Rzepkoteka 2011 v1.3 1. Podstawy rachunku operatorowego. Definicje i sposoby liczenia: rotacji, dywergencji, gradientu, laplasjanu skalarnego i wektorowego. Wymienić najważniejsze tożsamości rachunku operatorowego. Rotacja- operacja różniczkowa, która w danemu polu wektorowemu przyporządkuje nowe pole wektorowe. Służy do sprawdzania czy w danym polu wektorowym występują wiry pola. dl ∮ E rot E = lim S 0 S ∣ ∣ i rot E= × E= x Ex j y Ey k z Ez Dywergencja- operacje matematyczne na zadanym polu wektorowym, które przypisują temu polu pewne pole skalarne. Służy do sprawdzenia, czy w danym fragmencie przestrzeni znajduje się źródło pola. E dl = lim ∮ div E ΔV ΔS 0 ∂ E ∂Ey ∂Ez x =∇⋅ div E E= ∂y ∂y ∂z Gradient pola- pewnemu polu skalarnemu przyporządkowuje pole wektorowe. ∂ ∂ ∂ grad x , y , z = ∇ x , y , z = i j k ∂x ∂y ∂z Laplasjan skalarny- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu przyporządkowuje nowe pole skalarne. ∂2 ∂2 ∂2 2 Δ= ∇ = i 2 j 2 k (def.) ∂ x2 ∂y ∂z Laplasjan wektorowy- operacja różniczkowa II rzędu, która danemu polu skalarnemu przyporządkowuje nowe pole wektorowe. ∂2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂ 2 ∂ 2 Δ E x, y , z = i j i 2 2 k ∂x2 ∂ y2 ∂z 2 ∂ x2 ∂ y2 ∂z 2 ∂ x2 ∂y ∂z Podstawowe tożsamości: ∇ × A= ∇ ∇ ∇⋅ A ∇⋅ ∇ × A≡0 ∇⋅ f −∇ 2 f = Δ f ∇⋅ f = 0 ∇ 2× ∇ ∮ E d S = ∫ div E d v S v E d l = ∮ ∫ rot E d S l S ( rotacja rotacji) ( dywengencja rotacji) ( dywengencja gradientu) (rotacja gradientu) (Ostrogradskiego-Gaussa) (Stokes`a) 2. Pole elektrostatyczne. Prawo Coulomba. Definicja natężenia pola elektrycznego. Potencjałsposoby liczenia. Napięcie i związek z potencjałem. Prawo Gaussa, równanie Poissona i Laplace'a. Potencjał, a natężenie pola. Pole elektrostatyczne- to przestrzeń wokół nieruchomych ładunków lub ciał naelektryzowanych, w której na ładunki elektryczne działają siły. ( praca: = F⋅L ) Prawo Coulomba (1785): q 1⋅q 2 1 r [N] 4 0 ∣r∣3 r - wektor wodzący F ε0= 8,85⋅10−12 m q 1 i q 2 - ładunki elektryczne F 12= [ ] Natężenie pola elektromagnetycznego: Fq x 0 , y 0, z 0 q0 E x, y , z = 0 [ ] V m q 0 0 ładunek próbny q 00 ładunek dodatni Potencjał- miara pracy, potrzebna do przesunięcia ładunku q0 od punktu P0 do P. P p= −∫ E d l ∞ 1 q p= ⋅ 4 0 r r- odległość od ładunku q do P Sposoby liczenia: 1 4 0 1 b) p= 4 0 1 c) Φ p= 4 πε 0 1 d) p= 4 0 a) p= N ∑ i=1 ∫ ∫ S ∫ V qi ri dl r ζ dS r V dV r Napięcie elektryczne: 2 U 12= ∫ E d l [V] 1 U 12= 1− 2 (wartość napięcia nie zależy od drogi całkowania) Prawo Gaussa: ∮ E d S = S ∑q 0 Równanie Poissona: V a) Δ= 0 = b) postać różniczkowa: div E V 0 E = V ∇⋅ 0 c) Rozwiązanie równania Poissona: x , y , z = 1 4 0 ∫ V V dV e T Równanie Laplace`a: ∇ 2 =0 =0 Potencjał, a natężenie pola elektrycznego: E= −∇ ⋅d l d = − E 3. Dielektryki. Dipol elektryczny, definicja wektora polaryzacji, wektor indukcji elektrycznej, wartość i jednostka ε0, wartość εw dla różnych materiałów. Dielektryk- materiał w którym występuje nikła koncentracja ładunków swobodnych, w wyniku czego bardzo słabo jest przewodzony prąd. Dielektryk idealny nie przewodzi prądu elektrycznego i ma strukturę składającą się z dipoli elektrycznych. Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwóch ładunków + q i - q mechanicznie ze sobą związanych. (moment elektryczny dipola) p =q⋅l [C ∙ m] Wektor polaryzacji: p = lim V 0 ∑ pi V Wektor indukcji elektrycznej ( jego wartość zależy od ładunków swobodnych) = 0 w D E = 0 D E p F −12 0=8,85⋅10 m próżnia ⇒1,0000 powietrze ⇒1,000532 woda ⇒78,3 [ ] Prawo Gaussa (dla dielektryka): Q Z = −∮ ⃗ Pd⃗ S S QZ- ładunek związany 4. Pojemność elektryczna. Sposoby liczenia. Pojemności podstawowych układów. Energia w kondesatorze. Pojemność elektryczna- to cecha geometryczna układu, która wyraża zdolność do gromadzenia ładunków elektrycznych. Zależy tylko od wymiarów geometrycznych i parametrów dielektryka w układzie. C= Q [F] U Sposób liczenia: E d l a) z definicji: U =−∫ E - z prawa Gaussa b) metodą zmiennych rozłożonych: (dzielimy cały układ na połączone ze sobą elementarne kondensatory) – polączenie szeregowe: n 1 1 =∑ C w i=1 C i 1 =∫ dC w – połączenie równoległe: n C w =∑ C i i =1 C w =∫ dC Pojemność podstawowych kondensatorów: S a) płaski: C= 0 w d 2 π ε 0 εw l C= R b) walcowy ln 2 R1 c) sferyczny ( ) C=4 0 w R 1 R2 R1R2 Energia zgromadzona w kondensatorze jest elementarną pracą dW potrzebną do przemieszczenia elementarnego ładunku dq z jednej okładki na drugą. Energia ta jest równa energii pola elektrycznego wytworzonego w kondensatorze. q dW = U⋅dq= dq C Q Q 2 Q Q 1 2 = ∫ dW = ∫ dq= = CU C 2C 2 0 0 pot 1 2 W c= = 0 w E Gęstość energii: V diel 2 5. Prąd elektryczny (definicja). Typy prądów. Równanie ciągłości, lokalne i obwodowe prawo Ohma. I i II prawo Kirchoffa. Prąd elektryczny- uporządkowany ruch ładunków elektrycznych. Za kierunek prądu umownie przyjęto kierunek od niższego do wyższego potencjału. Typy prądów: dQ dt a) liniowy: I= b) powierzchniowy: IS = y⋅V c) objętościowy: I =∫ I d S S [ A] [ ] A m [ A] Równanie ciągłości: – ∮ I d S = − dQ dS postać całkowa: S – d v dt d I = − v ∇⋅ dt div I = − postać różniczkowa: Lokalne prawo Ohma: a) I = E b) E =⋅I - przenikalność właściwa materiału; U L = = R Obwodowe prawo Ohma: I S ∮ J d S= 0 I prawo Kirchoffa: - oporność materiału; S (Całka po powierzchni zamkniętej z gęstości prądu równa jest 0) ∮ E d l = II prawo Kirchoffa: 0 l (Napięcie obliczone po biegunowej zamkniętej jest równe 0) 6. Pole magnetostatyczne. Prawo Grassmanna, Biota- Savarta i prawo przepływu Ampera, prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya, reguła Lenza- rysunki i wzory. Pole magnetostatyczne jest określone