FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ.
PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE
FUNKCJE ELEMENTARNE
R - zbiór liczb rzeczywistych, D ⊂ R, P ⊂ R
Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest
przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru
P, to mówimy, że na zbiorze D jest określona (zadana)
funkcja f : D 7→ P. Funkcję zapisujemy także jako
y = f (x), x ∈ D, y ∈ P.
Zbiór D nazywa się zbiorem argumentów lub dziedziną
funkcji, natomiast zbiór P nazywa się zbiorem wartości
lub przeciwdziedziną funkcji.
Przykłady. Dla funkcji y = x2+1 : D = R, P = [1, ∞).
Dla funkcji y = ln x : D = (0, ∞), P = R.
Sposoby zadania funkcji: graficzny, tabelaryczny,
analityczny.
Funkcja ograniczona. Funkcja f jest ograniczona z
dołu, jeśli istnieje taka liczba c ∈ R, że dla dowolnego
x ∈ D zachodzi f (x) > c.
Funkcja f jest ograniczona z góry, jeśli istnieje taka
liczba C ∈ R, że dla dowolnego x ∈ D zachodzi f (x) 6
C.
Funkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
1
dołu i z góry, czyli jeśli istnieją takie liczby c, C ∈ R,
że dla dowolnego x ∈ D zachodzi c 6 f (x) 6 C.
Przykłady. y = x2 + 1, y = ln x, y = 2x, y = sin x.
Funkcja różnowartościowa. Mówimy, że funkcja f
jest różnowartościowa, jeśli różnym wartościom x ∈
D odpowiadają różne wartości y ∈ P. W przeciwnym
przypadku, funkcja nie jest różnowartościowa.
Przykłady. y = x2 + 1, y = ln x, y = 2x, y = sin x,
y = 2x + 3, y = x3.
Funkcja parzysta (nieparzysta). Funkcja jest parzysta, jeśli f (x) = f (−x) dla każdego x ∈ D.
Funkcja jest nieparzysta, jeśli f (x) = −f (−x) dla każdego x ∈ D.
Funkcja, oczywiście, może nie być ani parzysta, ani
nieparzysta.
Przykłady. y = x2 + 1, y = ln x, y = 2x, y = sin x,
y = 2x + 3, y = x3.
Funkcja okresowa. Funkcja f nazywa się okresową
o okresie T > 0, jeśli dla każdego x ∈ D takiego, że
x + T ∈ D zachodzi f (x) = f (x + T ). Najmniejsza
z dodatnich liczb T, spełniających powyższy warunek,
nazywa się okresem podstawowym funkcji f.
Przykłady. y = x2 + 1, y = sin x.
2
Funkcja złożona. Funkcja f nazywa się złożoną, jeśli
istnieją takie funkcje g oraz h, że f (x) = g(h(x)) (mówimy, że funkcja f jest superpozycją funkcji g i h; g
jest funkcją zewnętrzną, a h jest funkcją wewnętrzną).
Przykłady. y = cos(x2 + 1), y = ln(2x + 3).
Funkcja odwrotna. Jeśli f jest funkcją różnowartościową, to dla niej istnieje funkcja odwrotna (ozn. f −1).
Jest to funkcja f −1 : P 7→ D (każdemu y ∈ P przyporządkowujemy x ∈ D). Jeśli y = f (x), to x = f −1(y).
Szukanie funkcji odwrotnej odbywa się poprzez rozwiązanie równania y = f (x) względem x.
Ponieważ w matematyce nie jest istotne, jak oznaczamy
argument i wartość funkcji, to ze względów tradycyjnych mówimy, że dla funkcji y = f (x) funkcją odwrotną jest y = f −1(x).
Przykłady. y = 2x + 3, y = 2x, y = ln x, y = x3.
Wykres funkcji odwrotnej jest symetryczny względem
dwusiecznej pierwszej i trzeciej ćwiartki układu współrzędnych.
3
Podstawowe funkcje elementarne.
1. Wielomiany: funkcje postaci y = anxn +an−1xn−1 +
· · · + a1x + a0 - wielomian stopnia n ∈ N; {ai} ⊂ R
Ważne szczególne przypadki:
– funkcja liniowa y = ax + b; współczynnik kierunkowy a - tangens kąta nachylenia linii prostej do osi
OX; współczynnik b - wartość funkcji przy x = 0;
– funkcja kwadratowa y = ax2 + bx + c; wykres - parabola; jeśli a > 0, to gałęzie paraboli w górę, jeśli
a < 0, to gałęzie paraboli w dół; wierzchołek paraboli
2
to punkt (− 2ab , − b −4ac
4a ).
2. Funkcje wymierne: iloraz dwóch wielomianów, czyli
anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0
y=
.
m
m−1
bmx + am−1x
+ · · · + b1x + b0
Ważny szczególny przypadek: y = x1n .
3. Funkcje potęgowe: funkcje postaci y = xa, gdzie
a ∈ R.
Funkcja jest określona dla każdego x, jeśli a > 0, oraz
dla wszystkich x ̸= 0, jeśli a 6 0.
4. Funkcje wykładnicze: funkcje postaci y = ax, gdzie
a > 0.
Dla a > 1 funkcja jest rosnąca, dla a < 1 malejąca,
dla a = 1 stała i równa 1.
4
5. Funkcje logarytmiczne: funkcje postaci y = loga x,
gdzie a > 0, a ̸= 1.
Funkcja jest odwrotna do wykładniczej.
Dla a > 1 funkcja jest rosnąca, dla a < 1 malejąca,
dla a = 1 stała i równa 0.
6. Funkcje trygonometryczne: funkcje y = sin(x), y =
cos(x), y =tg(x), y =ctg(x). Są to funkcje okresowe;
podstawowy okres dla pierwszych dwóch to T = 2π,
dla dwóch pozostałych T = π.
6. Funkcje odwrotne trygonometryczne: funkcje
y =arcsin(x), y =arccos(x), y =arctg(x), y =arcctg(x).
Są to funkcje wieloznaczne, dla tego rozważamy je z
pewnymi ograniczeniami.
5