Maxwell_11.1

11. Elektromagnetyzm – równania Maxwella.
11.1. Dywergencja.
Dywergencja  źródłowość pola wektorowego.
strumień pola wektora a
 a

objętość
V
a

1  
div a  lim a  lim
a  dS
V 0 V
V 0 V
S





a

div  a  V  div a
Dywergencja w układzie kartezjańskim:
z
a  nˆ x  aiˆ  a x
a  (nˆ x )  a(iˆ)  a x
nz
z
P
nx
a x
a
xyz  x V


x 
x
ny
V
x
x
a  nˆ y  aˆj  a y
y
a  (nˆ y )  a( ˆj )  a y
a y
a y
xyz 
V





y
y
V
Podobnie postępujemy dla składowej „z”.
Można więc zapisać:

a y a z 
 a

 a  V  div a  V  x 

x
y
z 



div a
W układzie katrezjańskim dywergencja z dowolnego wektora jest sumą pochodnych ze
składowych tego wektora.

  a
a y a z
div a    a  x 

x
y
z
Przykład – ładunek punktowy.

 E  V  div E


 E  E  dS

S
q
E


Z prawa Gaussa:  0  E  dS  q
S
Z gęstości objętościowej q   dV
V
a zatem  0  E   dV
V

czyli  0  div E dV   dV
V
V
ponieważ całkowanie jest po tej samej objętości, stąd

dla próżni: div E 

0



 E 


 E 
dla ośrodka:

0

 0
11.2. Rotacja

Rotacja  krążenie wektora (cyrkulacja) – rzut wektora a na
kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez
kontur .

 
a  dl
dl
 
 rot a   lim 

 n S 0 S
gdzie S jest polem powierzchni
a

wyznaczonej przez kontur .
 
 
S  rot a   lim a  dl

 n S 0 

więc:
Rotacja w układzie kartezjańskim.
z
1
z

P
P
3
S
2 y
x


 rot a   a z 3  a z1 z  a y 4  a y 2 y

x
a y
a


yz
 rot a   z zy 




y
z 

x
4
a więc:
y
a y 
 a



 rot a   S  z 
z 

x
 y
a 


 a
 rot a   S  x  z 
x 
 z

y
 a y a x 




 rot a   S 
y 

z
 x

S
iˆ

czyli rot a   a 
x
ax



ˆj

y
ay
kˆ
 ˆ a z a y 

 i 


z

y

z


az
 a

ˆj  a x  a z   kˆ y  a x 

x 
y 
 z
 x
 
 rot a 

y
 
 rot a 

x
 
 rot a 

z
Przykład – praca po konturze zamkniętym w polu E ładunku punktowego q.
W ABA 



F  dl  q
ABA
A



E  dl  0
ABA
Jest to praca w polu sił zachowawczych !
+q
 



czyli q  E  dl   rot E S ABA
ABA

0

B
stąd: rot E  0
PODSUMOWANIE

div E 
dla pola elektrycznego:

 0





 E  0
co oznacza, że pole elektryczne jest polem źródłowym,

rot E  0
natomiast nie jest polem wirowym.
Źródłem pola elektrycznego są ładunki
dodatnie, a linie pola zaczynają się na
ładunkach dodatnich, a kończą na ujemnych
11.3. Twierdzenie Stokesa i jego zastosowanie.




Rotacja wektora a wzdłuż konturu  równa jest strumieniowi wektora rot a (inaczej  a )
przez dowolną powierzchnię S ograniczoną tym konturem.

 
 
a  dl  rota  dS


dla pola elektrycznego:



 

E  dl  rotE  dS
S

S
Zastosowanie prawa Stokesa dla pola magnetycznego.


 0 i   B  dl
B
r

i
 0i
T 
2r
 
i   H  dl
B
 A
2r  m 
 
 
z tw. Stokesa: rotB  dS  B  dl
H
i



S


można też zapisać, że  0 i   0  j  dS
a więc:

 
 
rot  dS   0 j  dS
S

S
S


rot B   0 j
w zapisie różniczkowym:




 B   0 j
PODSUMOWANIE
dla pola magnetycznego:

dla próżni:
dla ośrodka:
co oznacza, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym,
div B  0


rot B   0 j

natomiast jest polem wirowym.

rot B   0  j
Nie istnieją monopole magnetyczne – nie ma jednobiegunowości !