Obwody prądu sinusoidalnie zmiennego

Obwody elektryczne 2
cz.1
2017
dla EiT
OE2 2017
1
Kontakt:
•
•
•
•
•
•
•
Dr inż. Marek Ossowski
[email protected]
Zakład Układów i Sysytemów Nieliniowych
Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3)
Tel.(42) 6312515
Tel 501673231  tylko w sprawach niezwykle
ważnych!!!!
• http://matel.p.lodz.pl/wee/i12zet/mosso/mosso_index.html
OE2 2016
2
Cel edukacyjny przedmiotu
• Zapoznanie studentów z podstawami teoretycznymi i
wykształcenie umiejętności analizowania obwodów prądu
sinusoidalnie zmiennego metodą symboliczną.
• Wykształcenie umiejętności analizowania obwodów z
wymuszeniami okresowymi niesinusoidalnymi.
• Zaznajomienie z klasyczną metodą analizy obwodów
pierwszego rzędu w stanach przejściowych.
• Wykształcenie umiejętności analizowania obwodów
zawierających wzmacniacz operacyjny.
Efekty kształcenia
• Po zakończeniu kursu student potrafi :
– 1. Opisywać związki między prądem i napięciem zachodzące
dla elementów idealnych przy wymuszeniach sinusoidalnych.
– 2. Definiować podstawowe pojęcia : impedancja, admitancja,
przesunięcie fazowe, moc czynna, bierna, pozorna.
– 3. Stosować metodę liczb zespolonych do opisu i analizowania
obwodów prądu sinusoidalnego, przeprowadzać obliczenia i
rysować wykresy wskazowe.
– 4. Analizować obwody z wymuszeniami okresowymi
niesinusoidalnymi, obliczać wartości średnie, skuteczne, moc
czynną, bierną, pozorną i moc odkształcenia.
– 5. Analizować obwody pierwszego rzędu w stanach
przejściowych.
– 6. Analizować proste obwody zawierające wzmacniacz
operacyjny.
PROGRAM WYKŁADÓW
• Analiza obwodów prądu sinusoidalnego:
– metoda symboliczna,
– wskazy, moc i energia
– dopasowanie odbiornika do źródła
– rezonans napięć i prądów.
Program wykładów (cd)
– Stany nieustalone:
• analiza obwodów pierwszego rzędu metodą
klasyczną.
– Szeregi Fouriera:
• właściwości, zbieżność, widmo amplitudowe i
fazowe.
– Analiza obwodów pobudzanych sygnałami
okresowymi niesinusoidalnymi.
– Wzmacniacz operacyjny.
OE2 2016
8
Literatura
• Literatura podstawowa:
1. Tadeusiewicz M., Teoria Obwodów, cz.I,
Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź 2003
2. Tadeusiewicz M., Teoria Obwodów zadania,
Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej 1999
Literatura uzupełniająca:
1. Mikołajuk K., Podstawy analizy obwodów
energoelektronicznych, Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1998
2. Osiowski J., Szabatin J., Podstawy Teorii
Obwodów, tom II, WNT, Warszawa 1992
OE2 2016
9
Zaliczenie przedmiotu
• Obecność na wszystkich zajęciach
• Pozytywna ocena z ćwiczeń
warunkiem zdawania egzaminu
• Egzamin pisemny 90min
– Zagadnienia teoretyczne
– Zadania obliczeniowe
OE2 2016
10
Prąd sinusoidalnie zmienny
• B=const
 m  Bld
d
e

dt
d [ m cos t ]


dt
Em sin t
OE2 2016
11
Wielkości charakteryzujące
przebiegi
sinusoidalne
x(t )  X m sin(t   x )
x(t )
Xm
u
OE2 2016
12
„Przebiegi” w fazie
1,5
x1(t),x2(t)
x1 (t )  X m1 sin t  1 
1,0
0,5
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-0,005
0,000
0,005
OE2 2016
0,010
0,015
0,020
13
W przeciwfazie
x1(t),x2(t)
1,5
x1 (t )  X m1 sin t  1 
1,0
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
0,5
t
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-0,005
0,000
0,005
0,010
OE2 2016
0,015
0,020
14
Przesunięte o kąt:   1   2
1,5
x1(t),x2(t)
1,0
x1 (t )  X m1 sin t  1 
0,5
0,0
t
-0,5
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
-1,0
-1,5
-0,005
0,000
1  2
0,005
0,010
OE2

2016
1  2
0,015
0,020
15
Wartość skuteczna
1
X sk 
T
t0 T
2
x
 t dt
xt   X max sin  t   x 
t0
Dla funkcji sinus
zachodzi:
X sk
X max

2
Wartość skuteczna:
• Powszechnie
stosowana miara
wielkości
sinusoidalnej
• Oznaczenia:
x(t )  X sk , X
u (t )  U sk , U
i (t )  I sk , I
Wektory a sinusoida
u (t )  U m sin(t   u )
u
u
u (to )  uo
OE2 2016
18
Związek między wykresem wektorowym a czasowym
A
B
i1 (t )  I m1 sin(t   i1 )
i2 (t )  I m 2 sin(t   i2 )
i
i
1
2
i
1
OE2 2016
i
2
19
Dodawanie sinusoid
x(t),x1(t),x2(t)
x(t )  X m sin t  
1,5

z
x1 (t )  X m1 sin t  1 
1,0
Xm2
0,5
x2(t=0)
y
0,0
Xm
-0,5
x(t=0)
x1(t=0)
Xm1
-1,0
-1,5
-0,005
2
0,000
0,005

1
0,010
0,015
0,020
x2 (t )  X m 2 sin t   2 
t
OE2 2016
20
2
1
1
X m1
X m1 cos 1  X m 2 cos  2

