II. OPIS PROCESU DYNAMICZNEGO, PODSTAWOWE TERMINY I

II. OPIS PROCESU DYNAMICZNEGO, PODSTAWOWE TERMINY I POJĘCIA
18
________________________________________________________________________________________
II. OPIS PROCESU DYNAMICZNEGO, PODSTAWOWE TERMINY
I POJĘCIA
1. Kontinuum materialne
Jest to podstawowe pojęcie MOC.
Def.: Kontinuum materialne lub ośrodek ciągły jest rozmaitością różniczkowalną


K  R 3 ,S ,
(2.1)
3
gdzie: R - kontinuum liczbowe trójwymiarowe,
S - struktura rozmaitości.
2. Rozmaitość różniczkowalna
Def.: Rozmaitość różniczkowalna jest to przestrzeń topologiczna Hausdorffa o następujących
cechach:
a) 2 różne punkty przestrzeni mają rozłączne otoczenia jak to pokazano na rys. 2.1.
Rys. 2.1. Dwa punkty przestrzeni z rozłącznymi otoczeniami
b) dla każdego otoczenia Vi można dobrać homeomorficzne odwzorowanie na przestrzeń Euklidesa (rys. 2.2)
 i : Vi  Di3  R 3 ,
(2.2)
Rys. 2.2. Odwzorowanie otoczenia Vi na E3
c) zbiór
(Vi , i ) , i = 1,2,... stanowi i-tą mapę; natomiast zbiór map {(Vi , i )} jest atlasem
przestrzeni,
d) jeżeli dwa punkty mają nierozłączne otoczenie (rys. 2.3)
B  Vi  Vk
Rys. 2.3. Nierozłączne otoczenie punktów
(2.3)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
19
to B może być dwojako odwzorowane na przestrzeń R 3 , jak pokazano na rysunku 2.4,
oraz ik B   ki B   0
Rys. 2.4. Odwzorowanie nierozłącznych otoczeń
e) odwzorowanie  i ( ) powinno być ciągłe i różniczkowalne p-razy.
Def.: Rozmaitość różniczkowalna jest przestrzenią topologiczną jako rodzina podzbiorów Vi , na
której zadano atlas klasy C p ( p – rząd pochodnej).
3. Ciało materialne
Def.: Ciało materialne jest podzbiorem kontinuum materialnego B  K i charakteryzuje się
następującą strukturą S :
a) Zbiór ciał materialnych jest ciałem materialnym
B  B1  B2  ...  Bn  K
(2.4)
b) Każde ciało materialne może być odwzorowane na przestrzeń Euklidesa E 3
 : B  D  E3
(
gdzie:  - odwzorowanie homeomorficzne
zwane konfiguracją ciała B w E 3
Rys. 2.5. Odwzorowanie ciała B na E3
c) Najmniejszym elementem w ciele materialnym jest cząstka X, której obrazem jest punkt w
E3
X   X  oraz X  
1
X 
gdzie X  B, X  E 3 .
(2.6)
d) Dla każdej pary odwzorowań  i  istnieje odwzorowanie       1
Odwzorowanie
  : E 3  E 3
(2.7)
3
przekształca przestrzeń Euklidesa E na siebie (patrz rys. 2.6).
II. OPIS PROCESU DYNAMICZNEGO, PODSTAWOWE TERMINY I POJĘCIA
20
________________________________________________________________________________________
Rys. 2.6. Sumowanie odwzorowań
e) W przestrzeni E 3 każdej konfiguracji odpowiada addetywna borelowska miara zbioru M
M:D  R .
(2.8)
4. Miara borelowska
Przez miarę rozumiemy nieujemną liczbę rzeczywistą przyporządkowaną zbiorom w E3:
M D 
gdzie D  E 3
(2.9)
Własność addetywności miary:
jeżeli D1  D2    M D1  D2   M D1   M D2  .
(2.10)
5. Przykłady miar borelowskich
 Masa ciała, gęstość jako miara borelowska
n
M B    M Bi    Mi
dla n  
(2.11)
i 1
i