wektorem indukcji magnetycznej. d F12 B= [T ] dt Prawo Grassmanna: d l1×r12 ×d l2 d F12= 0 I 1 I 2 3 4 ∣r12∣ [N ] Siła z jaką jeden przewodnik z prądem oddziałuje na drugi Prawo Biota – Savurta: d B= 0 d l ×r I 3 4 ∣r∣ [Wb] Określa wartość indukcji magnetycznej w punkcie odległym od r od elementu z prądem I. Prawo przepływu Ampera: ∮ H d l = L N ∑ Ii i=1 Cyrkulacja natężenia pola magnetycznego po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe algebraicznej sumie prądów obejmowanych przez kontur I. Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya: d B dt d ∮ E d l = − dt B L Cyrkulacja pola elektrycznego po zamkniętej krzywej jest równa zmianie indukcji magnetycznej obejmowanego przez kontur magnetyczny. = − Reguła Lenza: I⋅R= − dt 7. Moment magnetyczny, wektor namagnesowania, pole magnetyczne w ośrodkach materialnych: krzywa histerezy. Indukcyjność własna i wzajemna. Energia pola magnetycznego. Moment magnetyczny jest własnością danego ciała opisującą pole magnetyczne wytwarzane przez to ciało, a tym samym i jego oddziaływaniem z polem magnetycznym. m= I⋅s [⋅m 2 ] Wektor namagnesowania: m = lim ∑ i M V 0 Wyraża gęstość wypadkowego momentu magnetycznego. Pole magnetyczne w ośrodkach materialnych: = 0 w H B = 0 1 y w H w= f H Indukcja własna: L m= mm Im Indukcja wzajemna: Bki M ki = , Ii M ki =M ik [H ] Energia pola magnetycznego: m=∫ m x , y , z dV = V ∫ 12 H ⋅B dV V Całkowita energia w objętości V. 8. Równania Maxwella. Postać całkowa (wzór, treść i rysunek), postać różniczkowa i zespolona. Podać pełne wyrażenie na εsk. Prawo Gaussa: ⃗ D ⃗ = ρV , ∇⋅D ⃗ = ρ , DN2 −D N1 = σq ∮ D⃗ d ⃗S =Q s , ∇⋅ Strumień wektora indukcji elektrycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnie jest równy algebraicznej sumie ładunków swobodnych zgromadzonych wewnątrz bryły ograniczonej powierzchnią S. Prawo Gaussa (dla pola magnetycznego): ⃗ ⃗ B= 0 ∮ ⃗B d ⃗S = 0 , ∇⋅ , ∇⋅⃗ B= 0 S Strumień wektora indukcji magnetycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię S zawsze jest równy 0. ∑ B=0 , B N2 −B N1= 0 Prawo Faraday`a: d ΨB B ⃗ ×⃗ ⃗ , ∇ E= − , ∇ ×⃗ E= − j ω μ H dt t L Cyrkulacja pola elektrycznego po dowolnej krzywej zamkniętej l, jest równa zmianie strumienia indukcji magnetycznej przenikającej przez dowolną powierzchnię rozpięta na konturze l. ∮ E⃗⋅d ⃗l = − , E t2 −E t1 = 0 Prawo Ampera: ⃗ dΨ B ⃗ ×H ⃗ = ⃗J + d D , ∇× H ⃗ = j ω ε sk ⃗ , ∇ E dt dt L Cyrkulacja wektora H po dowolnej krzywej zamkniętej l jest równa algebraicznej sumie prądów obejmujących konturem l i zmiana strumienia indukcji elektrycznej przenikającego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na konturze l. ∮ H⃗ d ⃗l = J+ , H t2 − H t1 =J st Równanie ciągłości: ⃗ ⃗J = d ρV , J −J = − d σ y ∇× N2 N1 dt dt S Strumień gęstości prądu przez dowolną zamkniętą powierzchnie S jest