Xm
X m1 sin 1  X m 2 sin  2
X m2
OE2 2016
21
x(t)=Xm sin(wt+f
sin(w t+f
y(t)=Ym sin(w
t+f
sin(wt+f
f
x
y
)
)
y
f
fx
x
t
OE2 2016
22
Podstawowe zależności dotyczące liczb
zespolonych
Postać algebraiczna
A  a  jb
Re( A)
Postać wykładnicza
Im( A)
A  Ae
arg ument A
mod uł A
A  a b
2
Postać trygonometryczna
j
2
b
  ar ctg
a
A  A cos   jsin 
OE2 2016
23
Wzór Eulera
j
e  cos   jsin 
Im(A)
A
a=Im(A)
A

Re(A)
b=Re(A)
OE2 2016
24
Podstawowe zależności metody symbolicznej
Zespolona funkcja czasu
X mt  X m e
j t x 

 X m cost   x   j sin t   x 
ImX mt   X m sin t  x   x ( t )
ReX mt   X m cost  x   x ( t )
OE2 2016
25
Definicja wartości symbolicznej
(zespolonej) wielkości sinusoidalnej
Wartością symboliczną (zespoloną) wielkości
sinusoidalnie zmiennej:
x( t )  X m sin t  x 
nazywamy wyrażenie postaci:
j x
X  Xe
gdzie
Xm
X
2
x
jest wartością skuteczną
funkcji sinusoidalnej x(t)
jest fazą początkową 26
funkcji sinusoidalnej x(t)
OE2 2016
x( t )  Im 2Xe
jt
x ( t )  Im 2Xe
 Im 2 X e e
j x
 ImX m e
j( t x )

jt
jt



 X m sin( t   x )  x ( t )
OE2 2016
27
Wskaz ruchomy
Im(Xmt)

X
m
 x  t
x( t )  X m sin t  x OE2 2016
Re(Xmt)
28
Wskaz nieruchomy=wskaz

t=0
t
x( t )  X m sin t  x 
X
X m sin x
m
x
x( t )  X m cos90  (OE2
t 2016x )  X m sin( t  29x )
0
Lemat 1
Jeżeli  k jest liczbą rzeczywistą, zaś z k (t )
zespoloną funkcją czasu (k = 1,...m), to


Im k zk (t )   k Imzk (t )
 k 1
 k 1
m
m
X mt  2 Xe
jt
Lemat 2
Jeżeli
gdzie
to
X X e
,
jx
d
d

Im X mt   Im X mt   Im jX mt 
dt
 dt

OE2 2016
30
d
d
Im  X mt    2 X sin t   x    2 X cost   x  
dt
dt

j




j t  x  2 
  2 X sin  t   x    Im  2 X e
e 
2




 Im j 2 X e
j t  x 

d


 Im  jX mt   Im  X mt  .
 dt

OE2 2016
31
Lemat 3
Im Ae
t :
Jeżeli
jt
  ImBe 
jt
gdzie A i B są liczbami zespolonymi to:
A B
oznaczmy
i podstawmy t=0
skąd wynika

podobnie dla t 
2
otrzymujemy
skąd wynika
A  Ar  j Ai ,
B  Br  j Bi
Im Ar  j Ai   ImBr  j Bi 
Ai  Bi
j

2
j

e
e 2  j
Im[ Ar  j Ai  j ]  Im[Br  j Bi  j ]
uwzględniając
ArOE22016Br
32
m
i
k 1
k
0
i k  Im 2I k e
j t
 0

Im
2
I
e

k
m
jt

k 1
 m
jt 
Korzystając z LEMATU 1: Im  2I k e   0
 k 1

 m
jt 
Im  2I k e   Im(0e jt )
 k 1

Lemat 3
m
OE2 2016
I
k 1
k
0
33
m
m
i
k 1
k
0
I
k 1
k
0
W dowolnym węźle lub przekroju algebraiczna suma wartości
symbolicznych prądów równa się zeru.
Reguły dotyczące znaków (zalecane: + wypływające, - wpływające)
jak dla wartości chwilowych.
OE2 2016
34
n
u
k 1
k
0
u k  Im 2U k e
jt
 0

Im
2
U
e

k
n

jt
Korzystając z LEMATU 1:
k 1
 n
jt 
Im  2U k e   0
 k 1

 m

j

t
Im  2U k e   Im( 0e jt )
 k 1

Lemat 3
n
OE2 2016
U
k 1
k
0
35
m
u
k 1
k
0
m
U
k 1
k
0
W dowolnej pętli algebraiczna suma wartości
symbolicznych napięć równa się zeru.
Reguły dotyczące znaków (zalecane: + wypływające, - wpływające)
jak dla wartości chwilowych.
Prawo do jest również prawdziwe dla dowolnej pętli (sekwencji )
napięć międzywęzłowych.
OE2 2016
36
Niech:
u (t )  2 U sin t   u   Im 2Ue jt 
i (t ) 
gdzie
jt



Im
2
I
e
2 I sin t   i 
U Ue
j u
I  Ie
j i
OE2 2016
37
R
u  Ri
i
u
Lemat 1
Im  2Ue
jt
  R Im 
2 Ie
jt

Lemat 3
U  RI
R
Ue
 RIe
j i
I
U R I
U
j u
OE2 2016
u  i
  u  i  0
38
R
I
U
U
I
u  i
OE2 2016
39
REZYSTOR idealny(liniowy)
• Zależności podstawowe:
i (t )  I m sin(t   i )
u ( t )  i( t ) R
u (t )  U m sin(t   u ) 
RI m sin(t   i )
• stąd:
U m  RI m  u   i
OE2 2016
40
L
di
uL
dt
i
u
Lemat 1i2
Im 2Ue
jt
d
  L Im 2 Ie jt   L Im j 2 Ie jt   Im jL 2 Ie jt 
dt
Lemat 3
L
U
U  jLI
U e ju  L I e


j  i  
2

I
U  L I  u   i 
OE2 2016
  u  i 

2

2
41
L
I
U
U
u  i   
u

2
i
I
OE2 2016
42
CEWKA idealna (liniowa)
i (t )  I m sin(t   i )
• Równanie: u  L di
dt

