Przykład 15.1

Wykład 15
Zastosowania całki oznaczonej ciąg dalszy
15.1 Obliczanie objętości pewnych brył.
Dotychczas poznaliśmy sposób obliczania objętości
brył obrotowych, a więc brył, których przekrój z
płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu jest kołem.
Teraz zajmiemy się bryłami charakteryzującymi się
następującą własnością. Dla każdej wartości x należącej
do pewnego przedziału <a, b>, przekrój badanej bryły z
płaszczyzną prostopadłą do osi współrzędnych,
a)
przechodzącą przez punkt x, jest figurą, której pole
można zapisać za pomocą ciągłej funkcji A(x).
Przykłady takich brył pokazane są na rys. 13.1.
Bryła, której przekroje płaszczyzną prostopadłą do osi
współrzędnych są jednakowe dla wszystkich
x  <a, b>, jak na rys. 15.1 a), nazywana jest walcem.
Przekroje walca z płaszczyznami prostopadłymi do osi
współrzędnych w punktach x = a i x = b nazywane są
jego podstawami a odległość między podstawami
nazywana jest wysokością walca.
Objętość walca oblicza się mnożąc pole jego podstawy
b)
A(a) przez wysokość h.
Aby obliczyć objętość bryły nie będącej walcem, takiej
Rys. 15.1
jak przedstawiona na rys. 15.1.b), posłużymy, podobnie
jak na poprzednim wykładzie, się podziałem P odcinka <a, b>. Wprowadzamy więc punkty
a  x1  x2  ...  xn-1  xn  b. Długość przedziału <xi-1, xi>, oznaczać będziemy symbolem
xi, tzn.:
xi = xi - xi-1.
Płaszczyzny prostopadłe do osi współrzędnych, przechodzące przez punkty xi dzielą całą
bryłę na mniejsze części. Każdą z tych części można zastąpić cylindrem o wysokości
xi = xi - xi-1 i polu podstawy A(wi), gdzie wi  (xi-1, xi). Jeden z takich cylindrów pokazany
jest na rys. 15.1 b). Objętość takiego cylindra jest równa A(wi) xi . Objętość całej bryły może
więc być przybliżona za pomocą sumy:
n
V   A( wi ) xi
i 1
Suma ta jest sumą Riemanna. Jej granicą przy n   i xi  0 jest całka oznaczona:
b
V   A( x )dx
a
Przykład 15.1
Znaleźć objętość prawidłowej piramidy o wysokości h, której podstawą jest kwadrat o boku a.
Rozwiązanie.
Wprowadzamy układ współrzędnych tak, aby jego
początek pokrywał się z wierzchołkiem piramidy, a oś
współrzędnych OX, oznaczona na rysunku 15.2 literą l,
przechodziła przez środek podstawy. Na rysunku tym
pokazany jest też przekrój piramidy płaszczyzną
prostopadłą do osi współrzędnych, przechodzącą przez
punkt (x, 0). Przekrój ten jest kwadratem o polu
A(x) = 4y2. Należy teraz y zapisać w postaci funkcji
zmiennej x. Z własności widocznych na rys. 15.2
trójkątów podobnych wynika zależność:
Rys. 15.2
y a/2
ax

Stąd y 
. Zatem pole przekroju piramidy
x
h
2h
płaszczyzną prostopadłą do osi współrzędnych , przechodzącą przez punkt (x, 0) wyraża się
wzorem:
a2 x2
h2
Objętością piramidy jest więc
A( x )  4 y 2 
h
a2 x2
a
V   2 dx   
h
h
0
2h
2
 
a 1 3
0 x dx   h  3 x
2
h
0

a 2h
.
3
15.2 Praca jako całka.
Praca jest wielkością fizyczną opisującą przemieszczanie ciała pod wpływem siły.
Jeżeli w wyniku działania stałej siły F ciało zostało przesunięte o d jednostek odległości, to
mówimy, że została wykonana praca
(1) W = Fd.
Siła jest wielkością mierzącą fizyczne oddziaływanie między ciałami. Skutkiem
oddziaływania siły F na ciało o masie m jest nadanie temu ciału przyspieszenia a. Zatem siłę
można obliczyć za pomocą wzoru
F = ma.
Jednostką siły w obowiązującym w Polsce układzie SI jest 1 niuton (1N). jest to siła, która
masie 1 kg (1 kilograma) nadaje przyspieszenie 1 m/s2 (jednego metra na sekundę do
kwadratu):
1 N = 1 kg  m/s2.
Jednostką pracy jest 1 dżul (J). Jest to praca wykonana przez silę 1 N na drodze o długości
1 m.
1 J = 1 N  m.
Przykład 15.2
Określ w przybliżeniu pracę potrzebną do podniesienia obiektu o masie 15 kg na wysokość
czterech metrów.
Rozwiązanie.
Potrzebna do wykonania tej pracy siła F jest stała, F = m  a = 15 kg  9,81 m/s2  147,15 N.
( przyspieszenie ziemskie a = 9,81 m/s2).
Ponieważ ciężar ma być podniesiony na wysokość 4 m, zatem potrzebna jest do tego praca
W = F  d = 147,15  4 N  m = 588,6 J.
Oczywiście obliczając pracę według wzoru (1) musimy założyć, że działająca na ciało siła
jest taka sama w każdym punkcie drogi d. W rzeczywistości nie musi tak być. Przekonał się o
tym namacalnie każdy, kto musiał np. przepchnąć samochód na niewielką nawet odległość.
Największej siły trzeba użyć aby poruszyć stojący samochód. Następnie, już w czasie ruchu,
wielkość użytej siły zależeć będzie od nachylenia drogi, rodzaju nawierzchni i wielu innych
czynników. W takiej sytuacji, gdy używana siła zmienia się w miarę przemieszczania ciała,
obliczenie wykonanej pracy jest nieco bardziej skomplikowane.
Rys. 15.5
Załóżmy, że ciało, na które działa zmienna siła, porusza się po linii prostej l z punktu A do
punktu B (rys. 15.5). Określmy układ współrzędnych w taki sposób, aby prosta l pokrywała
się z osią współrzędnych. Załóżmy, że punkt A ma współrzędną a, punkt B ma współrzędną
b. Abyśmy mogli obliczyć wartość pracy, musimy wiedzieć jaka siła działa na ciało w
każdym punkcie x  <a, b>. Siłę tę zapiszemy jako funkcję położenia, w postaci f(x). Musimy
przy tym założyć, że funkcja f(x) jest ciągła w przedziale <a, b>.
Niech P, podobnie jak na początku niniejszego wykładu, oznacza podział odcinka <a, b>
punktami xi, przy czym a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b. W przedziale <xi-1, xi> o długości
xi = xi - xi-1, siła działająca na ciało jest w przybliżeniu stała, równa f(wi), gdzie
wi  <xi-1, xi>. Zatem praca wykonana przy przesuwaniu ciała wzdłuż odcinka <xi-1, xi> ma
wartość:
Wi = f(wi) xi .
Sumując pracę wykonaną wzdłuż wszystkich odcinków otrzymujemy sumę Riemanna
n
W   f ( wi )xi
i 1
Oczywiście jest to tylko przybliżenie rzeczywiście wykonanej pracy. Dokładną jej wartość
otrzymujemy przechodząc do granicy przy n   i xi  0. Otrzymujemy:
b
(2) W   f ( x)dx .
a
Wzór (2) może być użyty również do obliczania pracy potrzebnej do rozciągania lub ściskania
sprężyny. Należy przy tym wykorzystać następujące prawo.
Twierdzenie 15.1. Prawo Hooke’a.
Siła potrzebna do rozciągnięcia sprężyny x jednostek poza jej naturalną długość wynosi
f(x) = kx,
gdzie k jest stałą nazywaną stałą sprężyny.
Przykład 15.3
Do rozciągnięcia pewnej sprężyny, której naturalna długość wynosi 6 cm, do długości 8 cm
potrzebna jest siła 9 N. Znajdź wartość pracy potrzebnej do rozciągnięcia tej sprężyny:
a) do długości 10 cm,
b) z długości 7 cm do długości 9 cm.
Rozwiązanie.
Wprowadźmy oś współrzędnych w sposób pokazany na
rys. 15.15. Lewy koniec sprężyny przytwierdzony jest w
takim miejscu, aby prawy koniec sprężyny, przy
zachowaniu jej naturalnej długości, znajdował się w
początku osi współrzędnych.
Ponieważ jednostką długości w układzie SI jest metr, a
nie centymetr, długość sprężyny będziemy zapisywać w
metrach.
Długość naturalna
Rozciągnięta o x jednostek
Zgodnie z prawem Hooke’a, f(x) = kx. Ponieważ z
danych wynika, że do rozciągnięcia sprężyny o
2 cm = 0,02 m potrzebna jest siła 9 N, zatem
Rys. 15.6
9 N
N
 450
0,02 m
m
W konsekwencji prawo Hooke’a przybiera postać f(x) = 450x.
a)
f(0,02) = k0,02 m = 9 N. Zatem k 
Rozciągnięcie do długości 10 cm oznacza rozciągnięcie o 0,04 metra. Zatem wykonana praca
ma wartość:
0 , 04
 x2 
W   450 xdx  450 
 2 0
0
b)
0, 04
0, 03
 450
N 0,0016 2

m  0,36 J
m
2
 x2 
0,0009  0,0001
W   450 xdx  450   450
J  0,18J
2
2


0, 01
0, 01
0, 03