Figury - [email protected]

advertisement
Autorzy:
Uczennice klasy III „D” gimnazjum w Zespole Szkół Ogólnokształcących
imienia Edwarda Szylki w Ożarowie
•Justyna Adamska
•Magdalena Lewkowicz
•Aleksandra Płeszka
•Katarzyna Rogala
•Paulina Ząbkowska
Figura płaska














Figura płaska to zbiór punktów (czyli figura) leżących w pewnej
płaszczyźnie. Przykłady figur płaskich:
elipsa
koło
okrąg
krzywa
hiperbola
odcinek
parabola
prosta
półprosta
wielokąt
trójkąt
trójkąt równoboczny
trójkąt równoramienny
trójkąt prostokątny
czworokąt
kwadrat
prostokąt
romb
równoległobok
trapez
pięciokąt
pięciokąt foremny
sześciokąt
sześciokąt foremny
wielokąt foremny
fraktale
Płaszczyzna
Płaszczyzna
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych
geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.
Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury
zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako
karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola
rozciągających się "w nieskończoność".
W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej,
płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem
punktów.
Półpłaszczyzna
Półpłaszczyzna – każda z dwóch
części płaszczyzny, na jakie dzieli
ją leżąca na niej prosta, wraz z tą
prostą. Prosta ta jest wspólnym
brzegiem wspomnianych
półpłaszczyzn.
Krzywa
Krzywa jest to dowolna linia na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w tym
także linia prosta. Może ona w szczególności rozgałęziać się i przerywać.
Pomimo intuicyjnej prostoty pojęcie to jest bardzo trudne do ścisłego
zdefiniowania.
Krzywa na płaszczyźnie to figura płaska o tej własności, iż możemy wokół
każdego jej punktu nakreślić (niewielki) okrąg, który przecina się z nią
jedynie w pojedynczych punktach.
Euklides określał ją jako "długość bez szerokości" oraz "ograniczenie
powierzchni". Nie są to jednak definicje w sensie matematycznym.
Kartezjusz definiował krzywą jako zbiór punktów spełniających pewne
równanie. Definicja ta nie obejmuje wszystkich przypadków.
Kąty
Kąt (lub kąt płaski) - każda z dwóch części płaszczyzny
ograniczonych dwiema półprostymi o wspólnym początku
(zwanym wierzchołkiem kąta) wraz z tymi półprostymi
(zwanymi ramionami kąta). Jednostkami miary kątów są
radian [rad] i stopień [°]. Dwa kąty płaskie o tej samej
mierze są kątami przystającymi.
W rozważaniach należy zawsze jasno zaznaczyć, o który
z kątów chodzi. Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta
uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne), jeden
z tych kątów jest zawsze wypukły, a drugi wklęsły.
Inne kąty (ze względu na miarę)
•
•
•
•
•
•
•
•
Kąt:
zerowy - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się
i równy jednej z nich. Miara kąta zerowego jest równa 0 rad=0°.
ostry - kąt o mierze większej od 0 rad=0°, lecz mniejszej od π/2
rad=90°.
prosty - kąt równy swojemu kątowi przyległemu. Miara kąta
prostego wynosi π/2 rad=90°.
rozwarty - kąt o mierze większej od π/2 rad=90°, lecz mniejszej
od π rad=180°.
półpełny - każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste
uzupełniające się do prostej. Miara kąta półpełnego wynosi π
rad=180°.
pełny - kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się
i równy całej płaszczyźnie. Miara kąta pełnego wynosi 2π rad=360°.
wypukły - kąt, który jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta jest
mniejsza niż π rad=180°. Kątami wypukłymi są wszystkie
wymienione powyżej kąty.
wklęsły - kąt, który nie jest figurą wypukłą. Miara takiego kąta
jest większa niż π rad=180°, lecz mniejsza niż 2π rad=360°.
Rodzaje kątów ze względu na ich
wzajemne położenie
Przyległe - dwa kąty posiadające jedno ramię
wspólne, których pozostałe ramiona dopełniają
się do prostej.
Wynika stąd, że kąt wklęsły nie ma kąta
przyległego.
Wierzchołkowe - dwa kąty o wspólnym wierzchołku,
takie, że przedłużenia ramion jednego kąta są
ramionami drugiego. Kąty wierzchołkowe są równe.