• skąd
u (t )  LI m cos(t   i )  U m sin(t   i  )
2
U m  LI m  u   i 
OE2 2016

2
43
C
du
iC
dt
i
u
Lemat 1i2
Im 2Ie
jt
  C d Im
dt
2 Ue jt   C Im j 2 Ue jt   Im jC 2 Ue jt 
Lemat 3
C
U
I
I  jCU
I e ji  C U e


j  u  
2

I  C U  i   u 
OE2 2016
  u  i  

2

2
44
C
I
I
U
u  i    
i

2
u
U
OE2 2016
45
u (t )  U m sin(t   u )
Kondensator idealny liniowy
duc (t )
ic (t )  C
dt

ic (t )  CU m cos(t   u )  CU m sin(t   u  )
2


I m  CU m  i  OE2
u 2016   
2
2
46
Dla źródeł sterowanych
y  kx
Y  kX
Dla cewek magnetycznie sprzężonych
m
dik
dil
uk  Lk
  M kl
dt l 1
dt
m
U k  jLk I k   jM kl I l
OE2 2016
l 1
47
IMPEDANCJA
Impedancją dwójnika nazywamy iloraz wartości
zespolonych napięcia i prądu.
Z
U
Z
I
I
U
Jednostka główna impedancji:
OE2 2016
1Z  1
48
Interpretacja geometryczna impedancji
(Z)  rezystancja (R)
reaktancja (X)
Im(Z)
Z  R  jX  Z e
Z  R2  X 2
j
X
arg Z    arctg
R
jX

X  ImZ   Z sin 
R
R  ReZ   Z cos 
OE2 2016
Re(Z)
49
Admitancja
Admitancją dwójnika nazywamy iloraz wartości
zespolonych prądu i napięcia.
Z
I
Y
U
I
U
Jednostka główna impedancji:
OE2 2016
1Y   1S
50
Interpretacja geometryczna admitanancji
(Y) => konduktancja (G)
susceptancja (B)
Im(Z)
Y  G  jB 
Ye
Y  G2  B2
j *
arg Y   *    arctg
B
G
jB
B  ImY    Y sin   Y sin  

G
G  ReY   Y cos 
OE2 2016
Re(Z)
51
Przykład
Analiza zespolona prostego układu
AC. Wykres wskazowy.
Układ Hummela
I1
Z1
Z2
I
I2
R
U1
U2
U
I1
Z1
Z2
I
I2
R
U1
U2
U1  Z1I1
U1  RI 2
U
U1 Z1
I2 
 I1
R R
I  I1  I 2
Z1
 Z1 
I  I1  I1  1  I1
R
 R
U  U1  U 2
 Z1I1  Z2 I 
 Z1 
 Z1I1  Z2 1  I1
 R
Z1Z2 

U   Z1  Z2 
I1
R 

Niech:
Z1  R1  jX1
Z2  R 2  jX 2
R1  jX1 R 2  jX 2  

U   R1  jX1  R 2  jX 2 
I1
R


R 1R 2  X1X 2 
R 1X 2  R 2 X1  

U   R1  R 2 
 j X1  X 2 
 I1
R
R



Aby kąt między U i I1 wynosił 90o musi
zachodzić relacja:
U  jkI1 k  R
Czyli:
R1 R2  X 1 X 2
R1  R2 
0
R
Skąd otrzymujemy
X1X 2  R 1R 2
R
R1  R 2
R0
X1X 2  R1R 2
WNIOSEK: Reaktancje X1 i X2 muszą być jednego znaku
a
X1  0, X 2  0
R 1X 2  R 2 X1
k  X1  X 2 
0
R
U, I1   90
b
o
X1  0, X 2  0
R 1X 2  R 2 X1
k  X1  X 2 
0
R
U, I1   90
o
a
X1  0, X 2  0
U
jX 2 I
R 2I
U1
jX1I1
I
I2
I1
R 1I1
b
X1  0, X 2  0
R 1I1
I1
I
U1
jX1I1
R 2I
U
jX 2 I
I2
Moce
w obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego
OE2 2016
61
Moc chwilowa, czynna i bierna
i  I m sin  t   i 
i
u

u  U m sin  t   i  
u

Mocą chwilową dwójnika nazywamy iloczyn wartości
chwilowych prądu i i napięcia u.
p  ui  Um I m sin  t   i sin  t   i   
OE2 2016
62
u,i,p
p
i
u
P  U I cos
0

2

3

2
OE2 2016
2
t
63
u (t )  U m sin(t   u )
i (t )  I m sin(t   i )
  u  i
DEFINICJA
Mocą czynną P dwójnika (u,i są wielkościami okresowymi)
nazywamy wartość średnią za okres mocy chwilowej:
1T
P  p   pdt
T0
OE2 2016
64
Można wykazać, że dla przebiegów sinusoidalnie
zmiennych:
1T
1T
P  p   pdt   ( p1  p2 )dt 
T0
T0
1T
  p1dt  U I cos 
T0
WZÓR:
P  U I cos 
pozwala wyznaczyć moc czynną dwójnika, czyli miarę
energii pobieranej przez dwójnik w czasie jednego okresu:
T
wT   pdt  PT
o
OE2 2016
65
W obwodach prądu zmiennego definiuje się również moc bierną:
Q  U I sin 
będącą miarą energii wymienianej między źródłem energii a
odbiornikami o charakterze reaktancyjnym (polem elektrycznym
kondensatora i polem magnetycznym cewki).
Inaczej:
Amplituda składowej przemiennej mocy chwilowej jest
wartością bezwzględną mocy biernej.
1Q  1Var
OE2 2016
66
Moc chwilowa (zależności pomocnicze)
u (t )  U m sin(t   u )
i (t )  I m sin(t   i )
  u  i
Wzory pomocnicze:
1
sin  sin   cos      cos    
2
(*)
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
(**)
OE2 2016
67
Moc chwilowa:
Zgodnie z definicją
p  u (t )i (t ) 
 U m sin(t   u ) I m sin(t   i ) 
 U m I m sin(t   i ) sin(t   i   ) 

