Przykłady funkcji

Wykład 2
Pojęcie funkcji, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone,
funkcje odwrotne.
Definicja 2.1.
Mówimy, że w zbiorze liczb X jest określona pewna funkcja f, (funkcja jednej zmiennej),
jeżeli każdej liczbie x ze zbioru X jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba y pewnego
zbioru liczb Y. (rys. 2.1)
Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci:
(l)
y= f (x).
 Zmienną x we wzorze (l) nazywamy
argumentem funkcji lub zmienną niezależną,
zmienną y - zmienną zależną.
 Określoną liczbę X0 ze zbioru X nazywamy
wartością argumentu funkcji f albo wartością
zmiennej niezależnej x a przyporządkowaną jej
liczbę y0 ze zbioru Y nazywamy wartością
funkcji f w punkcie X0.
 Zbiór X wartości argumentów funkcji f
nazywamy dziedziną funkcji f.
Rys. 2.1
Funkcja.
 Zbiór Y wartości funkcji f nazywamy zbiorem wartości funkcji f, lub
przeciwdziedziną tej funkcji.
Niekiedy, dla zaznaczenia, że funkcja f przekształca elementy zbioru X na elementy zbioru Y
używa się notacji:
f: X  Y
Każda funkcja jest przyporządkowaniem jednoznacznym, tzn. jednemu argumentowi funkcji
odpowiada jedna wartość. Jeśli ponadto każdej wartości odpowiada jeden argument, to taką
funkcję nazywamy wzajemnie jednoznaczną.
Definicja 2.2
Dziedziną funkcji y = f(x) jest zbiór X  R, taki, że dla każdej liczby x  X wyrażenie
y = f(x) ma sens.
Przykłady funkcji:
f(x)=x2, f(x)= (x+1)/(x-2), f(x)=sin x. Określić ich dziedzinę i przeciwdziedzinę.
Przykłady przyporządkowań, które nie są funkcjami:
y2=x, y2+x2=25.
Wykresem funkcji y = f(x)
nazywamy umieszczony w
układzie współrzędnych
kartezjańskich zbiór punktów o
współrzędnych (x, f(x)).
Rysunek obok przedstawia
wykres funkcji f ( x)  x  1 .
D = 1, ∞).
Funkcje elementarne.
1. Funkcja wielomianowa.
y = anxn + an-1xn-1 + … + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
D=R
Zbiór wartości Y zależy od stopnia wielomianu.
Przykłady:
y=a
funkcja stała
Y = {a}
y = a1x +a0
funkcja liniowa
Y=R
y = a2x2 + a1x + a0
Funkcja kwadratowa
D=R
  yw , ), a2  0
Y 
(, yw , a2  0
2. Funkcja wymierna
y
an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0
bm x m  bm1 x m1  ...  b2 x 2  b1 x  b0
D – wszystkie liczby rzeczywiste,
które nie są pierwiastkami
mianownika.
Y zależy od postaci funkcji
wymiernej.
3. Funkcja wykładnicza
y = ax a>0 a ≠ 1
Y = (0, ∞)
Jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca,
Jeśli a < 1, to funkcja jest malejąca.
D = R,
Y = (0, ∞)
4. Funkcja logarytmiczna
y = loga x
Jeśli a > 1, to funkcja jest rosnąca,
Jeśli a < 1, to funkcja jest malejąca.
D = (0, ∞), Y = R
a  (0, 1) (1, )
5. Funkcje trygonometryczne.
y = sin x D = R, Y = -1, 1
y = cos x D = R, Y = -1, 1
y = tg x D = {x: x  R i x ≠ k /2, k = ±1, ±2, …} , Y = R
y = ctg x D = {x: x  R i x ≠ k , k = ±1, ±2, …} , Y = R
Funkcja złożona
Niech dane będą dwie funkcje: g: A → B i f: B → C
Funkcję h określoną wzorem
h(x)= f(g(x)) nazywamy funkcja złożoną. Jej dziedziną jest dziedzina funkcji g,
natomiast zbiorem wartości jest zbiór wartości funkcji f.
Możemy zatem napisać h: A → C.
Funkcję g(x) nazywamy funkcją wewnętrzną a f(x) funkcją zewnętrzną.
Przykłady funkcji złożonych:


y  x  3 , y  sin x 2  5 , y  sin x 2 , y  sin 2 x , y 


3
1
, y  x2  5
3x  2
Funkcja odwrotna
Jeżeli funkcja f: X → Y jest wzajemnie jednoznaczna, tzn. każdej wartości odpowiada
dokładnie jeden argument, to istnieje wzajemnie jednoznaczna funkcja g odwrotna do
f, tzn. taka, że:
g: Y → X
oraz dla każdej pary liczb aX i bY jeżeli b = f(a), to a = g(b).
Funkcję odwrotną do y = f(x) oznaczamy symbolem y = f -1(x).
Jeśli dany jest wzór funkcji f, to aby otrzymać wzór funkcji f -1 wystarczy wyliczyć x
w zależności od y i zamienić nazwy zmiennych.
Przykłady:
Znaleźć funkcje odwrotne do:
1. y = x2 dla x ≥ 0
2.
y = 3x +5
Rozwiązanie
1. y  x 2  x 
y
Zamieniamy nazwy zmiennych i otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej w
postaci y  x .
2. y  3x  5  y  5  3x  x 
y 5
3
Zamieniamy nazwy zmiennych i otrzymujemy wzór funkcji odwrotnej w
x5
postaci y 
.
3
Wykres funkcji odwrotnej otrzymujemy z
wykresu funkcji danej przez symetrię
względem prostej y = x.
Przykłady cd.
Funkcją odwrotną do y = ex , D = R, Y = (0, ∞), y = lnx, D = (0, ∞), Y = R.
Funkcje cyklometryczne
2.00
y=arcsinx
Funkcją odwrotną do y = sin x, w
przedziale -/2, /2 jest
1.00
y=sinx
y = arcsin x,
0.00
D = -1, 1, Y = -/2, /2
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
-1.00
-2.00
Funkcją odwrotną do y = cos x, w przedziale 0, 
jest
4.00
y = arccos x,
3.00
y=arccos x
D = -1, 1, Y = 0, 
2.00
1.00
0.00
-1.00
10.00
y=tg x
0.00
1.00
2.00
3.00
-1.00
Funkcją odwrotną do y = tg x, w przedziale
(-/2, /2) jest y = arctg x,
5.00
y=arctg x
D = (-∞, ∞), Y = (-/2, /2)
0.00
-10.00
-5.00
0.00
-5.00
5.00
10.00
Funkcją odwrotną do y = ctg x, w przedziale (0, )
jest y = arcctg x,
D = (-∞, ∞), Y = (0, )
-10.00
4.00
y=cos x