Zawsze wskutek przecięcia się dwóch prostych
powstają dwie pary kątów wierzchołkowych. Kąty
wierzchołkowe są zawsze kątami wypukłymi.
Kąty naprzemianległe — pary kątów
utworzonych przez przecięcie dwóch
prostych trzecią prostą (sieczną) leżące po
przeciwnych stronach siecznej.
Na rysunku: pary kątów 1 i 7 oraz 2 i 8 to kąty naprzemianległe
zewnętrzne, pary 4, 6 i 3, 5 to kąty naprzemianległe wewnętrzne.
Pary 1, 5; 4, 8; 2, 6 i 3, 7 to kąty odpowiadające.
Kąt wpisany — to kąt, którego wierzchołek leży na
okręgu, a ramiona zawierają cięciwy tego koła.
W sytuacji na rysunku, kąt AO′B jest wpisany i mówimy,
że jest oparty na łuku AB. Łuk AO′B obejmuje kąt AO′B.
Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę 90°.
Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego
opartego na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane
oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt środkowy — to kąt, którego wierzchołek leży
w środku okręgu, a ramiona wyznaczone są
przez wychodzące z niego promienie. W sytuacji
na rysunku, kąt AOB jest środkowy i mówimy,
że jest oparty na łuku AB.
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta
wpisanego opartego na tym samym łuku.
Kąt wewnętrzny wielokąta (kąt wielokąta) - to kąt, na
którego ramionach leżą dwa sąsiednie boki
wielokąta i dla którego istnieje otoczenie
wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta
zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.
Jedynie wielokąty foremne mają wszystkie kąty
wewnętrzne równe.
Suma kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach
wynosi (n-2)·π.
Wzór na kąt wewnętrzny wielokąta foremnego o n
bokach:
Prosta
Prosta (albo linia prosta) to jedno z podstawowych
pojęć geometrii. Prosta jest szczególnym
przypadkiem krzywej.
Prosta to także prosta to zbiór punktów płaszczyzny.
Półprosta
Półprosta to jednowymiarowa figura
geometryczna powstała przez
przecięcie prostej w dowolnie
wybranym punkcie, nazywanym
początkiem półprostej. Punkt ten,
oraz wszystkie punkty prostej leżące
po jednej jego stronie tworzy
półprostą.
Prościej mówiąc, półprosta jest to
część prostej ograniczona jednym
punktem. A
l
B
Odcinek
Odcinek - w geometrii część prostej zawarta
pomiędzy dwoma jej punktami. Odcinek w
całości zawiera się wewnątrz tej prostej.
A
B
Trójkąty
Trójkąty
ze względu na kąty
trójkąt
ostrokątny
trójkąt
prostokątny
ze względu na boki
trójkąt
rozwartokątny
trójkąt
trójkąt
równoboczny równoramienny
trójkąt
różnoboczny
Trójkąt prostokątny
• Trójkąt prostokątny to
trójkąt, którego jeden z
kątów wewnętrznych jest
prosty, czyli o mierze 90°.
• Dwa boki trójkąta leżące
obok kąta prostego to
inaczej przyprostokątne.
Trzeci bok to inaczej
przeciwprostokątna.
Trójkąt pitagorejski
• Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny,
którego długości boków są wyrażone liczbami
naturalnymi.
• Przykłady trójkątów pitagorejskich:
Czworokąty
Wielokąty
Wielokąty foremne:
Pięciokąt foremny
Pięciokąt foremny
Wielokąty foremne:
Ośmiokąt
foremny
Ośmiokąt foremny
Siedemnastokąt foremny
Siedemnastokąt foremny
Figury przykładowe
• Prostokąt to figura geometryczna - czworokąt o
wszystkich kątach prostych. Do miana prostokąta
można zaliczać także kwadrat.
Pole prostokąta obliczamy ze wzoru:
P= a x b
Obwód:
Ob.= a+b+a+b
Ob.= 2a+2b
Przekątną prostokąta możemy obliczyć ze wzoru:
Kwadrat
•
Kwadrat to czworokąt foremny o
równych bokach i przystających
kątach. Wszystkie kąty w kwadracie
są proste,czyli mają po 90 stopni.
Kwadrat to szczególny przypadek
prostokąta o wszystkich bokach
równych a także rombu o wszystkich
kątach równych.
•
Przekątne kwadratu są wzajemnie
prostopadłe oraz mają jednakową
długość. Ich punkt przecięcia dzieli
każdą z nich na dwie równe części.
Punkt ten jest także środkiem
symetrii kwadratu. Przekątne
kwadratu zawarte są w dwusiecznych
jego kątów.
•
Kwadrat na płaszczyźnie posiada
cztery osie symetrii: dwie z nich to
proste zawierające przekątne, drugie
dwie to symetralne boków.