u
OE2 2016
68
Moc chwilowa (cd)…
1
 U m I m  cos   cos  2 t  2i     
2
 U I cos   U I cos  2 t  2i    
(**)
  2 t  2i   
OE2 2016
69
Moc chwilowa cd..
(**)
  2 t  2i   
 U I cos  1  cos  2 t  2i   
p1
 U I sin  sin  2 t  2i 
p2
p1
p2
- składowa tętniąca mocy chwilowej
- składowa przemienna mocy chwilowej
OE2 2016
70
p
p,p1,p2
p1
p2
0

2

t
Rozkład mocy chwilowej na moc tętniącą p1 i moc przemienną p2
OE2 2016
71
Opornik R
p  p1  p 2  U I cos 1  cos2t  2i  

 U I sin

sin

2

t

2


p

i
1

0
 U I cos 1  cos2t  2i 
p  0
t
Wniosek: moc chwilowa opornika ma charakter tętniący i jest
funkcją cosinusoidalną o podwojonej pulsacji prszesuniętą
o wartość: U I
OE2 2016
72
OPORNIK
u,i,p
5
p(t)
4
3
i(t)
2
U I cos 
u(t)
1

0
t
-1
-2
-3
0,00
6,28
T
1
2
2
P   p( t )dt  U I  R I  G U
OE2 2016
T0
73
Cewka L
  90 , zał. i  0
o
o
P0
p1  U I cos 1  cos2t  2i   0
p 2  U I sin  sin 2t  2i  
 U I sin t  p
2
U
Q  U I  L I 
L
2
2
PONIEWAŻ
di 1 d(i )
p  ui  L i  L
dt
2 dt
OE2 2016
74
1 d i 2 ( t )  1 2
w  L
 Li ( t 2 )  i 2 ( t1 ) 
2 t1 dt
2
t2
1 2
w L  Li ( t )
2
Przyjmując:
i(t )  I m sin t
1 2
1 2
w L  Li ( t )   LI m sin 2 t 
2
2
1 2
 I 1  cos 2t 
2
OE2 2016
i, u, p, w L
75
u
,
i
,
CEWKA IDEALNA
p
6
w(t)
4
2
p(t)
i(t)
u(t)

0
t
-2
-4
0,00
6,28
OE2 2016
76
Kondensator C
  90 , zał. i  0
o
o
P0
p1  U I cos 1  cos2t  2i   0
p 2  U I sin  sin 2t  2i  
  U I sin t  p
2
I
Q   U I   C U  
C
2
2
PONIEWAŻ
du
1 d(u )
p  ui  C u  C
dt
2
dt
OE2 2016
77
1 d u 2 ( t )  1
w  C
 Cu 2 ( t 2 )  u 2 ( t1 ) 
2 t1 dt
2
t2
1
wC  C  u 2 (t ) 
2
Przyjmując:
i( t )  I m sin t, u( t )  U m sin t  90
1
1
2
w C  Cu ( t )   CU 2m sin 2 (t  90o ) 
2
2
1
1
2
2
2
 C U cos t   C U 1  cos 2t 
2
2
OE2 2016
0

i, u, p, w L
78
kondensator idealny
u,i,p
6
w(t)
4
2
p(t)
i(t)

0
t
-2
u(t)
-4
0,00
6,28
OE2 2016
79
Trójkąt mocy
2
S  P Q
2
Q>0

P
Q<0
OE2 2016
80
MOC SYMBOLICZNA
Moc symboliczna (zespolona) dwójnika jest
liczbą zespoloną o części rzeczywistej równej
mocy czynnej a części urojonej równej mocy
biernej tego dwójnika.
S  P  jQ
OE2 2016
81
Moc symboliczna cd
S  P  jQ  U
I cos   j sin    U
  u  i
• Uwzględniając, że
SUe
ju
Ie
j
Ie
 ji
 UI

Wartość zespolona sprzężona
OE2 2016
82
Moc pozorna
S U I
• Moc pozorna
– Moduł mocy symbolicnej
– amplituda mocy chwilowej
– inżynierska miara „rozmiaru energetycznego
urządzenia”
– 1[|S|]=1VA
OE2 2016
83
• Można wykazać (slajd 60), że:
pmax = P+|S|
pmin = P-|S|
• Od mocy pozornej zależy wartość maksymalnej
mocy chwilowej pobieranej przez układ
Wniosek: o warunkach pracy układu (urządzenia)
decyduje nie tylko pobierana moc czynna, ale i
moc pozorna |S|.
Moc czynna
P  U I cos   Re S   Re UI
1 P  1W
*

DEFINICJA
Mocą czynną P dwójnika (u,i są wielkościami okresowymi)
nazywamy wartość średnią za okres mocy chwilowej:
1T
P  p   pdt
T0
OE2 2016
85
Moc bierna
Q  U I sin   Im S   Im UI
*

1Q  1VAR
• Część urojona mocy symbolicznej
• Amplituda składowej przemiennej
(tętniącej) mocy chwilowej
• Miara energii wymienianej między
źródłami AC a odbiornkami.
OE2 2016
86
Interpretacja na płaszczyźnie zmiennej
zespolonej (trójkąt mocy)
Im(S)
S  P  jQ
Q

