Liczby_spelniajace_r..

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„Matematyka wyposaża nas w
coś jakby nowy zmysł.”
Charles Robert Darwin
LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA
Liczby spełniające równanie to po prostu rozwiązania
tego równania. Każde równanie ma określoną liczbę
rozwiązań, czasem tą liczbą jest 0, czasem jest to
nieskończona ilość.
LICZBY SPEŁNIAJĄCE RÓWNANIA.
Liczba spełnia równanie (jest rozwiązaniem równania;
pierwiastkiem równania) jeśli po podstawieniu jej w
miejsce niewiadomej otrzymujemy równość prawdziwą.
PRZYKŁAD:
Liczbą spełniającą równanie 3x + 5 = 32 jest 9 ponieważ
po podstawieniu 9 za x otrzymamy równość prawdziwą:
3 ∙ 9 + 5 = 32
Prawa i lewa strona równania są równe 32.
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
4x – 6 = 14
Liczbą spełniającą to równanie jest 5 ponieważ
4 ∙ 5 – 6 = 14
PRZYKŁAD 2.
x2 = 16
Liczbami spełniającymi to równanie są 4 i -4 ponieważ
42 = 16;
(-4)2 = 16
PRZYKŁAD 3.
x(x - 2)(x + 1) = 0
Liczbami spełniającymi to równanie są 0, 2 i -1 ponieważ
0(0 – 2)(0 + 1) = 0; 2(2 – 2)(2 + 1) = 0;
-1((-1) – 2)((-1) + 1) = 0
PRZYKŁADY
PRZYKŁAD 4.
5x = 3x + 2x
Każda liczba spełnia to równanie, inaczej mówiąc ma
ono nieskończenie wiele rozwiązań.
PRZYKŁAD 5.
x = x -1
Tego równania nie spełnia żadna liczba czyli nie ma ono
rozwiązań.
RÓWNANIA TOŻSAMOŚCIOWE I
RÓWNANIA SPRZECZNE.
Równaniem sprzecznym nazywamy równanie, którego
nie spełnia żadna liczba (które nie ma rozwiązań).
x = 2x;
PRZYKŁADY RÓWNAŃ SPRZECZNYCH:
x2 = -4;
|x| = -2;
2x +2 = 2x + 3
Równaniem tożsamościowym nazywamy równanie,
które spełnia każda liczba (które ma nieskończenie wiele
rozwiązań).
PRZYKŁADY RÓWNAŃ TOŻSAMOŚCIOWYCH:
x + x = 2x; 3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0;
x+1=1+x
ZBIÓR ROZWIĄZAŃ RÓWNANIA.
Zbiorem rozwiązań równania nazywamy zbiór
wszystkich liczb spełniających to równanie.
PRZYKŁADY:
x + 5 = 12
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór jedno
elementowy {6};
x2 = 25
Zbiorem rozwiązań tego
dwuelementowy {-5; 5};
równania
jest
zbiór
x2 = -1
Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór pusty Ø.
RÓWNANIA RÓWNOWAŻNE.
Równania nazywamy równaniami równoważnymi, gdy
mają ten sam zbiór rozwiązań.
PRZYKŁADY:
Równania: x – 2 = 3;
6x = 30;
2x + 4 = 14
są równaniami równoważnymi, ponieważ ich zbiór
rozwiązań to {5}.
Równania: x = 2x;
x2 = -4;
|x| = -2;
są równaniami równoważnymi, ponieważ są
równania sprzeczne (ich zbiór rozwiązań jest pusty).
to
Równania: x + x = 2x;
3(x + 1) = 3x + 3; 0 ∙ x = 0;
są równaniami równoważnymi, ponieważ są to
równania tożsamościowe (spełnia je każda liczba)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE1.
Sprawdź, czy któraś z liczb -2 lub 3 jest rozwiązaniem
podanego równania.
5(x + 1) – 10 = 3x + 1
Rozważamy osobno lewą (L) i prawą (P) stronę
równania. Podstawiamy kolejno sprawdzane liczby.
Dla x = -2 mamy:
L = 5(-2 + 1) – 10 = 5 ∙ (-1) – 10 = -5 – 10 = -15
P = 3 ∙ (-2) + 1 = -6 + 1 = -5
L ≠ P, a więc -2 nie spełnia naszego równania
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
PRZYKŁAD 1 – ciąg dalszy.
Dla x = 3 mamy:
L = 5(3 + 1) – 10 = 5 ∙ 4 – 10 = 20 – 10 = 10
P = 3 ∙ 3 + 1 = 9 + 1 = 10
L = P, a więc 3 spełnia nasze równanie.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Jaką liczbę należy wstawić zamiast litery a, aby otrzymać
równanie, którego rozwiązaniem jest liczba 10?
3x – 6 = x + a
Rozpiszmy obie strony równania dla x = 10
L = 3 ∙ 10 – 6 = 30 – 6 = 24
P = 10 + a
Aby rozwiązaniem równania była liczba 10, dla x = 10
obie strony równania muszą być sobie równe (L = P).
Żeby P = 24 zamiast litery a należy wstawić 14.
3x – 6 = x + 14
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Zastąp literę a w równaniu takim wyrażeniem, aby
otrzymać równanie:
a) sprzeczne
b) tożsamościowe
2x + 3 = x + a
a) Aby otrzymać równanie sprzeczne, po prawej stronie
musi stać 2x i liczba inna niż 3. Np. a = x, mamy
wtedy: 2x + 3 = x + x
b) Aby otrzymać równanie tożsamościowe, prawa i
lewa strona równania muszą być takie same. Np.
a = x + 3, mamy wtedy 2x + 3 = x + x + 3
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Do podanego równania dopisz dwa równania
równoważne.
x–3=5
Rozwiązaniem tego równania jest liczba 8. Równania
równoważne danemu to takie, których rozwiązaniem
jest również liczba 8. Np.
2x = 16
3x – 5 = 19