Kiedy musimy zastosować bardziej ogólny warunek ciągłości strumienia ? W poniższym obwodzie nie możemy skorzystać z ciągłości prądu w indukcyjnościach L1 oraz L2. Dla t ≥ 0 obwód upraszczamy: L1 i E R1 t=0 L2 R2 E RZ=R1+R2 LZ=L1+L2 i Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony, otrzymamy dla t<0 : i L1 ( t 0) = E oraz i L 2 ( t 0) = 0 . R1 Dla t ≥ 0 czyli po rozwarciu łącznika mamy znany obwód ERL (L1 i L2 zastąpiliśmy wypadkową indukcyjnością sumaryczną LZ, zaś R1 i R2 wypadkową rezystancją sumaryczną RZ). Jaki jednak należy tu przyjąć warunek początkowy: i(t=0+)=? Ponieważ dla chwili t=0− mieliśmy różne wartości prądu w obydwu (jeszcze nie połączonych szeregowo) cewkach, zaś w chwili t=0+ jest to już jeden wspólny prąd i, więc warunek ciągłości prądu w indukcyjności nie może być tu spełniony. Korzystamy z ogólniejszego warunku ciągłości sumarycznego strumienia, skojarzonego z obydwoma cewkami, czyli: (0 − ) = (0 + ) L1 i L1 (0 − ) + L 2 i L2 (0 − ) = L Z i (0 + ) E L1 + L 2 0 = (L1 + L 2 ) i(0+ ) R1 L1 E i(0 + ) = L1 + L 2 R1 Przy rozwiązaniu możemy skorzystać z poprzednich ogólnych wyników: − i( t ) = i s + i w = A e t Lz Rz − + E = Ae Rz t L1 + L 2 R1 + R 2 + E R1 + R 2 Stałą całkowania A wyznaczamy z obliczonego warunku początkowego: L1 E E =A+ L1 + L 2 R 1 R1 + R 2 L1 1 1 A = E − L1 + L 2 R 1 R 1 + R 2 − Ostatecznie: L1 1 1 e i( t ) = E − L1 + L 2 R 1 R 1 + R 2 t L1 + L 2 R1 + R 2 + E R1 + R 2 Przebiegi dla: E=100V, R1=50W, L1=20mH, R2=10W, L2=60mH i L1 i iL2 t Przeanalizujmy przebieg procesu ładowania kondensatora w obwodzie ERC: (przy założeniu, że kondensator nie był uprzednio naładowany, czyli: u( t 0 ) = 0 ) E R t=0 C u Dla t ≥ 0 równanie napięciowe ma postać: u + Ri = E i ale: i = C du dt stąd: du RC + u = E dt Ponadto korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnościowym, stosując go tu dla chwili t=0: u(0− ) = u(0+ ) = 0 - napięcie nie występowało na kondensatorze przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla napięcia u(t). Należy rozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym. Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakterystycznego: RC r + 1 = 0 1 1 r=− =− RC T Składowa swobodna wynosi zatem: us = A e − t T = Ae − t RC gdzie T=RC jest stałą czasową obwodu, zaś A jest stałą całkowania (mając obie składowe rozwiązania wyznaczymy jej wartość korzystając z warunku początkowego). Pamiętając, że składowa wymuszona jest rozwiązaniem obwodu w stanie ustalonym, można łatwo stwierdzić, że napięcie na kondensatorze w stanie ustalonym musi być równe napięciu E źródła zasilającego. (Ponieważ w obwodzie prądu stałego w R stanie ustalonym kondensator stanowi E C uC przerwę, prąd nie płynie, więc spadek napięcia na rezystancji jest zerowy. Aby spełnione było II prawo Kirchhoffa napięcie u( t → ) = E u musi być równe E.) A zatem składowa wymuszona jest równa: u w = E Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych: u( t ) = us + u w = A e − t RC + E = Ae − t T +E Teraz wyznaczamy stałą całkowania początkowego u(t=0+)=0, więc: 0 = Ae − 0 T +E A, 0=A+E korzystając z warunku A = −E Rozwiązanie ma ostatecznie postać: u( t ) = − E e − t RC t t − − + E = E 1 − e RC = E 1 − e T Ponieważ stała czasowa: T = RC zależy od parametrów R, C obwodu (nie zależy np. od napięcia E), stąd tylko te wartości decydują o czasie trwania stanu przejściowego – im większa pojemność lub rezystancja, tym czas ten jest dłuższy (tzn. napięcie wzrasta wolniej). Napięcie najszybciej rośnie na początku stanu przejściowego tzn. dla t=0+, maksymalna stromość napięcia: t t t − − − du d E E T = E 1 − e T = e T = e T dt dt RC du E = dt max RC składowa wymuszona uw E składowa swobodna us E u E rozwiązanie pełne - suma t T Rozważmy obwód nieco bardziej złożony: t=0 E R1 i1 C R2 i2 i3 u R3 W obwodzie tym chcemy wyznaczyć przebieg napięcia u(t) na elemencie pojemnościowym. Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony, otrzymamy dla t<0 : 0 Korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnościowym, stosując go tu dla chwili t=0: u(0− ) = u(0+ ) = E ; otrzymaliśmy warunek początkowy dla napięcia u(t). R1 E i=0 C R2 u(t)=E 0 Sformułujmy równania opisujące obwód po zamknięciu łącznika, czyli dla t≥0: du Powstał układ 4 równań z 4-ma i2 = C u + R 2i 2 + R1i1 = E niewiadomymi, z którego chcemy dt wyeliminować prądy i uzyskać 1 u + R 2i 2 = R 3i 3 i1 = i 2 + i 3 równanie z niewiadomą u. i3 = u R2 u R 2 du + i2 = + C R3 R3 R 3 R 3 dt du R 2 du u R 2 + R 3 du u i1 = C + C + =C + dt R 3 dt R 3 R 3 dt R 3 Podstawiając to do równania napięciowego dla pierwszego oczka mamy: R 2 + R 3 du u du = E u + R 2C + R1 C + dt R 3 dt R 3 a po uporządkowaniu: R 2 + R 3 du R1 R 2 + R1 C + 1 + u = E R 3 dt R 3 lub: R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 du R1 + R 3 C + u=E R3 dt R3 Dzieląc obustronnie przez współczynnik stojący przy u otrzymamy: R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 du R3 C +u= E R1 + R 3 dt R1 + R 3 R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 Cr + 1 = 0 R1 + R 3 czyli : 1 1 r=− =− R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 T C R1 + R 3 Składowa swobodna wynosi: us = A e − t T − = Ae t R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 C R1 + R 3 gdzie T jest stałą czasową obwodu, zaś A jest stałą całkowania. Składowa wymuszona jest rozwiązaniem obwodu w stanie ustalonym: i1=E/(R1+R2) R1 E C R2 u=uR3 i2=0 0 i3=i1 R3 uR3=ER3/(R1+R2) R3 uw = E R1 + R 3 Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych: − u( t ) = u s + u w = A e t R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 C R1 + R 3 Teraz wyznaczamy stałą całkowania początkowego u(t=0+)=E, więc: E = A e − 0 T + E R3 R1 + R 3 Rozwiązanie ma postać: A, E = A + E R3 + E R1 + R 3 korzystając R3 R1 + R 3 z warunku A = E R1 R1 + R 3 t − R 1R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 C R3 R R1 + R 3 u( t ) = E 1 + 1 e R1 + R 3 R 3 Dla przykładowych danych: E=100V, R1=80W, R2=40W, R3=20W, C= 50mF mamy T=2.8ms, więc: ( ) u( t ) = 20 1 + 4 e − 357.14t V u t Zauważmy, że aby obliczyć napięcie dla czasów t>0 mogliśmy także sprowadzić obwód do postaci prostego obwodu ERC (dla którego rozwiązanie wyznaczyliśmy już poprzednio), korzystając z metody Thevenina. Wyłączając z obwodu kondensator, możemy obliczyć parametry ET i RT zastępczego źródła napięciowego: R1 R2 R1 R3 R1 R 3 RT = R2 + R1 + R 3 R3 E R3 ET = U R 3 = R1 + R 3 ET E R2 UR3 Zatem obwód sprowadziliśmy do takiej samej postaci jak poprzednio (tzn. ERC), tylko zamiast E mamy ET, zaś w miejscu R pojawiło się RT. Zatem rozwiązanie - w ogólnej postaci – wynosi: RT ET C uC u( t ) = u s + u w = A e przy czym: − t R TC + ET u (0− ) = u (0+ ) = E Wyznaczamy stałą A, korzystając z warunku początkowego u(t=0+)=E: E = Ae − 0 T + ET E = A + ET R1 A = E R1 + R 3 Po podstawieniu stałej A oraz obliczonych ET i RT do ogólnej postaci rozwiązania i po uporządkowaniu wyrazów otrzymamy następujący przebieg napięcia: t − R 1R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 C R3 R1 R1 + R 3 u( t ) = E 1+ e R1 + R 3 R 3 Kiedy musimy zastosować bardziej ogólny warunek ciągłości ładunku ? Rozważmy szczególny przypadek obwodu: W obwodzie tym chcemy wyznaczyć przebieg napięcia t=0 u(t) na kondensatorach po R zamknięciu łącznika. Konden0.3E sator C2 był przed komutacją u1 E C1 C2 naładowany wstępnie z innego źródła (wartość i polaryzację napięcia podano na rysunku). Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony, otrzymamy dla t<0 : u1 ( t 0 ) = E . Dla t ≥ 0 czyli po zamknięciu łącznika mamy obwód jak poniżej, który można uprościć do znanego już obwodu ERC (C1 i C2 zastąpiliśmy wypadkową pojemnością sumaryczną CZ). R E C1 u C2 R E CZ=C1+C2 Jaki jednak należy tu przyjąć warunek początkowy: u(t=0+)=? u Ponieważ dla chwili t=0- mieliśmy różne wartości napięcia na obydwu (jeszcze nie połączonych równolegle) kondensatorach: u1(0-)=E oraz u2(0-)= ̶ 0.3E , zaś w chwili t=0+ jest to już jedno wspólne napięcie u (II prawo Kirchhoffa !!!), więc warunek ciągłości napięcia na kondensatorach nie może być tu spełniony. Korzystamy z ogólniejszego warunku ciągłości sumarycznego ładunku zgromadzonego w obydwu kondensatorach, czyli: Q (0 − ) = Q (0 + ) C1 u1 (0 − ) + C2 u 2 (0 − ) = CZ u(0 + ) C1 E − C2 0.3E C1 + C2 Przy rozwiązaniu możemy skorzystać z poprzednich ogólnych wyników: C1 E − C2 0.3E = (C1 + C2 ) u(0 + ) u( t ) = us + u w = A e − t RC Z u(0 + ) = + E = Ae − t R (C1 + C2 ) +E Stałą całkowania A wyznaczamy z obliczonego warunku początkowego : C1 E − C2 0.3E C2 =A+E A = −1.3E C1 + C2 C1 + C2 Ostatecznie: t − C2 R (C1 + C 2 ) u( t ) = E 1 − 1.3 e C1 + C2 Stany przejściowe w obwodach (I rzędu) o wymuszeniu sinusoidalnym Dla t≥0 równanie napięciowe obwodu ma postać: e(t) R t=0 di L + Ri = Em sin(t + ) dt L i e( t ) = Em sin(t + ) Dzieląc obustronnie przez R otrzymamy: L di E + i = m sin(t + ) R dt R Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym, stosując go tu dla chwili t=0: i (0 − ) = i (0 + ) = 0 - prąd nie płynął przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Należy rozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym. r=− Pierwiastek równania charakterystycznego: 1 1 =− L T R swobodna rozwiązania ma postać: (A – stała całkowania) is = A e − t T − = A e t L R , stąd składowa Składową wymuszoną możemy wyznaczyć dwoma sposobami. Z teorii równań różniczkowych wiemy, że postać (tzn. typ funkcji) składowej wymuszonej jest zgodna z charakterem wymuszenia. Ponieważ wymuszenie jest sinusoidalną funkcją czasu: Em E E sin(t + ) = m cos sin t + m sin cos t R R R przewidujemy składową wymuszoną również jako sinusoidalną funkcję czasu: i w ( t ) = B sin t + D cos t Składowa wymuszona musi samodzielnie spełniać równanie, więc podstawiając jej ogólną postać do równania wyznaczamy stałe B i D: L E E (B cos t − D sin t ) + B sin t + D cos t = m cos sin t + m sin cos t R R R L L Em Em cos sin t + sin cos t − D + B sin t + B + D cos t = R R R R Stąd otrzymujemy układ równań: L Em − D + B = cos R R oraz L Em B + D = sin R R Po rozwiązaniu tego układ równań otrzymamy: E (L sin + R cos ) Em (R sin − L cos ) B= m D = 2 2 R 2 + (L) R 2 + (L) Przyjmując oznaczenia: L R 2 2 Z = R + (L) , sin = , cos = Z Z otrzymamy: E L R E E B= m sin + cos = m (sin sin + cos cos ) = m cos( − ) Z Z Z Z Z E R L E E D = m sin − cos = m (sin cos − cos sin ) = m sin( − ) Z Z Z Z Z zatem: Em Em sin t cos( − ) + cos t sin( − ) = sin(t + − ) iw (t) = Z Z Ten sam wynik dla składowej wymuszonej można uzyskać szybciej, obliczając obwód w stanie ustalonym metodą amplitud zespolonych: Em E m e j Em j( − ) Im = = = e 2 Z Z R 2 + (L ) e j L gdzie: = arc tg R co po przejściu do postaci czasowej daje identyczny wynik, jak uzyskany metodą przewidywania. Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i wymuszonej: − i (t ) = i s + i w = A e t L R Em + sin(t + − ) Z gdzie T=L/R jest stałą czasową obwodu. Dla wyznaczenia stałej całkowania A korzystamy z warunku początkowego i(t=0+)=0, więc: Em Em 0=A+ sin( − ) A=− sin( − ) Z Z Rozwiązanie ma ostatecznie postać: t − L E i( t ) = m − sin( − ) e R + sin(t + − ) Z Należy zwrócić uwagę, że wielkość składowej swobodnej zależy od relacji kątów oraz , tzn. od chwili załączenia łącznika. Przy odpowiednim dobraniu chwili załączenia łącznika, tak aby: =, stan przejściowy w obwodzie w ogóle nie wystąpi – składowa swobodna jest równa zero, a prąd osiąga natychmiast sinusoidalny przebieg ustalony. Z drugiej strony w przypadku, gdy stała czasowa T obwodu jest znacznie większa od okresu napięcia zasilania (tzn. składowa przejściowa maleje bardzo wolno w stosunku do okresu składowej wymuszonej), przy niekorzystnym doborze chwili załączenia obwodu wartość maksymalna prądu może osiągnąć prawie 2-krotną wartość amplitudy prądu ustalonego. Taki przypadek może wystąpić np. przy załączeniu transformatora na zwarcie, jeśli załączenie wystąpi przy przejściu napięcia przez zero (R→0, ≈90°, =0°). i Em Z t i Przebiegi dla: Em=100V, R=10W, L=200mH, =314s-1 → ≈81° =−p/2≈-9° =−p/4≈36° =≈81° t Dla t≥0 równanie napięciowe obwodu ma postać: e(t) R t=0 C i e( t ) = Em sin(t + ) u RC du + u = Em sin(t + ) dt Pierwiastek równania charakterystycznego: 1 1 r=− =− RC T Składowa swobodna rozwiązania ma postać: us = A e − t T = Ae − t RC (A – stała całkowania) Ponadto korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnościowym, stosując go tu dla chwili t=0: u(0− ) = u(0+ ) = 0 - zakładamy tu, że kondensator nie był wstępnie naładowany przed zamknięciem łącznika. Składową wymuszoną obliczamy, rozwiązując obwód w stanie ustalonym metodą amplitud zespolonych: E m e j Im = 1 R+ jC 1 E m e j Em e j( − ) Um = Im = = , = arc tg (RC) 2 jC 1 + jCR 1 + (RC) co po przejściu do postaci czasowej daje wynik: Em u w (t ) = sin(t + − ) 2 1 + (RC) Rozwiązanie jest sumą składowej swobodnej i wymuszonej: u(t ) = A e − t RC + Em 1 + (RC) 2 sin(t + − ) gdzie T=RC jest stałą czasową obwodu. Dla wyznaczenia stałej całkowania A korzystamy z warunku początkowego u(t=0+)=0, więc: Em Em 0=A+ sin( − ) A=− sin( − ) 2 2 1 + (RC) 1 + (RC) Rozwiązanie ma ostatecznie postać: t − Em u( t ) = − sin( − ) e RC + sin(t + − ) 2 1 + (RC) Przy odpowiednim dobraniu chwili załączenia łącznika, tak aby: =, stan przejściowy w obwodzie w ogóle nie wystąpi – brak składowej swobodnej. u Przebiegi dla: Em=100V, R=1kW, C=20mF, =314s-1 → ≈81° =−p/2≈-9° =−p/4≈36° =≈81° t Przykład: w obwodzie przedstawionym na rysunku obliczyć i(t) dla: e( t ) = Em sin t , Em=325V, R1=20W, R2=150W, R3=50W, L=80mH, =314s-1. R1 t=0 e(t) I= R3 R2 L i Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony, otrzymamy (licząc na wartościach skutecznych) dla t<0 : j0 230 e 50 = 50(150 + j25) 200 + j25 20 + 200 + j25 50W 11500 11500 e j0 = = = j 8 . 65 11500 + j1750 11632 e = 0.989 e − j8.65 A 150W 20W 230ej0º V 25W I co po przejściu do postaci czasowej daje: p i(t ) = 0.989 2 sin 314t − 8.65 A = 1.398 sin(314t − 0.151) A 180 a stąd: i (0 + ) = i (0 − ) = 1.398 sin( −8.65 ) = −0.21 A Dla t ≥ 0 równanie obwodu ma postać: R2 R1 Em sin t di L + (R1 + R 2 )i = Em sin t dt L lub: i Składowa swobodna rozwiązania t ma postać: − is = t − A e T = A e L R1 + R 2 L di Em +i= sin t R1 + R 2 dt R1 + R 2 (gdzie: A – stała całkowania) Składową wymuszoną znajdujemy jako rozwiązanie w stanie ustalonym: iw = Em (R1 + R 2 )2 + (L )2 − A zatem: i (t ) = A e sin (t − ) t L R1 + R 2 + L gdzie: = arc tg R1 + R 2 Em (R1 + R 2 ) + (L ) 2 2 sin (t − ) Po podstawieniu danych liczbowych: − i (t ) = A e t 0.08 170 + p sin 314t − 8.37 = 180 (170)2 + (25)2 325 = A e − 2125t + 1.891 sin (314t − 0.146) Z warunku początkowego i(t=0+)=−0.21A, więc: ( − 0.21 = A + 1.891 sin − 8.37 Ostatecznie: ) A = 0.065 i(t ) = 0.065 e −2125t + 1.891 sin(314t − 0.146) A i t Stany przejściowe w obwodach ze sprzężeniem indukcyjnym W obwodzie przedstawionym na rysunku obliczyć i1(t) dla: e( t ) = Em sin t , Em=325V, R1=20W, R2=15W, L1=0.1H, L2=0.18H, k=0.6, =314s-1. k Zakładając, że przed komutacją łączniR1 ka w obwodzie był stan ustalony, otrzyR2 mamy schemat dla t<0 (używając jako t=0 L1 L2 e(t) modułów wartości zespolonych amplitud): i1 I1m = i2 20W I1m 6.1W j0 325 e = j25.3(15 + j31.2) 20 + j6.1 + 15 + j56.5 = 10.53e I 2m = 10.53e − j42.37 − j42.37 j25.3 = 15 + j56.5 A 325ej0º V 25.3W M = k L1L 2 = 0.08H, I2m 31.2W 15W M = 25.3W , ( L1 − M ) = 6.1W , ( L 2 − M ) = 31.2W p i1 (t ) = 10.53 sin 314 t − 42.37 A 180 = 4.56e − j27.5 A co w postaci czasowej daje: i 2 (t ) = 4.56 sin 314 t − 27.5 p A 180 stąd: i (0 ) = 10.53 sin( −42.37 ) −7.1 A 1 − i 2 (0− ) = 4.56 sin( −27.5 ) −2.1 A W tym przypadku nie stawiamy jednak warunku ciągłości prądu w cewce L1, ponieważ po stronie wtórnej układu nastąpiło przerwanie prądu elementu indukcyjnego (przy założeniu, że łącznik jest idealny), zmieniła się zatem struktura układu cewek sprzężonych; daje to w efekcie analogiczne skutki, jak skokowa zmiana indukcyjności pojedynczej cewki. Korzystamy więc w tym wypadku z bardziej ogólnej zasady ciągłości strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką L1: (0 ) = (0 ) 1 − 1 + Strumień skojarzony z cewką L1, gdy jest ona sprzężona indukcyjnie z cewką L2, indukcyjność sprzężenia wynosi M, a sprzężenie ma charakter ujemny, można ogólnie wyrazić wzorem: 1 = L1i1 − Mi 2 W rozpatrywanej sytuacji otrzymamy więc: L1i1 (0− ) − Mi 2 (0− ) = L1i1 (0+ ) − Mi 2 (0+ ) Ponieważ i2(0+)=0 (przerwa w gałęzi), więc: L1i1 (0 − ) − Mi 2 (0 − ) M 0.08 i1 (0 + ) = = i1 (0 − ) − i 2 (0 − ) = −7.1 − (− 2.1) = −5.42 A L1 L1 0. 