Re(S)
P
OE2 2016
87
Pomiar mocy
*
i(t)
*
u(t)
Obciążenie
• Cewka prądowa jest połączona szeregowo z
obciążeniem, napięciowa równolegle.
• Początki uzwojeń oznaczane są zazwyczaj
gwiazdkami.
• Wskazanie watomierza jest wówczas
postaci:
Pw =Re UI
gdzie kąt:

 U
I cos U , I 
 U , I   
jest kątem przesunięcia fazowego między
napięciem cewki napięciowej a prądem
cewki prądowej
Watomierz
Uw
Iw
W
Watomierz (cd)
Uw
Iw
Cewka
prądowa
Cewka
napięciowa
C0 wskazuje watomierz?
Pw  U w I w cos   Re U I
*
w w

Twierdzenie o dopasowaniu
odbiornika do źródła AC
Twierdzenie o maksymalnym
poborze mocy czynnej
I
UZ
ZL
Zz
Dane są impedancje źródła i odbiornika
Z Z  RZ  jX Z
ZO  RO  jX O
,
Moc czynna obciążenia:
P  I RO
2
gdzie
I
UZ
Z Z  ZO
.
.
Podstawiając I do wzoru na P:
2
2
UZ
UZ
RO 
RO 
P 
2
Z Z  ZO
Z Z  ZO
 UZ
RO
2
RZ  jX Z  RO  jX O
 UZ
2

RO
2
 RZ  RO    X Z  X O 
2
2
.
• Potrzebujemy dobrać RO i XO tak aby
zmaksymalizować moc czynną P.
• Ponieważ XO może być dodatnie lub
ujemne wybieramy:
XO  X S
P  UZ
2
RO
 RO  RZ 
2
W celu wyznaczenia RO zapewniającego optimum
mocy czynnej P obliczamy pochodną mocy czynnej
względem rezystancji obciążenia RO:
dP
 UZ
dRO
 RO  RZ   RO 2  RO  RZ 
4
 RO  RZ 
2
2
skąd po przyrównaniu do zera:
UZ
2
R  R  2 RZ RO  2 R  2 RZ RO
2
O
2
Z
 RO  RZ 
2
O
4
0
Rozwiązanie równania :
R  R  2 RZ RO  2 R  2 RZ RO  0
2
O
2
Z
2
O
czyli:
R R 0
2
Z
jest następujące:
2
O
RO  RZ
Można wykazać, że znalezione optimum to
maksimum funkcji P(RO)
Moc dwójnika o b gałęziach
i(t)
u (t)
• Można wykazać, że moc zespolona
dwójnika jest równa sumie mocy
zespolonych wszystkich jego b elementów:
b
S   Sk
k 1
S  P  jQ
• Ponieważ
Sk   P k  j  Q k , k  1,
b
P    P k
k 1
,b
b
Q    Q k
k 1
Wniosek: Moce czynne, bierne, i symboliczne są addytywne
Wniosek:
• Maksimum mocy układu jest osiągane
jeżeli:
ZO  RZ  jX Z  Z
• Moc maksymalna
PMAX  U Z
2
RZ
 2 RZ 
2

VZ
2
8RZ

O
OE2 2016
102
z1
z2
11  z111
21  z 2  21
 L1i1
 M 21i1
i1
i =0
2
Cewka 1
Cewka 2
d21
di1
u2 
 M 21
dt
dt
OE2 2016
103
22  z 2  22
12  z112
 L 2i 2
 M12i 2
i2
i 1= 0
z1 Cewka 1
d12
di 2
u1 
 M12
dt
dt
z 2 Cewka 2
OE2 2016
M12  M 21  M
104
11
21
1
2
12
22
i
i
1  L1i1  M12i 2
1
2
2  L2i 2  M 21i1
M>0
OE2 2016
105
11
21
1
2
12
22
i
i
1  L1i1  M12i 2
1
2
2  L2i 2  M 21i1
M<0
OE2 2016
106
sin
d1
di1
di 2
u1 
 L1
M
dt
dt
dt
sin
d2
di 2
di1
u2 
 L2
M
dt
dt
dt
OE2 2016
107
zespolone
U1  jL1I1  jMI2
zespolone
U2  jL2 I 2  jMI1
OE2 2016
108
1
2
i1
i2
G
+ -
OE2 2016
109
M
R1
L1
I
R2
U1
L2
U2
U
U  I R1  R2  jL1  L2  2M 
U
Z   R1  R2  j L1  L2  2M 
I
OE2 2016
110
U
Z   R1  R2  j L1  L2  2M 
I
Z  R  j L
k
M
L1L2
0  k 1
M
L1L2
 1   L1L2  M  L1L2
L  L1  L2  2M  L1  L2  2 L1L2 
OE2 2016

L1  L2
 0
2
111
M
R1
L1
I
R2
U1
L2
U
U2
jMI
U
U2
U1
jL2 I
R 2I
jMI
M 0
jL1I
I
OE2 2016
R1I
112
M
R1
L1
I
R2
U1
L2
jL2 I
U2
jL1I
U
jMI
M 0
U1
U
jMI
U2
R 2I
I
R1I
OE2 2016
113
I
I1
U
M
L1
I2
U  jL1I1  jMI 2
L2
U  jL2 I 2  jMI1
U
L1
I2 

I1
jM M
U
L1
U  jL2
 jL2
I1  jMI1
jM
M
OE2 2016
114
I
I1
U
M
L1
Analogicznie:
I2
L2
L2
1
M  L2
M
I1  U
U
L1L2 

j M 2  L1L2
j  M 

M 


M  L1
I2  U
2
j M  L1L2

2M  L1  L2
I1  I 2  U
2
j M  L1L2

OE2 2016


115

U  jLZ I
M  L1L2
L1L2  M
LZ 

2M  L1  L2 L1  L2  2M
2
2
I
I1
U
M
L1
I2
L2
OE2 2016
116
U1  jL1I1  jMI2 U2  jL2 I 2  jMI1
R1
I1
M
U1
U
Z
L
1
L2
I2
RO
U2
RO  jL2 I2  jMI1117 0
U Z  R1  jL1 I1  jMI2OE2 2016
jM
I2  
I1
RO  jL2 
U Z  R1  jL1 I1  jMI2
2
2