równy zmianie ładunku zawartego w bryle ograniczonej powierzchnią S. ∮ ⃗J d ⃗S = − dQ dt ε sk = , σ σ +ε = +ε 0 ε w jω jω 9. Warunki brzegowe wektorów pola elektrycznego, magnetycznego i Jn. Wyprowadzić warunki Dn i Et. 1) 2) 3) 4) D N2 −D N1= σ q E t2 −E t1 = 0 H t2 −H t1 = I st dσ y J N2 −J N1= − dt (prawo Gaussa) (prawo Faraday`a) (prawo Ampera) (prawo ciągłości) Warunki na Dn: ∮ D⃗ d ⃗S = Q S S ∮ D⃗ d ⃗S = Sb 0 , więc ∮ D⃗ d ⃗S = ∫ D⃗1 d ⃗S +∫ D⃗2 d ⃗S = S S1 QS S2 −DN1⋅ S +D N2 S = Q S QS D N2 −D N1= = σq S 2 Warunki na Et: ∮ E⃗ d ⃗l = 0 , 3 h→0 4 5 2 ∫ E⃗ d ⃗l +∫ E⃗ d ⃗l +∫ ⃗E d ⃗l +∫ ⃗E d ⃗l = 1 2 3 4 2 4 ∫ E⃗ d ⃗l +∫ E⃗ d ⃗l = 1 3 2 2 4 4 ∫ E⃗N d ⃗l +∫ E⃗t1 d ⃗l +∫ E⃗N d ⃗l +∫ E⃗t2 d ⃗l =¿ 1 1 3 3 4 =∫ E⃗t1 d ⃗l +∫ E⃗t2 d ⃗l ⇒ E t2 l− E t1 l= 0 ⇒ E−t2−E t1 = 0 1 3 10. Równanie falowe (wyprowadzić), jednorodna fala płaska- zapis i struktura (rysunek). Założenia: 1) przestrzeń jest nie ograniczona, 2) ośrodek jest jednorodny (ε, μ, σ= const), 3) brak ładunków oraz prądów wywołanych ruchem tych ładunków. Z równań Maxwella: ⃗ D ⃗= 0 ∇⋅ ⃗ ⃗ ∇⋅ B= 0 ⃗ ⃗ ∇⋅ E= 0 ⃗ ⃗= 0 ∇⋅H ⃗ ⃗= − jμω H ⃗ ∇× E ⇒ ⃗ ×H ⃗ = j ω ε sk E ⃗ ∇ ⃗ ∇ ⃗ ×E ⃗ = − j μ ω⋅j ω ε sk ⃗ ∇× E ⃗ ×∇ ⃗ ×⃗ ⃗= 0 ∇ E −μ ω 2 ε E sk ⃗ ×∇ ⃗ ×⃗ ⃗ ( ∇⋅ ⃗ ⃗ ∇ E= ⃗ E−∇ E) , ⃗ ⃗ ⃗ = ∇× E H − jμω { ⃗ +ε sk μ ω 2 ⃗ E E= 0 2 ⃗ ⃗= 0 H +ε sk μ ω H { ⃗ −γ 2 ⃗ E E= 0 ⃗ −γ 2 H ⃗= 0 H } } γ 2= −ε sk μ ω 2 (Równanie falowe Helmholtz) Jednorodna fala płaska: γ⃗ - wektor propagacji, (α – współczynnik tłumienia, β – współczynnik fazy) γ⃗ = α⃗ + j β⃗ −⃗ γ ⃗r − j ω t ⃗ ⃗ E= E m e e ⃗ = H⃗m e−γ⃗ ⃗r e− jω t H α = u⃗α⋅α β = u⃗β⋅β , , u⃗α = u⃗β = u⃗ - kierunek propagacji γ⃗ = γ ⋅⃗u ⃗ 1 ⃗ E = E m e −⃗α ⃗r e− j β ⃗r , [ α ] = [ β ] = m [ ] n = i⃗y ⃗ −α r ⃗ E= E⃗mz e cos( ω t −β r )i z ⃗ = H ux e−α r cos( ω t−β r )i x H ⃗ E ⃗= 0 ∇⋅ ⃗ E ⃗ = −⃗ ⃗ ∇⋅ γ ⋅⃗E = 0 ⇔ γ⃗ ⊥ E ⃗ H ⃗ = −⃗ ⃗ = 0 ⇔ γ⃗ ⊥ H ⃗ ∇⋅ γ⋅H ⃗ E ⊥ ⃗n Fala poprzeczna ⃗ ⊥⃗ H n { } 12. Propagacja fali płaskiej w różnych ośrodkach (dielektryk bezstratny, dielektryk stratny, przewodnik). Jak ośrodek wpływa na parametry fali. Propagacja fali w różnych ośrodkach: ω α= ε μ 0,5( √ 1+a 2−1) c √ w w ω 2 β= √ε w μ w 0,5(√ 1+a +1) c σ 2π ω 1 a= , λ= , vf= , δ= α ω ε0εw β β λ – długość fali; vf – prędkość falowa; δ – głębokość wnikania; próżnia: c v f = c , λ 0= , δ =∞ , Z fo = 120 π , φ 0 = 0 f dielektryk bezstratny: λ0 c 1 vf= , λ= , δ = α , Z f <Z fbeastr , φ 0 ≠0 , Z f ∈ ℂ √ε w √ε w dielektryk stratny: 1 v f <u fstr. , λ <λ str. , δ = α , Z f <Z fstr. , φ 0 ≠ 0 , Z f ∈ ℂ przewodnik rzeczywisty: σ a= ≫1 , α ≈ β ω ε0εw 1 1 α = β = √0,5 ω μ σ , δ = α = (dlaC n) √0,5 ω μ σ v ω vf= , λ = f , λ ≪λ0 β f √ √ 13. Odbicie i załamanie fali płaskiej na granicy dwóch ośrodków. Wzory Fresnella. Współczynniki energetyczne. Kąt Brewstera. Całkowite wewnętrzne odbicie. Założenia: 1) fala monochromatyczna