rot H= J div D=ρ rot E= ∂ B ∂t div B=0 rot H= J

Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
Odpowiedzialny za przedmiot (wykłady):
Równania Maxwella
dr hab. inż. Stanisław Gratkowski prof. ZUT
Ćwiczenia i laboratoria:
dr inż. Krzysztof Stawicki
e-mail:
[email protected]
w temacie wiadomości proszę wpisywać tylko słowo STUDENT
KONSULTACJE: pokój 21-3
tel. 0914494886
strona www: ks.zut.edu.pl/tp
 =
rot H
J
H – natężenie pola magnetycznego
J – gęstość prądu

 −∂ B
rot E=
∂t
E – natężenie pola elektrycznego
B – indukcja magnetyczna
 =
div D
D – indukcja pola elektrycznego
ρ – objętościowa gęstość ładunku
 =0
div B
1
2
Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
Równania Maxwella
Podstawowe zależności
 =
rot H
J
Przepływ prądu indukuje pole magnetyczne

 −∂ B
rot E=
∂t
Zmienne w czasie pole magnetyczne
indukuje pole elektryczne
 =
div D
Źródłem pola elektrycznego jest ładunek
 =0
div B
Pole magnetyczne jest bezźródłowe
3
 =−grad V
E
V – potencjał pola elektrycznego
 = E

D
=0⋅r
ε – przenikalność elektryczna
ε0 – przenikalność elektryczna próżni
εr – przenikalność elektryczna względna
 = H

B
=0⋅r
µ – przenikalność magnetyczna
µ0 – przenikalność magnetyczna próżni
µr – przenikalność magnetyczna względna
4
Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
Pierwsze równanie Maxwella
Elektrostatyka
 =
rot H
J
Polem elektrostatycznym nazywamy pole stałe w czasie,
wytworzone przez niezmienne i nieruchome ładunki.
Przepływ prądu indukuje pole magnetyczne

 ∂ D  Js
J = E
∂t
 – wektor gęstości prądu przewodzenia,
E

 ∂ D  Js
 =
rot H
J = E
∂t
 =0
div B
γ – przewodność


∂D
∂E
=
∂t
∂t
Js
– wektor gęstości prądu przesunięcia
 =0
rot E
– wektor gęstości prądu źródłowego
 =
div D
 = H

B
5
6
Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
Równania Maxwella w polu elektrostatycznym
Równania Maxwella w polu elektrostatycznym
 =0
rot E
 =
div D
 =−grad V
E
operator nabla – symboliczny
wektor, wyrażany w kartezjańskim
układzie współrzędnych:

∇= ∂ , ∂ , ∂
∂x ∂ y ∂z

w zapisie z operatorem nabla:
 =0
∇× E
 =
∇⋅D
 =−∇ V
E
 =0
rot E
 =0 jeśli nie ma ładunków swobodnych
div D
 =−grad V
E
w zapisie z operatorem nabla:
lub:
∇ = ∂ x  ∂ y ∂ z
∂x
∂y
∂z
7
 =0
∇× E
 =0 jeśli nie ma ładunków swobodnych
∇⋅D
 =−∇ V
E
8
Teoria pola elektromagnetycznego
GRADIENT
GRADIENT - operator różniczkowy, który polu skalarnemu
przyporządkowuje pole wektorowe. Pole to ma kierunek i zwrot
największego wzrostu funkcji w danym punkcie, a wartość jest
proporcjonalna do szybkości wzrostu funkcji.
SKALAR → WEKTOR
W układzie współrzędnych kartezjańskich:
grad V =∇ V =[
∂V  ∂V  ∂V 
1
1
1]
∂x x ∂ y y ∂z z
12
Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich
GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich
grad V =∇ V =[
∂V  ∂V  ∂V 
1
1
1]
∂x x ∂ y y ∂z z
grad V =∇ V =[
Zadanie 1.
W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny
wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = 5x2 – 3y – 2. Oblicz natężenie
pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (4,2,5).
 =−grad V
E

E=−10
x⋅1x −3⋅1y 0⋅1z =−40⋅1x3⋅1y
∂V  ∂V  ∂V 
1
1
1]
∂x x ∂ y y ∂z z
Zadanie 2.
W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny
wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = 4x2 – 2y3 – sin(πz). Oblicz
natężenie pola elektrycznego w punkcie o współrzędnych (1,2,3).
 =−grad V
E
 =−8 x⋅1x −6 y 2⋅1y −⋅cos z ⋅1z =−8⋅1
E
13
14
Teoria pola elektromagnetycznego
Teoria pola elektromagnetycznego
GRADIENT w układzie współrzędnych kartezjańskich
GRADIENT w układzie walcowym r,φ,z
grad V =∇ V =[
∂V  ∂V  ∂V 
1 ,
1 ,
1]
∂x x ∂y y ∂z z
Zadanie 3.
W układzie współrzędnych kartezjańskich potencjał elektryczny
wyrażony jest wzorem: V(x,y,z) = cos(1.75πx2) – y – 2z.
GRADIENT w układzie sferycznym r,θ,φ
Oblicz natężenie pola elektrycznego w punkcie (0.5,1,1).
 =−grad V
E
15
16