M
 I1
U Z   R1  jL1 

R

j

L
O
2 

Z
OE2 2016
118
Transformator idealny
i2
i1
u1
N1
N2
• Dwie cewki nawinięte na rdzeń
ferromagnetyczny
• Sprzężone (połączone) dokładnie tym samym
strumieniem magnetycznym
• Zmienny w czasie strumień indukuje w
cewkach napięcia proporcjonalne do liczby
zwojów
• Symbol transformatora idealnego
u2
• Dla IDEALNEGO TRANSFORMATORA
prawdziwe są relacje:
u2 N 2

u1 N1
i2
N1

i1
N2
Liczby
zwojów
cewek
Idealny transformator cd.
• Równanie
u2 N 2

u1 N1
• oznacza, że w zależności od współczynnika N2 /N1
(przekładni napięciowej) idealnego transformatora
napięcie wyjściowe jest redukowane lub zwiększane.
• Z równań
u2 N 2

u1 N1
i2
N1

i1
N2
• wynika, że redukcji napięcia wyjściowego
towarzyszy adekwatny wzrost wartości prądu
wyjściowego (i odwrotnie).
• WNIOSEK: Moce chwilowe (wejściowa i
wyjściowa) pozostają bez zmian. W transformatorze
idealnym nie ma strat mocy.
Przykład idealnego transformatora obciążonego impedancyjnie, w stanie
ustalonym przy zasilaniu sinusoidalnie zmiennym
I1
U1
• Przekładnie
transformatora:
I2
N1
N2
U2
U 2 N2

,
U1 N1
Z0
I2
N1

I1
N2
U 2 N2

,
U1 N1
I2
N1

I1
N2
Definiując:
U2
Z0 
 I2 
2
 N1  U 2
U1
 

I1
N
 2  I2
2
V1  N1 
 Z 0
Z1 
 
I1  N 2 
Zależność ta wyraża impedancję
wejściową transformatora
w funkcji impedancji obciążenia.
Rezonans szeregowy
L
C
uL(t)
uC(t)
i(t)
u(t)
R
uR(t)
.
u  t   U m sin  t  

Wskaz (fazor) skojarzony z tym napięciem:
UU e
j

Um
2
e
j
Rezonans szeregowy cd
R
L
C
I
U
UR
UL
UC
Impedancja obwodu wynosi:
1
Z  R  jL - j
 R
C
1 

j  L 
 R jX
C 

1
I
C
U R  RI
U L  jLI
UC   j
UR  R I
U L  L I
1
UC 
I
C
X0
U L  UC
1
L 
0
C
1
L 
C
jLI
1
j
I
ωC
U
0

RI
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
I
X0
U L  UC
1
L 
0
C
1
L 
C
jLI
RI
0

U
1
j
I
ωC
I
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
1
1

L


L


0
X0
C
C
U L  UC
jLI
1
j
I
ωC
ZR
0
RI  U
1
r 
LC
X(r )  0
I
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Rezonans szeregowy – równoważne definicje
• Warunki rezonansu w szeregowym
połączeniu RLC
– Część urojona impedancji Z jest równa zeru.
– Reaktancja połączenia X=ωL-1/ ωC jest równa
zeru
– Napięcie na połączeniu szeregowym L-C
(UL+UC) jest równe zeru
Cechą charakterystyczna rezonansu fizycznego
jest istnienie dużych odpowiedzi przy małym
pobudzeniu o ściśle określonej częstotliwości.
Opór charakterystyczny obwodu rezonansowego:
1
L
  r L 

r C
C
Pulsacja rezonansowa:
Częstotliwość rezonansowa:
Inne oznaczenie:
1
r 
LC
r
1
fr 

2 2 LC
1
fo 
2 LC
Zastosowania
• W telekomunikacji (obwód wejściowy,
antenowy, dostrajanie )
• Filtry analogowe
• Układy oscylatorów
• Wzmacniacze napięciowe
• Generatory impulsowe………
Przykład 1: schemat anteny w odbiorniku
marki Pionier (superheterodynowym)
Przykład 2: generatora Hartleya w
konfiguracji WE (wspólnego emitera)
Z  R  jX()
X()  L 
Z  R  jX(r )  R
1
C
r

Z  R  jX()
Im( Z)
X()
Z
R
Re( Z)
Zjawiska energetyczne obwodu
RLC w stanie rezonansu
niech
i(t )  I m sin r t  i   I m sin r t
wówczas energia cewki
0
1 2
1
2
2
w L  Li ( t )  LI m sin r t 
2
2
a energia kondensatora
1
 LC
r
1 2
1
2
w C  Cu ( t )  CU m sin 2 r t  900  
2
2
2
1
1  Im 
2
2
2
 C
 cos r t   LI m cos r t 
2
2  r C 
1 2
1
2
2
w L  Li ( t )  LI m sin r t 
2
2
1 2
1
2
2
w C  Cu ( t )  LI m cos r t 
2
2
1
1
2
2
2
2
w L  w C 2 LI m [cos r t   sin r t ]  2 LI m
dw
0
Q  U I sin   0
Stąd wynika, że: p 
dt
Q L  0, QC  0
Uniwersalna krzywa rezonansowa
R
L
C
uL(t)
u C(t)
L
C
i (t)
u R(t)
u (t)
R
I
U
UR
UL
UC
Niech
u ( t )  U m sin( t  u )
U  U e j u  U
0
i(t )  I m sin( t  i )
DLA
  r
I  Ie
ji
1 Um
YU 
R  jX 2
1
1
Yr  Yr  

R  jX R
1
1 Um
I r  Yr U  U 
R
R 2
Tworzymy iloraz:
UY Y
I

 
I r U Yr Yr
R
1 

R  j L 

C 


1
1  x2
e jar ctg x
gdzie
1
L 
X r L   r 

C
x
 
  
R
R
R  r  
nosi nazwę rozstrojenia bezwzględnego
Uwaga:
Analogiczną zależność można otrzymać
ze wzoru:
UR 
U
1 

R  j  L 
C 

R
Wniosek:
• Rozstrojenie
bezwzględne
1
L 
X r L   r 

C
x
 
  
R
R
R  r  
• jest wskaźnikiem
odstępstwa obwodu
dla danej pulsacji od
rezonansu.
UR

U
R
1 

R  j  L 

C 

1
 j arc tg x

e
2
1 x
Wykresy funkcji:
UR
1

2
U
1 x
 UR 
arg 
  arc tg x
 U 
Noszą nazwę uniwersalnych krzywych rezonansowych
i odnoszą się do każdego szeregowego obwodu
rezonansowego
I
Y
1


I r Yr
1 x2
UR
U
1
0,5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
 UR 
arg 
  arc tg x
 U 

2

4
1


4


2
-1
x
Dobroć obwodu w stanie rezonansu:
( w L  w C ) max
Q  2
w R (T )
ponieważ
( w L ) max  ( w C ) max  ( w L  w C ) max
1 2
 L Im
2
1
2
LI m
r L
1

2
Q  2


1
2
R

CR
R
r
RI m T
2
Ponieważ w warunkach rezonansu
U R I
UL
1
 r L I U C   C I
r
Stwierdzamy, że napięcia
UL
i
są Q raza większe od napięcia
U
r L r L I U L
Q


R
RI
U
UC
1
I
UC
1
r C
Q


r CR
RI
U
ROZSTROJENIE WZGLĘDNE
 r
 
r 

x  Q 
R
Wniosek:
Przy tym samym rozstrojeniu bezwzględnym x
w obwodzie o większej dobroci występuje mniejsze
rozstrojenie względne
wykres
UR
U
w funkcji

.
r
I
UR

U
Ir
1
Q=5
Q=20
0
1

r
Wykres
UR I

U
Ir
UR U
1
Q=5
Q=20
0
• Dla pulsacji rezonansowej wartość ilorazu
jest równa 1,
• dla:
0
 
iloraz jest równy zeru.
1

r
UR I

U
Ir
1
Q=5
Q=20
0
1

r
• Napięcie na rezystorze jest równe napięciu
zasilającemu dla pulsacji rezonansowej.
• W pobliżu pulsacji rezonansowej jest ono
zredukowane nieznacznie a dla bardzo niskich i
wysokich częstotliwości kołowych (pulsacji) –
znacznie.
• Wniosek: Tego typu obwód jest zwany filtrem
pasmowym
W bliskim otoczeniu pulsacji rezonansowej
prawdziwe jest:
 r   r
  

r 
r 
2
2
(  r )(  r ) 2r   r 
  r


2
2
 r
r
r
  r
x  Q  2Q
r
Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego
jest to przedział pulsacji
1 ,2 
w otoczeniu pulsacji rezonansowej
r
, na krańcach
którego wartość skuteczna prądu I jest równa:
Ir
2
czyli
lub
UR
I
Y
1


I r Yr
2
1

U
2
W PAŚMIE PRZEPUSZCZANIA
MOC CZYNNA NA KRAŃCACH PASMA
JEST DWUKROTNIE MNIEJSZA OD MOCY
CZYNNEJ W STANIE REZONANSU:
1U
P
2 R
2
więc dla krańcowych pulsacji 1 i 2 obowiązuje równość:
R
1

2
2
2
R X
WYNIKA TO Z RELACJI:
Y
R
1


2
2
Yr
2
R X
lub
UR  R
U
R 2  X2
Z rozwiązania równania
R 2  R X
2
wynikają zależności
X (1 )  R
X (2 )  R
Skąd mamy
X(1 )
tg 1 
 1
R

1  
4
X ( 2 )
tg 2 
1
R

2 
4
2
WYPROWADZENIE WZORU NA SZEROKOŚĆ
PASMA PRZEPUSZCZANIA: (3dB)
Y
1

Yr
1 x2
Y
1

Yr
2
1
1

2
2
1 x
x  1
x  Q   1
Dobroć w stanie rezonansu
Rozstrojenie
względne
Stąd wynikają wzory
1 r
1
 
r 1
Q
1  r
1

r 1
Q
2
2 r 1


r 2 Q
r 1
1  r  
Q
r  2
2
2
2  r 
Q
2
2
2  r
1

r 2
Q
2
2
2
1
    r (2  1 ),
Q
2
2
2
1
r
2  1 
Q
U Rm
UR

U
Um
1
1
2
ω2
ω1
0
ω
ω0
Pasmo
przepuszczania
• Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego
U
I
Z
Przebiegi napięć U R , U L , U C w funkcji 
U
UR  R
R
Z
U
1 

R   L 

C 

U
U L  L  L
Z
1 U
1
UC 

C Z C
2
2
U
1 

R   L 

C 

2
2
U
1 

R   L 

C 

2
2
UR , UL , UC
UC
max
 UL
max
UCr  ULr
UC
UC
UL
U
’’
r
’
UR
UR

Z przyrównania
r
 
d UL
0
d
d UC
0
d
1
1
2
2Q
1
  r 1
2
2Q
Co dla dostatecznie dużej dobroci obwodu prowadzi
do zależności
  
2
r
Rezonans równoległy (prądów)
1 

Y  G  j  C 
  G  jB
L 

I
U
G
IR
IG  GU
j
U
IL 
U
L
jL
IG  G U
IL 
1
U
L
L
IL
C
IC
IC  jCU
I C  C U
B0
1
1
C 
 0 C 
L
L
IC  I L
IC  jCU
1
IL   j
U
L
I
 0

