Minimalizacja kosztu

Minimalizacja kosztu
„
Minimalizacja kosztów polega na uzyskiwaniu danej
wielkości produkcji po najniższym możliwym koszcie
„
„
„
Graficznie – która kombinacja czynników na izokwancie
najtańsza?
Analitycznie – minimalizacja kosztów przy ograniczeniu
Min. kosztów wynika z maksymalizacji zysku (nie ma
max. zysku bez min. kosztu). Po co zatem dyskusja?
„
„
Po pierwsze, min. kosztów pozwoli nam na wyprowadzenie
funkcji kosztów całkowitych, którymi będziemy się
posługiwać w przyszłości
Po drugie, zobaczymy jaki jest związek między technologią
a kształtem funkcji kosztów
Izokoszta
„
„
„
„
„
„
Pokazuje wszystkie kombinacje czynników produkcji,
które łącznie kosztują tyle samo
Np. jeśli jedynymi czynnikami produkcji jest K i L, to:
TC = rK + wL
Dla różnych wartości TC równanie bezie wskazywać inne
kombinacje czynników
Możemy to przekształcić aby otrzymać równanie
izokoszty (na osi pionowej K):
K = TC/r – Lw/r
Jest to kombinacja dwóch czynników, na które trzeba
wydać TC
więc nachylenie izokoszty (–w/r) mówi nam o tym w jaki
sposób K można zastępować L bez zmiany kosztów
Izokoszta
K
TC1 ≡ rK+wL
TC1 > TC2
TC2 ≡ rK+wL
w
Nachylenie = −
r
L
Minimalizacja kosztów - graficznie
K
Rozwiązanie nie brzegowe:
MRTSLK = - w/r
czyli
MPL/w = MPK/r
K*
Q (K,L)
L*
L
Przesuwając izokosztę w dół, zmniejszamy koszt
całkowity
Minimalizacja kosztów – graficznie
Zmiana cen czynników produkcji
L relatywnie droższe niż K
=> mniej wykorzystywane
K
Nowe ceny czynników –
w0
w1
<−
nachylenie −
r1
r0
K1
Początkowe ceny
czynników –
w0
nachylenie −
r0
K0
L1
L0
L
Rozwiązanie brzegowe – graficznie
„
UWAGA: dla izokwant funkcji Cobba‐Douglasa osie asymptotami, więc zawsze rozwiązanie wewnętrzne
Rozwiązanie brzegowe
K
MPL MPK
<
w
r
możliwe jeśli σ >1
(np. dla doskonałych substytutów)
K1
Rozwiązanie wewnętrzne
K0
MPL MPK
=
w
r
czyli L > 0 i K > 0
L1 = 0
L0
L
Warunek minimalizacji kosztu
„
Firma minimalizująca koszty rozwiązuje problem:
min w 1x1 + w 2 x 2
x1, x 2 ≥ 0
„
„
„
Przy warunku
f (x1, x2) = y
Minimalizacja kosztu polega na wybraniu takiej
kombinacji, która da nam najmniejsze TC przy danym y
„ To oznacza wybranie takiego punktu na odpowiedniej
izokwancie, w którym jej nachylenie jest równe
nachyleniu krzywej izokosztu
Można to rozwiązać stosując metodę Lagrange’a:
FOC: zróżniczkuj po wszystkich zmiennych (x1, x2, λ) i
przyrównaj do zera
Metoda Lagrange’a
„
Rozwiąż układ równań:
w1 = λ MP1
w2 = λ MPmax2[ py − w x − w x ] = [ pf ( x , x ) − w x − w x ]
x1
„
„
1 1
2
2
1
2
1 1
2
2
Mając daną funkcję produkcji, możemy znaleźć
minimalny koszt wytworzenia dowolnego y
Mnożnik Lagrange’a (w teorii producenta) pokazuje
