Wykład06

advertisement
MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ
MATERIAŁÓW
Wykład 3
Podstawy
i zasady dynamiki
Wprowadzenie
DYNAMIKA jest działem mechaniki
opisującym ruch układu materialnego
pod wpływem sił działających na ten
układ.
Oparta jest na zasadach sformułowanych
przez Newtona w traktacie:
Philosophiae naturalia principia
mathematica (1687) .
Zasady dynamiki klasycznej Newtona
Zasada pierwsza
Punkt materialny, na który nie
działają żadne siły lub działają siły
wzajemnie równoważące się, pozostaje
względem układu odniesienia w
spoczynku lub ruchu jednostajnego
prostoliniowego.
Zasady dynamiki klasycznej Newtona
Zasada druga
Zmiana ilości ruchu (pędu) jest
proporcjonalna względem siły działającej
i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta
siła działa.
Dla m = const
Zasady dynamiki klasycznej Newtona
Zasada trzecia (akcji i reakcji)
Każdemu działaniu towarzyszy równe,
lecz przeciwnie zwrócone oddziaływanie.
Zasady dynamiki klasycznej Newtona
Zasada czwarta (prawo superpozycji)
Jeśli na punkt materialny o masie m działa
jednocześnie kilka sił, to punkt uzyskuje
przyspieszenie równe sumie geometrycznej
przyspieszeń, jakie uzyskałby w wyniku
niezależnego działania każdej z sił.
Zasady dynamiki klasycznej Newtona
Zasada piąta (prawo grawitacji)
Każde dwa punkty materialne przyciągają się
wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu
mas (m1, m2) i odwrotnie proporcjonalnie do
kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły
leży na prostej łączącej te punkty.

k - stała grawitacji
Siła bezwładności

a
Rozpędzamy wózek z przyspieszeniem
. Musimy więc

, . Zgodnie z zasadą akcji i reakcji na
działać siłą równą F  ma
nasze ręce działa taka sama siła pochodząca od wózka, lecz
zwrócona przeciwnie.
Jest to siła bezwładności ( d’Alemberta )

D
Siła bezwładności
Ciężarek o masie m obracany na nici wokół


punktu 0 poddany jest działaniu siły F  ma
n
skierowanej do środka 0.
Nić jest rozciągana siłą bezwładności
nazywamy ją czasem siłą odśrodkową

D
Siła bezwładności
Niech po dowolnym torze
 porusza się punkt materialny o masie m. Na
punkt ten działa siła F nadając, mu przyspieszenia całkowitego a .
Siłę F oraz przyspieszenie a rozłożymy na kierunek styczny i normalny
do toru, otrzymamy:

Ft 
siłę styczną do toru

Fn 
siłę normalną do toru
Siła bezwładności


Poruszającemu się punktowi
 przypiszemy siłę bezwładności D  ma,
równą co do modułu sile F , lecz zwróconą przeciwnie. Siłę tę możemy
również rozłożyć na kierunek styczny i normalny do toru.
Styczna siła bezwładności

Dt 
Normalna siła bezwładności

Dn 
Siła bezwładności
Siła bezwładności ma wartość równą
iloczynowi masy przez przyspieszenie
ruchu.
Jej kierunek jest taki jak kierunek
przyspieszenia ruchu, zaś zwrot jest
zawsze przeciwny niż zwrot przyspieszenia.
Siła bezwładności jest równa zeru wtedy, gdy w ruchu nie
występuje przyspieszenie. W szczególności, styczna siła
bezwładności nie występuje w ruchu jednostajnym
punktu, normalna siła bezwładności jest równa zeru w
ruchu prostoliniowym.
Zasada D’Alemberta
W ruchu swobodnego punktu
materialnego układ sił czynnych
równoważy się z siłą bezwładności.
Zasada D’Alemberta
W ruchu punktu nieswobodnego siły
czynne i reakcje więzów równoważą
się z siłą bezwładności.
Tak więc wprowadzając do zagadnień dynamiki siłę bezwładności
sprowadzamy je do zagadnień statyki. Metodę tę nazywamy metodą
kinetostatyki.
Przykład
Rozpatrzmy ruch masy m zawieszonej na
końcu liny rozwijającej się z bębna.
Załóżmy, że przyspieszenie
opadającej masy

wynosi
. a

Na rozważaną masę działa siła ciężkości G , siła

napięcia w linie S i siła bezwładności
zwróconą przeciw przyspieszeniu.
Warunek równowagi:
D,
Przykład
Po podstawieniu
stąd
Rys. 8
 
W przypadku swobodnego spadku masy g  a , siła
napięcia liny będzie równa zeru. Przy jednostajnym ruchu
masy siła w linie będzie równa sile ciężkości.
Pęd punktu materialnego
Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem
 

układu sił F1,F2,....,Fn
Drugą zasadę Newtona zapiszemy w postaci:

mv nazywany
Wektor
jest pędem
ilością ruchu punktu materialnego.