I R  GU
U
OBWÓD O CHARAKTERZE POJEMNOŚCIOWYM
B0
1
C 
0
L
1
C 
L
IC  I L
I c  jUI
I R  GU
U

 0
I
j
IL 
U
L
OBWÓD O CHARAKTERZE INDUKCYJNYM
B0
1
C 
0
L
I L  IC
1
C 
L
1
r 
LC
jCU  IC
1
j
U  IL
L
Y  G B( r )  0
0
GU  I  I R
U
OBWÓD O CHARAKTERZE REZYSTANCYJNYM
Rezonans równoległy – równoważne definicje
• Warunki rezonansu w równoległym połączeniu
RLC (GLC)
– Część urojona admitancji Y jest równa zeru.
– Susceptancja połączenia B=ωC-1/ ωL jest równa zeru
– Pulsacja w układzie wynosi:   1
r
LC
– Wypadkowy prąd połączenia równoległego L-C jest
równy zeru (IL+IC=0)
– Prąd wypadkowy całego połączenia GLC jest równy
prądowi opornika
• I=IR
Zjawiska energetyczne obwodu
RLC w stanie rezonansu
niech u( t )  U sin t     U sin t
m
r
u
m
r
wówczas energia kondensatora
0
1 2
1
2
2
wC  Cu ( t )  CU m sin r t 
2
2
a energia cewki


1 2
1
2
2
0
wL  Li ( t )  LI m sin r t  90 
2
2
2
1
 LC
r
1
1  Um 
2
2
2
 cos r t  
CU m cos r t 
 L
2  r L 
2
1 2
1
2
2
wL  Li ( t )  CU m cos r t 
2
2
1 2
1
2
2
r t 
CU
sin
wC  Cu ( t ) 
m
2
2
wL  wC 
1
1
2
2
2
2
CU m [cos r t   sin r t ]  CU m
2
2
dw
0
Stąd wynika, że: p 
dt
Q  U I sin   0
Q L  0, QC  0
Uniwersalna krzywa rezonansowa
I
U
G
IR
L
IL
C
IC
i(t)
u(t)
G
L
i R(t)
i L(t)
C
i C (t)
Niech
I  Ie
i( t )  I m sin( t  i )
ji
I
0
u( t )  Um sin( t  u )
DLA
  r
U Ue
ju
1
Im
ZI 
G  jB 2
1
1
Z r  Z r  

G  jB G
1
1 Im
U r  Zr I  I 
G
G 2
Tworzymy iloraz:
IZ
U
Z



Ur
I Zr Zr
G
1 

G  j C 

L 


1
1  x2
e jarctgx
gdzie
1
C 
B r C   r 

L

  Q
x
 

R
G
G  r  
nosi nazwę rozstrojenia bezwzględnego
Uwaga:
Analogiczną zależność można otrzymać
ze wzoru:
IR 
I
1 

G  j  C 
L 

G
IR

I
G
1
 j arc tg x

e
2

1 x

1

G  j  C 
L 

Wykresy funkcji:
IR
I

1
1 x
2
 IR 
arg    arc tgx
 I 
Noszą nazwę uniwersalnych krzywych rezonansowych
i odnoszą się do każdego szeregowego obwodu
rezonansowego
U
Ur
IR

I
1
0,5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
Z
Zr

1
1  x2
 IR
arg 
 I

2

  arc tgx


4
1


4


2
-1
x
Dobroć obwodu w stanie rezonansu:
ponieważ
( wL  wC )max
Q  2
wG ( T )
( wL )max  ( wC )max  ( wL  wC )max
1
 CU m2
2
1
2
CU m
r C
1
R
2
Q  2


1
2
r LG 
GU m T G
2
Ponieważ w warunkach rezonansu
I GU
I C  r C U
Stwierdzamy, że prądy
IL
są Q raza większe od prądu
Q
r C
G

r L U
GU

UC
U
1
IL 
U
r L
i
IC
I
1
U
IC
1
r L
Q


r LG
GU
I
Pasmo przepuszczania obwodu rezonansowego
jest to przedział pulsacji
1 ,2 
w otoczeniu pulsacji rezonansowej
r
, na krańcach
którego wartość skuteczna napięcia U jest równa:
Ur
2
czyli
lub
U
IR
Z
1

I
2
1


Ur
Zr
2
W PAŚMIE PRZEPUSZCZANIA
MOC CZYNNA NA KRAŃCACH PASMA
JEST DWUKROTNIE MNIEJSZA OD MOCY
CZYNNEJ W STANIE REZONANSU:
2
1U
1
P 
 Pr
2 R
2
więc dla krańcowych pulsacji 1 i 2 obowiązuje równość:
G
1

2
2
2
G B
WYNIKA TO Z RELACJI:
Z
G
1


2
2
Zr
2
G B
lub
IR  G
I
G2  B2
Z rozwiązania równania
G 2  G B
2
wynikają zależności
B ( 1 )  G
B ( 2 )  G
Skąd mamy
B( 1 )
tg 1  
1
G
B( 2 )
tg2  
 1
G
1 

4
2  

4
2
WZÓR NA SZEROKOŚĆ
PASMA PRZEPUSZCZANIA: (3dB)
r
2  1 
Q
I
IR  G
G
Y
I
1 

G   C 

L 

2
I
I C  C
 C
Y
I
1 

G   C 

L 

2
1 I
1
IL 

L Y L
I
1 

2
G   C 

L 

2
2
2
I L max  IC max
I Lr  I C r
IL
IC
IR
I
’’
r
’

Z przyrównania
r
 
d UL
0
d
d UC
0
d
1
1
2
2Q
1
  r 1
2
2Q
Co dla dostatecznie dużej dobroci obwodu prowadzi
do zależności
  
2
r