GEOMETRIA

GEOMETRIA
Geometrię należy zacząć od definicji najprostszych pojęć z nią związanych: z
punktem i prostą.
Są to pojęcia niedefiniowalne...na szczęście dla ucznia nie mają definicji.
Punkty oznaczamy wielką literą, proste – małą.
Kolejnymi figurami geometrii są:

półprosta (część prostej ograniczona jednym punktem)

odcinek (część prostej ograniczona dwoma punktami
 i wzięta razem z tymi punktami)

kąt (figura składająca się z dwóch półprostych o wspólnym początku i
części płaszczyzny ograniczonej przez te półproste)
Każde dwie półproste dzielą płaszczyznę na dwie części, dlatego ważne jest
zaznaczenie łuku, aby zwrócić uwagę na kąt, który nas interesuje.
Kąty dzielimy ze względu na miarę lub ze względu na położenie:
Klasyfikacja kątów ze względu na
miarę
zerowy
ostry
prosty
rozwarty
półpełny
pełny
położenie
0o
0𝑜 < 𝛼 < 90𝑜
90o
𝑜
90 < 𝛼 < 180𝑜
o
180
360o
wierzchołkowe
przyległe
naprzemianległe
odpowiadające
Zwrócić należy uwagę na rysunek kąta zerowego i kąta pełnego. W obydwu przypadkach
ramiona kąta pokrywają się, jednak w przypadku kąta pełnego widać łuk oznaczający kąt,
w przypadku kąta zerowego tego łuku nie ma.
równe miary
o
w sumie 180
równe
równe
Kąty wierzchołkowe powstają przy przecięciu się dwóch
prostych. Katy wierzchołkowe mają równe miary.
Kąty przyległe to kąty, które mają wspólny wierzchołek i jedno ramie wspólne,
a pozostałe ramiona tworzą prostą.
Ich miary w sumie dają 180o. 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜
Kąty naprzemianległe i odpowiadające powstają, gdy dwie proste równoległe
przetniemy trzecia prostą.
Kąty naprzemianległe mają równe miary.
Na rysunku obok kąty naprzemianległe to (1,7), (2,8), (3, 5), (4,6)
Jeśli jeden kąt leży po lewo i „nad” prostą, to ten drugi leży po prawo i „pod”,
ale pod drugą prostą.
Kąty odpowiadające to (1,5), (2,6), (3,7), (4,8).
Jeśli jeden kąt leży po lewo i „nad” prostą, to ten drugi też leży po lewo i „nad”, ale nad drugą prostą.
Poza tym na rysunku obok widać kąty wierzchołkowe: (1,3), (2,4), (5,7), (6,8),
oraz kąty przyległe (1,2), (2,3), (3,4), (4,1), (5,6), (6,7), (7,8), (8,1).
Zad. 1
Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku :
Rozwiązanie:
Zaczniemy od otoczenia danego kąta:
𝑘ą𝑡 3 = 120𝑜 , jako wierzchołkowy do kąta 120𝑜 ,
𝑘ą𝑡 2 = 𝑘ą𝑡 4 = 180𝑜 − 120𝑜 = 60𝑜 , jako przyległe do
𝑘ą𝑡𝑎 = 120𝑜 ,
Teraz korzystając z kątów odpowiadających otrzymujemy:
𝑘ą𝑡 5 = 120𝑜 , jako odpowiadający do 𝑘ą𝑡𝑎 = 120𝑜 .
Pozostałe kąty otrzymujemy jako kąty wierzchołkowe i
przylegle:
𝑘ą𝑡7 = 120𝑜 ,
𝑘ą𝑡6 = 𝑘ą𝑡 8 = 180𝑜 − 120𝑜 = 60𝑜
Czas na Twój trening:
Zad.2 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku :
Zad.3 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku :
Rozwiązanie:
Zaczynamy od danego kąta.
Do niego przyległy jest kąt 𝛽
(bo ich ramiona tworzą prostą, maja wspólny wierzchołek i
ramię),
stąd 𝛽 = 180𝑜 − 40𝑜 = 140𝑜
(jako przyległe, kąty dają w sumie 180𝑜 )
Kąt 40𝑜 jest wierzchołkowy z kątem 𝛼, stąd 𝛼 = 40𝑜
Czas na Twój trening:
Zad. 4 Uzupełnij miary brakujących kątów na rysunku :
KĄTY W TRÓJKĄTACH
Suma kątów trójkątach równa jest 𝟏𝟖𝟎𝒐 .
Dowód tego faktu jest bardzo prosty:
Przez punkty A i B
prowadzimy prostą, a następnie
prostą
równoległą do niej
prowadzimy przez punkt C
Otrzymaliśmy dwa warianty dwóch
prostych równoległych przeciętych
trzecią prostą.
Pierwszy to początkowe dwie proste
równoległe i prosta AC, stąd
otrzymaliśmy kąty naprzemianległe o
równych miarach (kąty 𝛽).
Drugi wariant to początkowe dwie proste
równoległe i prosta BC, a stąd odpowiaające
sobie kąty 𝛼 o równych miarach.
Stąd przy wierzchołku C otrzymaliśmy
wszystkie trzy kąty trójkąta. Dają one w
sumie 180𝑜 (ich ramiona tworzą prosta
przechodząca przez punkt C.
Trójkąty dzielimy ze względu na miary kątów lub na długości boków.
Klasyfikacja trójkątów ze względu na:
długość boków
miary kątów
ostrokątne
wszystkie kąty ostre
równoboczny
prostokątne
jeden kąt prosty, pozostałe ostre
równoramienny
rozwartokątne
jeden kąt rozwarty, pozostałe
ostre
różnoboczny
wszystkie boki równe, wszystkie kąty po 60𝑜
dwa boki równe, zwane ramionami, kąty pod
ramionami mają równe miary
poza sumą miar równą 180𝑜 nie zachodzą inne
warunki
Zad.5 Ustal miary brakujących kątów w trójkątach:
Korzystając z informacji, że suma miar kątów w trójkącie równa jest 180𝑜 mamy:
22𝑜 + 47𝑜 = 69𝑜 (suma danych kątów)
180𝑜 − 69𝑜 = 111𝑜
Korzystając z informacji, że suma miar kątów w trójkącie równa jest 180𝑜 mamy:
122𝑜 + 28 = 150𝑜 (suma danych kątów)
180𝑜 − 150𝑜 = 30𝑜
Oznaczenie boków identycznymi literami świadczy o tym, że trójkąt jest równoramienny.
Wynika stąd, że kąt
𝛼 = 42𝑜 , bo kąty pod równymi ramionami mają równe miary.
Dwa kąty przy postawie dają razem
42𝑜 + 42𝑜 = 84𝑜
Więc
𝛽 = 180𝑜 − 84𝑜 = 96𝑜
Oznaczenie boków identycznymi literami świadczy o tym, że trójkąt jest równoramienny.
Wynika stąd, że kąt 𝛼 = 𝛽, bo kąty pod równymi ramionami mają równe miary.
W sumie wszystkie kąty dają 180𝑜 , więc jeśli odejmiemy dany kąt, to otrzymamy miarę
dwóch kątów przy podstawie.
142
𝛼 + 𝛽 = 180𝑜 − 38𝑜 = 142𝑜 𝛼 = 𝛽 =
= 71𝑜
2
„kropka” w kacie informuje, że to kąt prosty (90𝑜 )
Podane kąty dają w sumie 90𝑜 + 35𝑜 = 125𝑜
Brakujący kąt to uzupełnienie do 180𝑜
𝛼 = 180𝑜 − 125𝑜 = 55𝑜
Stopnie i ich podział nie są zapisywane w systemie dziesiątkowym, ale w
sześćdziesiątkowym. Oznacza to, że 60 jednostek niższego rzędu daję jedną jednostkę
rzędu wyższego. Tak działają zegarowe minuty i godziny, sekundy i minuty.
Tak tez działają miary kątów. Każdy 1stopień to 60 minut 1𝑜 = 60′ , 1′ = 60′′ .
Wygodnie do obliczeń pamiętać, że 180𝑜 = 179𝑜 60′ (jeden stopnień został zamieniony
na minuty)
Rozwiązując dany przykład najpierw musimy zsumować miary danych kątów:
42𝑜 43′ + 35𝑜 35′ = (42𝑜 + 35𝑜 ) + (43′ + 35′ ) = 77𝑜 + 78′ = 77𝑜 + (60′ + 18′ ) =
77𝑜 + 1𝑜 + 18′ = 78𝑜 18′
Aby obliczyć brakujący kąt należy od 180𝑜 odjąć miarę sumy dwóch danych kątów:
180𝑜 − 78𝑜 18′ = 179𝑜 60′ − 78𝑜 18′ =101𝑜 42′
Czas na Twój trening:
Uzupełnij miary brakujących kątów w trójkątach: