Figury - Interkl@sa
advertisement
Autorzy: Uczennice klasy III „D” gimnazjum w Zespole Szkół Ogólnokształcących imienia Edwarda Szylki w Ożarowie •Justyna Adamska •Magdalena Lewkowicz •Aleksandra Płeszka •Katarzyna Rogala •Paulina Ząbkowska Figura płaska Figura płaska to zbiór punktów (czyli figura) leżących w pewnej płaszczyźnie. Przykłady figur płaskich: elipsa koło okrąg krzywa hiperbola odcinek parabola prosta półprosta wielokąt trójkąt trójkąt równoboczny trójkąt równoramienny trójkąt prostokątny czworokąt kwadrat prostokąt romb równoległobok trapez pięciokąt pięciokąt foremny sześciokąt sześciokąt foremny wielokąt foremny fraktale Płaszczyzna Płaszczyzna Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej. Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność". W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów. Półpłaszczyzna Półpłaszczyzna – każda z dwóch części płaszczyzny, na jakie dzieli ją leżąca na niej prosta, wraz z tą prostą. Prosta ta jest wspólnym brzegiem wspomnianych półpłaszczyzn. Krzywa Krzywa jest to dowolna linia na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym także linia prosta. Może ona w szczególności rozgałęziać się i przerywać. Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego zdefiniowania. Krzywa na płaszczyźnie to figura płaska o tej własności, iż możemy wokół każdego jej punktu nakreślić (niewielki) okrąg, który przecina się z nią jedynie w pojedynczych punktach. Euklides określał ją jako "długość bez szerokości" oraz "ograniczenie powierzchni". Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym. Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków. Kąty Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku (zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi (zwanymi ramionami kąta). Jednostkami miary kątów są radian [rad] i stopień [°]. Dwa kąty płaskie o tej samej mierze są kątami przystającymi. W rozważaniach należy zawsze jasno zaznaczyć, o który z kątów chodzi. Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne), jeden z tych kątów jest zawsze wypukły, a drugi wklęsły. Inne kąty (ze względu na miarę) • • • • • • • • Kąt: zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy jednej z nich. Miara kąta zerowego jest równa 0 rad=0°. ostry - kąt o mierze większej od 0 rad=0°, lecz mniejszej od π/2 rad=90°. prosty - kąt równy swojemu kątowi przyległemu. Miara kąta prostego wynosi π/2 rad=90°. rozwarty - kąt o mierze większej od π/2 rad=90°, lecz mniejszej od π rad=180°. półpełny - każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π rad=180°. pełny - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie. Miara kąta pełnego wynosi 2π rad=360°. wypukły - kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest mniejsza niż π rad=180°. Kątami wypukłymi są wszystkie wymienione powyżej kąty. wklęsły - kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest większa niż π rad=180°, lecz mniejsza niż 2π rad=360°. Rodzaje kątów ze względu na ich wzajemne położenie Przyległe - dwa kąty posiadające jedno ramię wspólne, których pozostałe ramiona dopełniają się do prostej. Wynika stąd, że kąt wklęsły nie ma kąta przyległego. Wierzchołkowe - dwa kąty o wspólnym wierzchołku, takie, że przedłużenia ramion jednego kąta są ramionami drugiego. Kąty wierzchołkowe są równe. Zawsze wskutek przecięcia się dwóch prostych powstają dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty wierzchołkowe są zawsze kątami wypukłymi. Kąty naprzemianległe — pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych trzecią prostą (sieczną) leżące po przeciwnych stronach siecznej. Na rysunku: pary kątów 1 i 7 oraz 2 i 8 to kąty naprzemianległe zewnętrzne, pary 4, 6 i 3, 5 to kąty naprzemianległe wewnętrzne. Pary 1, 5; 4, 8; 2, 6 i 3, 7 to kąty odpowiadające. Kąt wpisany — to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy tego koła. W sytuacji na rysunku, kąt AO′B jest wpisany i mówimy, że jest oparty na łuku AB. Łuk AO′B obejmuje kąt AO′B. Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę 90°. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Kąt środkowy — to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są przez wychodzące z niego promienie. W sytuacji na rysunku, kąt AOB jest środkowy i mówimy, że jest oparty na łuku AB. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Kąt wewnętrzny wielokąta (kąt wielokąta) - to kąt, na którego ramionach leżą dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta. Jedynie wielokąty foremne mają wszystkie kąty wewnętrzne równe. Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach wynosi (n-2)·π. Wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego o n bokach: Prosta Prosta (albo linia prosta) to jedno z podstawowych pojęć geometrii. Prosta jest szczególnym przypadkiem krzywej. Prosta to także prosta to zbiór punktów płaszczyzny. Półprosta Półprosta to jednowymiarowa figura geometryczna powstała przez przecięcie prostej w dowolnie wybranym punkcie, nazywanym początkiem półprostej. Punkt ten, oraz wszystkie punkty prostej leżące po jednej jego stronie tworzy półprostą. Prościej mówiąc, półprosta jest to część prostej ograniczona jednym punktem. A l B Odcinek Odcinek - w geometrii część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej. A B Trójkąty Trójkąty ze względu na kąty trójkąt ostrokątny trójkąt prostokątny ze względu na boki trójkąt rozwartokątny trójkąt trójkąt równoboczny równoramienny trójkąt różnoboczny Trójkąt prostokątny • Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty, czyli o mierze 90°. • Dwa boki trójkąta leżące obok kąta prostego to inaczej przyprostokątne. Trzeci bok to inaczej przeciwprostokątna. Trójkąt pitagorejski • Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi. • Przykłady trójkątów pitagorejskich: Czworokąty Wielokąty Wielokąty foremne: Pięciokąt foremny Pięciokąt foremny Wielokąty foremne: Ośmiokąt foremny Ośmiokąt foremny Siedemnastokąt foremny Siedemnastokąt foremny Figury przykładowe • Prostokąt to figura geometryczna - czworokąt o wszystkich kątach prostych. Do miana prostokąta można zaliczać także kwadrat. Pole prostokąta obliczamy ze wzoru: P= a x b Obwód: Ob.= a+b+a+b Ob.= 2a+2b Przekątną prostokąta możemy obliczyć ze wzoru: Kwadrat • Kwadrat to czworokąt foremny o równych bokach i przystających kątach. Wszystkie kąty w kwadracie są proste,czyli mają po 90 stopni. Kwadrat to szczególny przypadek prostokąta o wszystkich bokach równych a także rombu o wszystkich kątach równych. • Przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość. Ich punkt przecięcia dzieli każdą z nich na dwie równe części. Punkt ten jest także środkiem symetrii kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów. • Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery osie symetrii: dwie z nich to proste zawierające przekątne, drugie dwie to symetralne boków. Pięciokąt Pięciokąt jest wielokątem o pięciu bokach i pięciu kątach wewnętrznych. Konstrukcja pięciokąta foremnego Konstrukcja: -Rysujemy okrąg o środku S -Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. -Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy - punkt A. -Odmierzamy odległość AB tworząc łuk, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy -Odcinek BC jest długością boku pięciokąta Pięciokąt Obliczenia: Pole trójkąta liczymy ze wzoru: Obwód trójkąta: Ob.=a+b+c Pola i obwody figur płaskich PROSTOKĄT Pole prostokąta P prostokąta = a ·b Obwód prostokąta Ob.=2a+2b KWADRAT Pole kwadratu P kwadratu = a2 Obwód kwadratu Ob.=4a TRÓJKĄT Pole trójkąta P∆ = ½Pola_podstawy ∙ wysokość Obwód trójkąta Ob.= a+b+c TRAPEZ Pole trapezu Obwód trapezu: Ob.=a+b+c+d RÓWNOLEGŁOBOK i ROMB Pole równoległoboku P równogłoboku = a · h Pole rombu P rombu = e · f Gdzie e, f - dłuższa i krótsza przekątna rombu. Obwód rombu-obwód równoległoboku Ob.=2a+2b Pole i obwód koła Pole koła Po = π R2 Obwód okręgu (koła) L = 2 π R DELTOID Pole deltoidu: Obwód deltoidu: Ob.=a+b+c+d Ciekawostki Ciekawe strony http://www.jolanta.malczak.linuxpl.com/ppoly.htm Na tej stronie, za pomocą specjalnego generatora, możemy stworzyć wielokąty foremne. Pitagoras Pitagoras z Samos (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). Urodził się na wyspie Samos. Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie założył związek pitagorejski. Tam też rozwinął przede wszystkim działalność naukową. Zmarł w Metaponcie. Prąd filozoficzny, którego inicjatorem był Pitagoras, trwał ponad dwa wieki. Pitagorejczy cenili to, co mogło być dowiedzione na drodze rozumowej. W dziedzinie geometrii opracowali teorię równoległych wraz z twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Badali koło, wielościany foremne i kulę. W szkole pitagorejskiej narodziły się trzy wielkie problemy: podwojenie sześcianu, podział kąta na trzy równe części oraz kwadratura koła, które należało rozwiązać za pomocą cyrkla i linijki bez podziałki. Pitagorejczycy udowodnili twierdzenie samego Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej". Twierdzenie Pitagorasa W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a2 + b2 = c2 Tales TALES z MILETU (ok. 627 - ok. 546 p.n.e.) Uważany jest za jednego z "siedmiu mędrców" starożytności i za ojca nauki greckiej. Starożytni pisarze nazwali go "pierwszym" filozofem, fizykiem, matematykiem, astronomem. Tales był założycielem jońskiej szkoły filozofów przyrody. Brał aktywny udział w życiu politycznym i gospodarczym swego miasta. Odbywał częste podróże. I prawdopodobnie wtedy zapoznał się z osiągnięciami matematyki i astronomii Egiptu i Babilonii. Według przekazu pisarzy starożytnych, Tales przewidział zaćmienie słońca na dzień 28 V 585 r. p.n.e. oraz pomierzył wysokość piramid za pomocą cienia, które one rzucały (na podstawie podobieństwa trójkątów). Jednym z twierdzeń geometrii elementarnej, sformułowanej przez Talesa, jest twierdzenie o następującej treści: "Jeśli ramiona kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta". Twierdzenie Talesa Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to długości odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu. Dziękujemy!