Pięciokąt
Pięciokąt jest
wielokątem o pięciu
bokach i pięciu
kątach
wewnętrznych.
Konstrukcja pięciokąta
foremnego
Konstrukcja:
-Rysujemy okrąg o środku S
-Rysujemy średnicę okręgu
i prostopadły do niej
promień BS.
-Wyznaczamy połowę jednego
z promieni zawierających
się w średnicy - punkt A.
-Odmierzamy odległość AB
tworząc łuk, wyznaczający
punkt C jego przecięcia na
średnicy
-Odcinek BC jest długością
boku pięciokąta
Pięciokąt
Obliczenia:
Pole trójkąta
liczymy ze wzoru:
Obwód trójkąta:
Ob.=a+b+c
Pola i obwody figur
płaskich
PROSTOKĄT
Pole prostokąta
P prostokąta = a ·b
Obwód prostokąta
Ob.=2a+2b
KWADRAT
Pole kwadratu
P kwadratu = a2
Obwód kwadratu
Ob.=4a
TRÓJKĄT
Pole trójkąta
P∆ = ½Pola_podstawy ∙
wysokość
Obwód trójkąta
Ob.= a+b+c
TRAPEZ
Pole trapezu
Obwód trapezu:
Ob.=a+b+c+d
RÓWNOLEGŁOBOK i ROMB
Pole równoległoboku
P równogłoboku = a · h
Pole rombu
P rombu = e · f
Gdzie e, f - dłuższa i krótsza
przekątna rombu.
Obwód rombu-obwód
równoległoboku
Ob.=2a+2b
Pole i obwód koła
Pole koła
Po = π R2
Obwód okręgu (koła)
L = 2 π R
DELTOID
Pole deltoidu:
Obwód deltoidu:
Ob.=a+b+c+d
Ciekawostki
Ciekawe strony
http://www.jolanta.malczak.linuxpl.com/ppoly.htm
Na tej stronie, za pomocą specjalnego generatora,
możemy stworzyć wielokąty foremne.
Pitagoras
Pitagoras z Samos (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.). Urodził się
na wyspie Samos. Około 532 r. p.n.e. Pitagoras opuścił
wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii.
Osiedlił się w Krotonie, gdzie założył związek
pitagorejski. Tam też rozwinął przede wszystkim
działalność naukową. Zmarł w Metaponcie.
Prąd filozoficzny, którego inicjatorem był Pitagoras,
trwał ponad dwa wieki. Pitagorejczy cenili to, co mogło
być dowiedzione na drodze rozumowej. W dziedzinie
geometrii opracowali teorię równoległych wraz z
twierdzeniem o sumie kątów trójkąta, czworokąta i
wielokątów foremnych. Badali koło, wielościany foremne
i kulę. W szkole pitagorejskiej narodziły się trzy wielkie
problemy: podwojenie sześcianu, podział kąta na trzy
równe części oraz kwadratura koła, które należało
rozwiązać za pomocą cyrkla i linijki bez podziałki.
Pitagorejczycy udowodnili twierdzenie samego Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym, suma kwadratów
przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej".
Twierdzenie Pitagorasa
W dowolnym trójkącie prostokątnym
suma kwadratów długości przyprostokątnych
równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
a2 + b2 = c2
Tales
TALES z MILETU (ok. 627 - ok. 546 p.n.e.) Uważany jest za
jednego z "siedmiu mędrców" starożytności i za ojca nauki
greckiej.
Starożytni pisarze nazwali go "pierwszym" filozofem, fizykiem,
matematykiem, astronomem.
Tales był założycielem jońskiej szkoły filozofów przyrody. Brał
aktywny udział w życiu politycznym i gospodarczym swego
miasta. Odbywał częste podróże. I prawdopodobnie wtedy
zapoznał się z osiągnięciami matematyki i astronomii Egiptu
i Babilonii. Według przekazu pisarzy starożytnych, Tales
przewidział zaćmienie słońca na dzień 28 V 585 r. p.n.e. oraz
pomierzył wysokość piramid za pomocą cienia, które one rzucały
(na podstawie podobieństwa trójkątów).
Jednym z twierdzeń geometrii elementarnej, sformułowanej przez
Talesa, jest twierdzenie o następującej treści: "Jeśli ramiona
kąta przeciąć dwiema równoległymi, to długości
odcinków wyznaczonych przez te proste na jednym
ramieniu kąta są proporcjonalne do długości
odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta".
Twierdzenie Talesa
Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema
prostymi równoległymi, to długości
odcinków wyznaczonych przez te proste
na jednym ramieniu kąta są
proporcjonalne do długości
odpowiednich odcinków wyznaczonych
przez te proste na drugim ramieniu.
Dziękujemy!
Download
Random flashcards
123

2 Cards oauth2_google_0a87d737-559d-4799-9194-d76e8d2e5390

ALICJA

4 Cards oauth2_google_3d22cb2e-d639-45de-a1f9-1584cfd7eea2

Create flashcards