycznych oznaczymy współczynniki c n 
Bn
.
n!
Otrzymujemy wówczas:
x

x
e 1

1
1
2
n
x x
x

 ... 
 ...
2! 3!
n  1!

0
Bn n
x
n! .
Skąd

  Bn n 
x
xn
x 1   ... 
 ...   1 ,

n  1! 
 0 n!  2!
a ponadto wobec definicji iloczynu Couchy’ego dwóch szeregów ([4].str.157) mamy
B0
B 
B
B 
Bn  1
B
B0 
B
B
B
 x  1  0   x 2  2  1  0   ...  x n  n 
 ...  1 
  ...  1
0!
1!n! 0! n  1! 
 1! 0!2! 
 2!1! 1!2! 0!3! 
 n!1! n  1!2!
Na mocy twierdzenia o identyczności szeregów ([3],str.184) otrzymujemy, że B0  1 , a także
następujący układ równań
Bn
B n 1
B2
B
B0

 ... 
 1 
 0,
n!1! n  1!2!
2! n  1! 1!n! 0!n  1!
dla n=1,2,3,...
Pomnóżmy obie strony powyższych równań przez (n+1)!. Otrzymujemy wówczas:
n  1! B
n!1!
n

n  1! B  ...  n  1! B  n  1! B  1  0
,
2
1
n  1!2! n 1
2! n  1!
1! n!
dla n=1,2,3,... (2)
Zauważmy, że współczynniki przy kolejnych Bn mają postać symbolu Newtona. W związku
z tym układ równań (2) wygląda następująco
 n  1
 n  1
 n  1
 n  1

 Bn  
 Bn1  ...  
 B2  
 B1  1  0 ,
1 
2 
 n  1
n 
dla n=1,2,3... (3)
Łatwo udowodnić metodą indukcji zupełnej, że układ (3) jest oznaczony dla n=1,2,3...
Przeprowadzając rachunki otrzymujemy z (3) wartości kolejnych liczb Bn, to znaczy:
B0=1
1
2
1
B2=
6
B3=0
1
B4=30
B5=0
B1=-
1
42
B7=0
1
B8=30
B9=0
5
B10=
66
B6=
B12=-
B17=0
691
2730
B18=
B13=0
B14=
B19=0
7
6
B20=
B15=0
B16=-
B11=0
43867
798
176411
330
3671
510
Powyższe liczby noszą nazwę liczb Bernoulliego.
Można nadmienić, że B120 ma licznik 113-cyfrowy, a mianownikiem jest liczba 2328255930.
Natomiast B122 ma mianownik równy 6, zaś licznik jest 107-cyfrowy.
Jedną z ciekawszych własności liczb Bernoulliego jest własność
Bn=0, dla n=3,5,7,9...
Liczby Bernoulliego posłużyły do określenia wielomianów Bernoulliego.
WIELOMIANY BERNOULLIEGO
Definicja: Wielomianami Bernoulliego nazywamy funkcje określone dla n=0,1,2,3...
wzorami:
n
 n
Bn  x     Br x n r ,
r 0  r 
x  R.
(4)
Wielomiany te można otrzymać jako współczynniki rozwinięcia w szereg według
potęg t następującej funkcji
te tx
,
f t , x   t
e 1
x  R , t  R  0.
(5)
Twierdzenie: Funkcja określona wzorem (5) jest funkcją tworząca dla wielomianów
Bernoulliego, tzn.

te tx
tn

B

x

 n n! .
e t  1 n 0
Twierdzenie to pozostawiamy bez dowodu.
Wykorzystując otrzymane wcześniej wartości liczb Bernoulliego oraz wzór (4)
dostajemy od razu postać kilku pierwszych wielomianów Bernoulliego:
B0 x   1,
1
B1  x   x  ,
2
1
B2  x   x 2  x  ,
6
3
1
B3  x   x 3  x 2  x,
2
2
B4  x   x 4  2 x 3  x 2 
1
30,
...................................................
określonych dla x R .
WŁASNOŚCI WIELOMIANÓW BERNOULLIEGO
1.
Bn(0)=Bn, dla n=1,2,3...
2.
B’n(x)=nBn-1(x),
3.
Bn(1-x)=(-1)nBn(x),
4.
m 1
s