stopień w jakim optymalne rozwiązanie funkcji celu
zmienia się wraz ze zmianą y (czyli jest to krańcowy koszt
zmiany wielkości produkcji – ukryta cena)
Przykład: funkcja Leontiewa
„
„
„
Funkcja produkcji Leontiewa: f(x1, x2) = min{ax1, bx2}
Optymalna kombinacja czynników to
y = ax1= bx2
A zatem aby wyprodukować y potrzeba
x1 = y/a oraz x2 = y/b
Zminimalizowana funkcja kosztu to:
C(y)= w1x1 + w2x2 = w1 y/a + w2 y/b = (w1 /a + w2 /b)y
Przykład: funkcja liniowa
„
Doskonałe substytuty: f(x1, x2) = ax1 + bx2
Z analizy graficznej wynika, że optymalne zastosowanie
czynników to:
„
„
„
„
Tylko x2, gdy w1 /a > w2 /b, czyli x2 = y/b
Tylko x1 , gdy w1 /a < w2 /b, czyli x1 = y/a
Obojętne gdy w1 /a = w2 /b
Zminimalizowana funkcja kosztu to:
C(y)= w1x1 + w2x2 = min{w1y/a, w2y/b}
= min{w1 /a, w2 /b}y
Min. kosztu a korzyści skali
„
„
„
Jeśli mamy stałe korzyści skali, to
„ podwojenie produkcji wymaga podwojenia nakładów
„ koszt całkowity również się podwaja
„ koszt przeciętny (na jednostkę y) nie zmienia się
Jeśli mamy malejące korzyści skali, to
„ podwojenie produkcji wymaga więcej niż podwojenia
nakładów
„ koszt całkowity również więcej niż podwaja się
„ koszt przeciętny (na jednostkę y) rośnie
Odwrotnie w przypadku rosnących korzyści skali
Koszt przeciętny a korzyści skali
c
malejące k. sk.
AC(y)
stałe k. sk.
rosnące k. sk.
y
Pozostałe zagadnienia
„
„
„
Popyt warunkowy
Ścieżka ekspansji
Produkcja w wielu zakładach
Popyty warunkowe
Popyt warunkowy
- dla każdego
zestawu y, w1, w2
możemy obliczyć
minimalizujące
koszty wielkości
x1 i x 2 .
Popyt warunkowy na K = f(q,w,r)
q
K
q
L
Popyt warunkowy na L = f(q,w,r)
Ścieżka ekspansji
Ścieżka ekspansji
(podobna do LRTC)
– pokazuje
najtańsze
kombinacje
czynników
produkcji
pozwalających na
osiągnięcie danej
produkcji
Ścieżka ekspansji w czasie
„
„
SR – niektóre czynniki stałe
LR – wszystkie czynniki zmienne
K
LR ścieżka ekspansji
LRTC ma zawsze przynajmniej
jeden punkt wspólny z każdą SRTC
K2
P
K1
SR ścieżka ekspansji
Q2
Q1
L1
L2
L3
L
Produkcja w wielu zakładach
„
Produkcja w wielu zakładach - firma rozkłada
produkcję tak, żeby krańcowe koszty w obu były
równe
„ wyprodukowanie ostatniej jednostki kosztuje
tyle samo w każdym zakładzie
„ jeśli MC2 >MC1, więc opłaca się przenieść
produkcję ostatniej jednostki z 2 do 1 zakładu
„ rozwiązania brzegowe (np. MC w obu
zakładach jest stały lub w jednym zawsze
niższy niż w drugim)
Produkcja w wielu zakładach
„
MC
Przykład
TC1 ( q1 ) = q12
TC2 ( q2 ) = 0,5q22 + 10q2
MC2 ( q2 ) = q2 + 10
MC1 ( q1 ) = 2q1
MC1 (q1)
MC2 (q2)
MC(q1 + q2)
Dla q < 5 tylko jeden zakład
Dla q ≥ 5 oba zakłady i
produkcja rozłożona tak, aby
MC1 = MC2
10
q