M   Mi 
i 1
 dm .
(2.12)
D   (B )
 Objętość jako miara borelowska
V
 dV .
(2.13)
D   (B )
 Gęstość masy
m
.
Vk  0 V
   lim
 Inne miary borelowskie: pola gęstości sił (zdefiniowane dalej)
(2.14)
Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych
________________________________________________________________________________________
21
6. Ruch ciała
Def.: Ruchem ciała nazywamy jednoparametrową rodzinę odwzorowań ciała B na przestrzeń
euklidesa E3
 t : B  T  Dt
(2.15)
gdzie
Dt  E 3 ,
t  T  czas należący do przedziału czasowego T.
Aby pozostać w przestrzeni E 3 bez odwoływania się do punktów ciała B należy posługiwać
się złożeniem konfiguracji
 0 t   t   01   .
Stąd


x   t  01 X, t    0 X, t   X, t  ,
i ostatecznie funkcję ruchu zapisujemy w postaci:
x  X, t  ,
(2.16)
(2.17)
(2.18)
3
gdzie: x  E jest miejscem położenia cząstki w konfiguracji  t ,
X  E 3 jest „identyfikatorem” cząstki; oznacza miejsce cząstki X względem układu
współrzędnych materialnych.
Funkcja ruchu jest to odwzorowaniem homeomorficzne (jednoznacznym) co oznacza, że istnieje
funkcja odwrotna
X   1 x, t  .
(2.19)
Rys. 2.7. Wybór konfiguracji odniesienia
7. Przestrzeń zdarzeń
Wszystkie zjawiska opisane w MOC dzieją się w czasoprzestrzeni Galileusza
  E3  T ,
gdzie: E 3  przestrzeń Euklidesa,
(2.20)
II. OPIS PROCESU DYNAMICZNEGO, PODSTAWOWE TERMINY I POJĘCIA
22
________________________________________________________________________________________
T  przedział czasu,
  iloczyn kartezjański.
Punkty w  identyfikowane są przez 4 liczby x1 , x 2 , x 3 , t  .
Atrybuty przestrzeni E3:
– można zdefiniować ortokartezjański układ współrzędnych,
– dana jest metryka przestrzeni postaci (pomiar wzdłuż prostej)

 
 
2

 x A , x B   x1B  x1A  x B2  x A2  x B3  x 3A

o własnościach:
(a)  x A , x B    x B , x A  ,
(b)  x A , x B   0  x A  x B ,
(c)  x A , xC    x A , xB    xB , xC  .

2
,
(2.21)
(2.22)
Atrybuty czasoprzestrzeni  :
– przestrzeń E3 jest jednorodna – żaden punkt nie jest wyróżniony,
– przestrzeń E3 jest izotopowa – żaden kierunek nie jest wyróżniony,
– czas t  T jest jednorodny,
– w przestrzeni E3 dla dwóch globalnych układów współrzędnych x i , xˆ i związanych zależnościami
xˆ t   ct   Qt x 
(2.23)
,
tˆ  t  a

  

procesy dynamiczne Pt   , f , p, , ... i Pˆ tˆ   ˆ , fˆ , pˆ , ˆ , ... są równoważne, jeżeli ich
pola tensorowe transformują się następująco:
 pole skalarne:
ˆ xˆ , tˆ   x, t  ,
(2.24)
(2.25)
fˆ xˆ , tˆ   f x, t Q T t  ,
 pole wektorowe:
ˆ xˆ , tˆ   Qt A x, t Q T t  .
 pole tensorowe walencji 2:
(2.26)
A




8. Opisy analityczne stosowane w MOC
1) Obserwator śledzi położenie cząstek (jest związany z tymi cząstkami), których współrzędne
są określone w konfiguracji wyróżnionej  0 . Wszystkie pola opisuje jako funkcje „identyfikatora” cząstki i czasu. „Identyfikatorem” jest położenie cząstki we współrzędnych materialnych.
Jest to opis materialny – opis Lagrange’a.
2) Obserwator śledzi co dzieje się w punktach geometrycznych przestrzeni. Wszystkie pola
opisuje jako funkcje punktów przestrzeni i czasu. W określonym momencie czasu wartość
funkcji odnosi się do tej cząstki materialnej, która aktualnie znajduje się w danym miejscu w
przestrzeni.
Jest to opis przestrzenny – opis Euler’a.
3) Obserwator śledzi położenie cząstek jak w opisie materialnym. Ponadto dynamicznie zmienia układ współrzędnych przestrzennych dopasowując go do deformacji ciała.
Jest to opis konwekcyjny.