Bn(mx)=mn-1  Bn  x   ,
m

s 0
5.
Bn(x+1)-Bn(x)=nxn-1,
6.
Bn(0)=Bn(1)=0,
7.
n
 n
Bn(x+1)=    Br  x  ,
r 0  r 
dla n=1,2,3...
dla n=1,2,3...(własność dopełnienia)
dla n,m=1,2,3...
dla n=1,2,3...
dla n=1,2,3...
dla n=1,2,3...
Z rysu historycznego wiadomo, że powstanie liczb i wielomianów Bernoulliego związane jest
z wyliczeniem sumy
n
1m+2m+3m+...+nm=  k m ,
n,m  N .
k 0
Znajdźmy związek pomiędzy tą sumą a liczbami i wielomianami Bernoulliego..
W tym celu zauważmy, że dla n- tego wielomianu Bernoulliego określonego dla x R ,
funkcja pierwotna ma postać:
F x 
1
Bn1  x , x  R, n  0,1,2,3 ...
n 1
Istotnie

B x
B  x  n  1Bn  x 
F’(x)=  n 1   n 1

 B n x  .
 n 1 
n

1

n

1



y
Rozpatrzmy całkę  Bn t dt , gdzie x,y są dowolne i ustalone na czas rozumowania. Całka taka
x
ma sens, bowiem Bn(t) jest funkcją ciągłą dla t R , więc tym bardziej na przedziale <x,y>. W
myśl podstawowego twierdzenia rachunku całkowego ([2],str.106) oraz postaci funkcji
pierwotnej dla n-tego wielomianu Bernoulliego otrzymujemy
B  y   B x 
,
 B t dt 
n 1
y
n 1
n 1
n
x
Jeżeli w ostatniej całce w miejsce y położymy x+1 to powyższy wzór przyjmuje postać
B  x  1  B  x 
,
 B t dt 
n 1
x 1
n 1
n 1
x  R , n=0,1,2,3...
n
x
Stąd, a także na mocy własności 5, otrzymujemy:
x 1
 B t dt  x
n
n
.
(6)
x
m 1
Rozważmy następnie sumę
r
m
, n,m  N oraz połóżmy we wzorze (6) w miejsce x
r 0
 R zmienną r  N .
Otrzymujemy wtedy
2
m
m 1
 r 1
 1
n


r

B

t

dt

B

t

dt

B

t

dt

...

   n   n
 n
 Bn t dt
r 0
r 0  r
 0
1
m 1
m 1
Stąd otrzymujemy, że
m 1
r
m
n
r 0
  Bn t dt 
0
Bn1 m   Bn 1 0 
,
n 1
r,m  N .
Korzystając z własności 1 otrzymujemy żądany związek
m 1
r
r 0
n

B n  1 m   B n  1
,
n 1
r,m  N .
Przykład: Wyznacz sumę kwadratów dwudziestu pierwszych liczb naturalnych.
20
r
r0
2

B3 21  B3
3
Z wcześniejszych rozważań mamy, że B3(x)=x320
r
2
3 2 1
x + x oraz B3=0. W rezultacie
2
2
 2870 .
r0
Wielomiany Bernoulliego znajdują również zastosowanie we wzorze sumacyjnym
Eulera ([4], str.562) oraz do otrzymania rozwiązania równania różnicowego rzędu
pierwszego.
Bibliografia
[1] G. Bejtmjen, A. Erdejn, Wysszije transcjendjentnyje funkcji, Nauka, Moskwa 1973.
[2] G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. II, PWN, Warszawa 1985.
[3] A.O. Gelfond, Isczisljenije konjecznych raznostjej, Moskwa 1959.
[4] K. Knopp, Szeregi nieskończone, PWN, Warszawa 1956.
[5] Poczet wielkich matematyków, pod redakcją prof. dr hab. W. Krysickiego,
Nasza Księgarnia, Warszawa 1989.
[6] E.T. Whittaker, G.N. Watson, Kurs analizy współczesnej, t. I, PWN, Warszawa 1976.
Publikacja dodana do Archiwum Internetowego Serwisu Oświatowego AWANS.NET 5 kwietnia 2004 r.