1 Dla t ≥ 0 obwód i jego równanie obwodu mają postać: R1 Em sin t i1 L1 lub: di L1 + R1i = Em sin t dt L1 di Em +i= sin t R1 dt R1 Składowa swobodna rozwiązania ma postać: is = A e − t T − = Ae t L1 R1 (gdzie: A – stała całkowania) Składową wymuszoną znajdujemy jako rozwiązanie w stanie ustalonym: iw = Em (R1 )2 + (L1 )2 sin (t − ) L1 gdzie: = arc tg R1 − A zatem: i (t ) = A e t L1 R1 + Em (R1 ) + (L1 ) 2 2 sin (t − ) Po podstawieniu danych liczbowych: − i (t ) = A e t 0.1 20 p + sin 314 t − 57.5 = 180 (20)2 + (31.4 )2 325 = A e − 200t + 8.73 sin (314 t − 1.004) Z warunku początkowego i(t=0+)=−5.42A, więc: ( − 5.42 = A + 8.73 sin − 57.5 ) A = 1.94 Ostatecznie: i (t ) = 1.94 e −200t + 8.73 sin(314t − 1.004) A Stany przejściowe w obwodach (I rzędu) o wymuszeniu liniowym i R u C I i(t) 0 T0 t Przykład: w obwodzie przedstawionym na rysunku obliczyć u(t), zakładając że T0=3RC. 0 Opiszmy przebieg prądu źródła analitycznie: dla t 0 I i (t ) = t T0 0 dla 0 t T0 dla t T0 Prąd źródła jest sumą prądu kondensatora i rezystora, więc: du u C + = i (t ) dt R Dla t<0 prąd źródła jest zerowy, kondensator jest więc rozładowany czyli u(t)=0, a korzystając z ciągłości napięcia na pojemności mamy: u(0-)=u(0+)=0 Dla 0 ≤ t ≤ T0 równanie obwodu ma postać: RC du I +u=R t dt T0 lub : RC du I +u= t dt 3C Składowa swobodna rozwiązania ma postać: us = t − A e T = t − A e RC = A e − 3t T0 (gdzie: A – stała całkowania) Składową wymuszoną możemy tu wyznaczyć tylko metodą „matematyczną” - postać składowej wymuszonej musi być zgodna z charakterem wymuszenia. Ponieważ wymuszenie jest liniową funkcją czasu, przewidujemy składową wymuszoną również jako liniową funkcję czasu: uw = a t + b Składowa wymuszona musi samodzielnie spełniać równanie, więc podstawiając jej ogólną postać do równania wyznaczamy współczynniki a i b: I t 3C a t + (RCa + b ) = I t +0 3C I RI czyli : a = , oraz : RCa + b = 0, stąt : b = − 3C 3 RCa + at + b = Rozwiązanie dla 0 ≤ t ≤ T0 jest równe: u( t ) = A e Z warunku początkowego u(0+)=0: RI 0=A− 3 Ostatecznie dla 0 ≤ t ≤ T0 : u( t ) = t − RI RC e 3 − t RC I RI + t− 3C 3 RI A= 3 3t t − − I RI RI RC t RI T0 3t + t− = e + − 1 = e + − 1 3C 3 3 RC 3 T0 Podstawiając t=T0- obliczymy wartość napięcia na końcu tego przedziału: u( T0− ) = ( ) ( ) RI −3 RI −3 e + 3−1 = e + 2 0.683RI 3 3 Ze względu na ciągłość napięcia na pojemności u(T0-)=u(T0+) wartość ta będzie stanowiła warunek początkowy dla rozwiązania obwodu dla t>T0. W ostatnim przedziale czasu t>T0 prąd źródła jest zerowy, więc mamy: du u C + =0 dt R lub du RC + u = 0 dt Rozwiązanie ma tylko składową swobodną (brak wymuszenia) w postaci: u( t ) = u s t − = Be T t − = B e RC = Be − 3t T0 (gdzie: B – stała całkowania) Z warunku początkowego u(T0+)=0.683RI otrzymamy: 0.683RI = B e −3 Ostatecznie dla t > T0 : u t − u( t ) = 13.72 e RC B = 13.72RI = 13.72 e − 3t T0 Przebieg u(t) dla: I=1A, R=1kW, C=10mF, T0=30ms t