p lub
Pęd punktu materialnego
Po wprowadzeniu pojęcia pędu, drugą zasadę Newtona
możemy przedstawić w postaci
Pochodna pędu punktu materialnego
względem czasu jest równa sumie sił
działających na dany punkt.
Zasada zachowania pędu punktu
materialnego
W przypadku gdy na punkt materialny nie
działają siły lub siły działające równoważą
się, pęd punktu materialnego jest stały.
Zasada pędu masy i impulsu siły
Drugą zasadę Newtona przepiszemy w postaci
Po oznaczeniu
Elementarny
impuls siły
otrzymamy
Impuls elementarny siły działającej na
punkt materialny jest równy przyrostowi
elementarnego pędu tego punktu.
Zasada pędu masy i impulsu siły
Całkując obustronnie poprzednie równanie otrzymamy
 t2 
   Fdt - jest impulsem całkowity siły F w przedziale czasu t2-t1,
t1
otrzymamy
Przyrost pędu masy poruszającego się punktu jest
równy impulsowi całkowitemu sił działających.
PĘD MASY. IMPULS SIŁY
Stwierdzamy więc, że dla zmiany pędu masy niezbędny jest określony
czas działania siły. Siły działające nieskończenie krótko lub, praktycznie
biorąc, mające bardzo krótki czas działania nazywamy siłami
chwilowymi (działanie nogi gracza na piłkę, siły przy uderzeniu kul
bilardowych) w odróżnieniu od sił ciągłych, do której zaliczamy np. siłę
ciężkości.
Z równania tego wynika, że zmiana wektora pędu będzie tym

intensywniejsza, im większa
będzie
siła
F oraz im mniejsza będzie

masa m i pęd początkowy p1 .
KRĘT PUNKTU MATERIALNEGO
Po dowolnym torze porusza się punkt o masie m, z

prędkością v . Obierzmy dowolny punkt 0 jako początek
układu stałego x, y, z i połączmy go z poruszającym się
punktem promieniem-wektorem r .
Krętem poruszającego się punktu materialnego
względem obranego bieguna 0 nazywamy wektor
równy iloczynowi wektorowemu promienia,
przez pęd poruszającego się punktu.
Kręt jest więc momentem pędu względem obranego bieguna.
Pochodna krętu względem czasu
Po zróżniczkujemy wektora krętu względem
czasu otrzymamy
czyli
Pochodna krętu względem czasu


v  mv  0 ,
Iloczyn wektorowy wektorów
  równoległych
natomiast
iloczyn r  ma
przedstawia moment sił
działających na poruszający się punkt materialny
względem obranego bieguna 0. Tak więc
Pochodna wektora krętu względem czasu jest
równa momentowi głównemu wszystkich sił
działających na dany punkt materialny.
Zasada zachowania krętu
Jeżeli moment sił działających na
poruszający się punkt materialny jest
względem jakiegoś bieguna jest równy
zeru, to kręt poruszającego się punktu
względem tego bieguna jest wektorem
stałym.
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
Z drugiej zasady dynamiki
Po podstawieniu
oraz
Otrzymamy
dynamiczne równaniami ruchu
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
Przy analizie ruchu punktu stosuje się w mechanice oprócz układu
kartezjańskiego również inne układy ortogonalne. Równania ruchu w
tych układach otrzymamy uwzględniając znane z kinematyki wzory
przedstawiające przyspieszenia w tych układach.
Tak na przykład w biegunowym układzie współrzędnych dynamiczne
równania ruchu maja postać:
,
W układzie współrzędnych walcowych, równania te będą wyglądały
następująco:
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
W kinematyce podaliśmy składowe przyspieszenia w naturalnym
układzie współrzędnych. Opierając się na tych składowych napiszemy
dynamiczne równania ruchu w naturalnym układzie współrzędnych
Wreszcie podamy jeszcze
współrzędnych kulistych:
dynamiczne
równania
ruchu
we
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
Rozwiązanie równań dynamicznych sprowadza się do dwóch zagadnień
zwanych niekiedy dwoma zadaniami dynamiki.
1. Zadanie pierwsze polega na tym, że mamy parametryczne równania
toru, po którym porusza się punkt materialny, czyli mamy określone
równania
x  x(t )
,
y  y (t )
,
z  z (t )