i jednorodna; 2) granica jest nieruchoma; 3) fala pada od strony dielektryka bezstratnego; 4) oba ośrodki są liniowe, jednorodne i izotropowe. E t2 = E t1 , DN2 −D N1 = σ q W t= Pt +Rt , ε w2 E N2 = ε w1 E N1 P t exp( j ω p t−γ px x−γ py y )+Rt exp ( j ω w t−γ wx x−γ wy y)= W t exp( j ω w z−γ wx x−γ wy y) Wzory Fresnela: E tg (Θ 1−Θ 2 ) ρE ∥ = r ∥ = Ep ∥ tg (Θ 1+Θ 2 ) E sin(Θ 1−Θ 2 ) ρE ⊥ = r ⊥ = − Ep ⊥ sin(Θ 1+Θ 2 ) 2 cosΘ 1 sin Θ 2 HE∥= sin(Θ 1+Θ 2 )cos (Θ 1−Θ 2) HE ⊥ = 2 cos Θ 1 sinΘ 2 sin(Θ 1+Θ 2 ) Współczynniki energetyczne: R≡ ∣ρ E∣2 Kąt Brewstera: , T ≡ 1−R , R≡ 2 ∣ ∣ 1−n 1+n tg Θ 1Br = n12 100% fali spolaryzowanej wnika do ośrodka drugiego. Całkowite wewnętrzne odbicie, to zjawisko polegające na tym, że światło padające na granice od strony ośrodka o wyższym współczynniku załamania, pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu ( pryzmaty, światłowody). 14. Potencjały elektrodynamiczne. Potencjał opóźniony skalarny i wektorowy. Wektor Hertza. Potencjał elektrodynamiczny: ⃗ E = −grad Φ , 2 ∇ Φ= −ρ v ε0 Potencjały opóźnione (skalarny i wektorowy): d⃗ A ⃗ E= −grad Φ − dt { Φ ( x , y , z , t) = Wektor Hertza: ⃗ ⃗e E = rot rot Π ⃗ = j ω ε rot Π ⃗e H { A(x , y , z ,t )= 1 πε ∫ 1 4π ∫ V V , ⃗ B= rot ⃗A r ρ ( x 0 , y 0 , z 0 , t− ) v dV r r ⃗y ( x0 , y 0 , z 0 ,t− ) v dV r } } Zastosowanie elektrycznego wektora Hertza Π⃗ e pozwala na wyrażenie ⃗ . potencjałów Φ i ⃗ A w funkcji tego wektora oraz natężeń pól ⃗ E i H 15. Dipol elementarny. Charakterystyki promieniowania w polu dalekim i bliskim. Opór promieniowania. Źródło elementarne: a) rozpatrujemy pola w odległościach >> od rozmiarów źródła, tzn. l<<r b) wymiary źródła są << λ (nie ma przesunięć fazowych w obrębie źródła) Źródło elementarne można więc uważać za punktowe źródło pola. Elementarny oscylator (wibrator lub dipol) – 1 j I= − I dla przebiegów harmonicznych o pulsacji ω: I = j ω q⇒ q= jω ω j ⃗p = q⋅⃗l = − I ⃗l - moment elektryczny odcinka o długości l, w którym płynie ω prąd przemienny o natężeniu I. Wartość (chwilowa) natężenia prądu w każdym punkcie oscylatora elementarnego jest taka sama. −j ⃗ A= 2π r λ μ ⃗e Il 4π r - potencjał wektorowy oscylatora elementarnego (w ośrodku ε, μ=const σ=0) −j 2π r λ I ⃗l e Π⃗ e = − j 4π ε ω r −j 2π r λ 2IlcosΘ e Er= − j 4 π ε ω r3 2π r −j λ ( ( 1+ j 2π r λ ) ( )) 2 2Ilsin Θ e 2π r 2π r 1+ j − 3 λ λ 4π ε ω r Eφ= 0 Linie pola H tworzą koła koncentryczne z osią oscylatora, linie równoleżnikowe. Linie wektora E leżą w płaszczyznach południkowych. EΘ = − j - Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora: 2 2π r −j 2π r 2π r ≪ ≪1 , e λ = 1 λ λ Ilsin Θ H r= 0 , HΘ = 0 , H φ= 4π ε r2 2Ilcos Θ 2pcos Θ Er= − j = 3 3 4π ε ω r 4π ε r Ilsin Θ psinΘ EΘ = − j = 3 4π ε ω r 4π ε r3 Eφ= 0 ( ) Pole elektrostatyczne oscylatora jest w małej odległości identyczne z polem dipola elektrostatycznego (ale jest to znowu pole pulsujące). Pole H i E są w obszarze bliskim kwazistacjonarne. - Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora elementarnego. 