Konstrukacja pięciokąta według Euklidesa. Na podstawie

Konstrukacja pięciokąta według
Euklidesa.
Na podstawie Elementów Eukildesa
Magdalena Dębowska
7 maja 2008
Opiszę w tym referacie konstrukcję równoramiennego i równokątnego pieciokąta,
jak nazywa Euklides w dziele Elementy Euklidesa figurę, którą znamy pod nazwą
pięciokąt foremny, gdy dany mamy okrąg.
Niech będzie dany okrąg O. Naszym zadaniem jest wpisać pięciokąt formeny w
okrąg O. Niech teraz F GH będzie trójkątem równoramiennym, takim by miary kątów przy wierzchołkach G i H były równe podwojonej mierze kąta F .
Wpiszmy teraz w okrąg O trójkąt ACD, o miarach kątów identycznych jak miary
kątów trójkąta F GH. Wtedy odpowiednio miary kątów CAD, ACD oraz CDA będą
odpowiadać miarom kątów F , G, H. Zatem miary kątów ACD i CDA są dwa razy
większe niż miara kąta CAD.
Konstrukcje taką przeprowadzamy zgodnie z księgą IV propozycją 2 Elementów
Euklidesa następująco: Mając dany okrąg O oraz trójkąt F GH.
1. Konstruujemy prostą KL
przechodzącą przez punkt A
należący do okręgu O;
2
2. konstruujemy kąt LAC
równy co do miary kątowi F GH
na prostej AL z punktu A;
3. konstruujemy kąt KAD
równy co do miary kątowi DF E
na prostej AL z punktu A;
4. łączymy punkty C i D
otrzymując właściwy trójkąt
Wracając do konstrukcji głównej podzielmy na połowę miary kątów ACD oraz CDA
liniami prostymi CE i DB. Konstrukcję bisekcji kąta możemy znaleźć w księdze 1,
propozycji 9 Elementów Euklidesa.
Narysujmy także odcinki AB, BC, DE, EA.
3
Wtedy, dopóki kąty ACD i CDA mają podwojoną miarę kąta CAD i połowimy
ich miary liniami prostymi CE oraz DB to pięć kątów DAC, ACE, ECD, CDB
oraz BDA ma równe miary.
Równe kąty wycinają równe części - łuki - na obwodzie okręgu, dlatego też łuki
AB, BC, CD, DE, EA tego okręgu mają równą długość.
Uzasadnienie znajdujemy w księdze III propozycji 26 Elementów Euklidesa.
Pokażemy, że równe kąty o wierzchołku w środku okręgu (lub na obwodzie) w
odpowiednio dwóch równych sobie okręgach wycinają odpowiednie łuki, które są
równej długości.
4
Niech zatem XST oraz Y U W będą równymi okręgami. I niech kąty SP T i U RW
mają równe miary.Chcemy pokazać, że łuki SV T i U ZW mają równą długość.
Dorysujmy ST oraz U W . Stąd, że okręgi XST oraz Y U W są równe mamy równość kątów XST oraz Y U W . Dlatego też dwie linie SP i P T są równe odpowiednim
liniom w drugim okręgu, a mianowicie U R i RW , a co za tym idzie miary kątów P
i R są równe, dletego też SV T ma taką samą długość jak U ZW .
Na podstawie księgi III, propozycji 29 Elementów Euklidesa możemy zapisać,
że linie proste wyznaczające równe długością łuki na okręgu są również równe. Zatem odcinki AB, BC, CD, DE, EA są równej długości, stąd pieciokąt ABCDE jest
równoboczny.
Pokażemy, że również kąty tego pięciokąta są równej miary. Nasze rozważania
oprzemy o księgę III, propozycję 27 z Elementów Euklidesa. Łuk AB jest takiej samej
długości jak łuk DE. Dodajmy teraz do obu tych łuków łuk BCD. Otrzymamy, że
łuk ABCD oraz łuk EDCB są tej samej długości.
5
Kąty AED i BAE są oparte odpowiednio na łukach ABCD i EDCB, które są
takiej samej długości. Zatem kąty te mają takie same miary.
Przeprowadzając podobne rozumowanie kąty ABC, BCD, CDE mają miary takie same jak kąty BAE i AED, stąd pięciokąt ABCDE jest pięciokątem o równych
kątach wewnętrznych.
Pokazaliśmy, że pięciokąt jest równoboczny oraz o takich samych miarach wewnętrznych co oznacza, że skończyliśmy konstrukcję szukanego pięciokąta foremnego.
6