Chcemy natomiast wyznaczyć siłę F , pod której wpływem porusza się
punkt materialny Zadanie to rozwiązuje się w prosty sposób.
Różniczkując dwukrotnie względem czasu równania parametryczne,
określamy składowe przyspieszenia, podstawiając je do dynamicznych
równań ruchu znajdujemy szukane składowe siły działającej, a więc i
wektor siły.
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
2. Bardziej złożone jest drugie zadanie dynamiki. Polega ono na
wyznaczeniu (przy danej masie i sile) przyspieszenia, prędkości i toru
poruszającego się punktu.
W zadaniu tym musimy mieć określoną siłę działającą. Możemy tu
rozróżnić następujące przypadki.
a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości, tarcie,
b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa wahadła,
c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości, siła ciężkości przy
uwzględnieniu dużego obszaru,
d) Siła zależy od prędkości poruszającego się punktu, np. opór
powietrza.
W najogólniejszym przypadku równania ruchu w współrzędnych
kartezjańskich b miały postać
DYNAMICZNE RÓWNANIA RUCHU PUNKTU
MATERIALNEGO
Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać trzech równań
zawierających sześć stałych całkowania. Różniczkując te równania i
uwzględniając warunki początkowe dla t=0
x  xo , x  xo
y  yo , y  y o
z  zo , z  zo
określimy parametryczne równania toru
x  f1 ( xo , yo , zo , xo , y o , zo , t ) y  f 2 ( xo , yo , zo , xo , y o , zo , t ) z  f 3 ( xo , yo , zo , xo , y o , zo , t )
Ten układ równań określa ruch punktu, na który działają znane siły i
który w chwili początkowej zajmował określone położenie i miał
określoną prędkość początkową.
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Określenie siły na podstawie parametrycznych równań toru.
Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym parametrycznymi
równaniami
y  3 t 2  4 , m.
x  4t 3  2t 2  6 m,
Określić działająca siłę.
Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu i znajdujemy składowe
przyspieszenia
Podstawiając je do równań ruchu znajdujemy szukaną siłę
lub w postaci wektorowej

F
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Ruch pod wpływem siły

ma postać
ma  0

0 przypadku równanie dynamiczne
.F
W
tym

r
 0 
, czyli
Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0
 
ro  v o

ro  v o
Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0
 
r  ro
, otrzymamy
, otrzymamy
Dochodzimy w ten sposób do znanych równań ruchu jednostajnego i
prostoliniowego.
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Ruch pod wpływem siły stałej
równanie ruchu w postaci

F  const . Napiszemy
Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków początkowych:
dla t = 0
 
ro  v o

r
oraz dla
 
r  ro
będzie
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją położenia.
Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o masie m
wystrzelonego z planety o masie M (rys. 9). Równanie ruchu ma postać
ale
lub
Po całkowaniu otrzymujemy równanie
Rys. 9
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt materialny
wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli nadano mu prędkość
początkową vo. Podstawimy więc v = 0, x = H, xo = R otrzymamy
po przekształceniu
Zastanówmy się, z jaką prędkością należy wyrzucić punkt
materialny z planety, aby na nią nie wrócił, czyli aby stał się satelitą
planety.
Prędkość tę, zwaną prędkością ucieczki v∞, otrzymamy,
podstawiając do wzoru vo = v∞ oraz H = ∞. Na prędkość ucieczki
otrzymamy wyrażenie
CAŁKOWANIE RÓWNAŃ RUCHU
Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma wartość
Prędkość ucieczki dla Ziemi będzie
Przyjmując w szczególności R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s2 otrzymamy
v∞ ≈ 11,8 km/s ≈ 42 500 km/h.
Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się ono satelitą Ziemi.
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy
Względem układu stałego ruch punktu jest określony równaniem
oraz
W układzie ruchomym ruch określony jest więc równaniem
(17)


w którym Du  mau nazywamy siłą bezwładności unoszenia. Jest
ona równa iloczynowi masy
 punktu przez przyspieszenie unoszenia i jest
zwrócona przeciwnie niż au .
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy
Równanie ruchu przyjmuje następującą postać:
Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch
postępowy punkt materialny porusza się tak, jakby działała na niego,
oprócz sił danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia.
Zasada względności mechaniki klasycznej:
Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać
istnienia prostoliniowego, jednostajnego ruchu postępowego układu
odniesienia.
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy
Rys. 8
Ostatecznie:
Dla au  g tg  punkt materialny będzie poruszał się w dół. W
przeciwnym przypadku punkt będzie poruszał się do góry.
Gdy au  g tg  , punkt pozostanie w spoczynku lub w ruchu
jednostajnym prostoliniowym (względem ruchomej płaszczyzny).
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy
W układzie stałym równanie ruchu będzie następujące:
oraz
Równanie ruchu w układzie ruchomym przyjmie postać:
(18)


Du  mau – siła bezwładności unoszenia,


Dc  mac – siła bezwładności unoszenia Coriolisa.
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy
(19)
Względem ruchomego układu odniesienia wykonującego ruch
obrotowy punkt materialny porusza się tak jakby działała na niego,
oprócz sil danych, jeszcze pomyślana siła bezwładności unoszenia i
pomyślana siła bezwładności Coriolisa.
W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą geometryczną
przyspieszenia obrotowego i doosiowego, czyli
w związku z tym
(20)
RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO
– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy


Do  mao – obrotowa (styczna) siła bezwładności,


Dd  mad – poosiowa (normalna) siła bezwładności,
przy czym
Do 
Dd 
Dc 
Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje równanie
Rozwiązaniem ogólnym będzie wyrażenie
Rys. 9
Download
Random flashcards
66+6+6+

2 Cards basiek49

Prace Magisterskie

2 Cards Pisanie PRAC

słowka

2 Cards kksenia.kot1997

Create flashcards