2 2π r 2π r 2π r ≫ ≫1 - można pominąć człony z niskimi potęgami λ λ λ ( ) −j 2π r 1 Ilsin Θ e λ H r= 0 , H Θ = 0 , H φ= j ⋅ 2 λr – pole elektryczne i magnetyczne są współfazowe – pole E jest prostopadłe do H. EΘ = Zf – Hφ Opór promieniowania – jest to taki opór zastępczy, w którym po dołączeniu do źródła zasilającego oscylator (antenę) wydziela się moc równa mocy promieniowanej przez oscylator (antenę). 2 1 R pr= 80 π 2 - opór promieniowania oscylatora elementarnego w wolnej przestrzeni. λ () 16. Falowody. Fale typu TE i TM. Częstotliwość graniczna. Mody. Rozpływ linii sił pola i prądów dla modu podstawowego. Szczeliny w falowodach. Falowód jest pustą rurą metalową nie mającą przewodnika wewnętrznego. Przekroje poprzeczne falowodów mogą mieć różne kształty, od prostokątów i okręgów do bardziej skomplikowanych. Stosuje się także pełne rury z dielektryka. Stosowanie falowodów jest charakterystyczne dla techniki mikrofalowej (fale centymetrowe i milimetrowe). Poprzeczna fala elektryczna TE (H): (tylko pole elektryczne ma składową podłużną) E Z = 0 , H Z≠ 0 Poprzeczna fala magnetyczna TM: E Z ≠ 0 , H Z= 0 Mod jest charakterystycznym rozkładem pola elektromagnetycznego odpowiadającym danemu kątowi rozchodzenia się fal w falowodzie. Mody dzieli się na: -TE{ Ey, Hz, Hx } (Transverse Electric) - mody których natężenie pole elektrycznego w kierunku rozchodzenia się jest zerowa. -TM{ Hy, Ez, Ex } (Transverse Magnetic) - mody których indukcja magnetyczna w kierunku rozchodzenia się jest zerowa. -TEM (Transverse ElectroMagnetic) - mody których natężenie pola elektrycznego i indukcja magnetyczna wzdłuż kierunku rozchodzenia jest zerowa. -Hybrydowe - mody nie spełniające powyższych warunków. Częstotliwością graniczną (krytyczną) fgr nazywamy taką częstotliwość, dla której wyrażenie pod pierwiastkiem (a tym samym γZ ) jest równe zeru. √( 2 2 ) () 1 m n f gr= + a b 2 √ε μ Częstotliwość graniczna zależy od rozmiarów falowodu (a, b) jak również od rodzaju fali (m, n). Można też uprościć zapis: f gr= Tym samym długość fali wynosi: v 2 √( 2 λ gr = 2 ) () m n + a b v = f gr 2 √( 2 2 ) () m n + a b Rozkład pola magnetycznego dla kilku rodzajów: E01 E02 E10 E20 E11 E12 Szczelina typu A – równoległa do linii prądów powierzchniowych, nieco ten rozpływ zakłóca, mało – gdy wąska nie powoduje zmian w przepływie energii wewnątrz falowodu, szczeliny pomiarowe – sondy, Szczelina typu B – przecinają linie prądu, brzegi szczeliny ładują się, w szczelinie powstaje ⃗ - szczelina wypromieniowuje energię. pole ⃗ E , prąd przesunięcia J⃗d , pole H Wykorzystanie – anteny falowodowe, sprzęganie dwóch falowodów.