Zestaw 1d. Funkcje gęstości

Zestaw 1d. Preliminaria – o funkcji gęstości
Twierdzenie 1 - o zamianie miar w całce.
Niech w przestrzeni , B(),{ , } miara ν będzie absolutnie ciągła względem miary μ.
a. Jeżeli funkcja f jest gęstością miary ν względem miary μ , to
 g ( x))d ( x)   g ( x) f ( x)d ( x)
dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej g.
b. Funkcja g (niekoniecznie nieujemna) jest całkowalna względem miary ν wtedy i tylko
wtedy, gdy iloczyn gf jest całkowalny względem miary μ i wtedy
 g ( x))d ( x)   g ( x) f ( x)d ( x)
A
dla A  B () .
A
Wniosek 1. Na mocy twierdzenia 1 możemy zapisać d  fd .
Niech T : V  R k dla V  R k będzie odwzorowaniem postaci T (x)  t1 (x), t2 (x),..., tk (x)
dla którego istnieją pochodne cząstkowe tij  ti x j , a J (x ) niech będzie jakobianem


J (x)  det tij (x) .
Twierdzenie 2 - o zamianie zmiennych w całce Lebesque’a.
Niech T : V  T (V ) będzie odwzorowaniem różnowartościowym przekształcającym zbiór
otwarty V na otwarty zbiór T (V ) , ciągłym i mającym ciągłe pochodne cząstkowe
tij  ti x j . Wtedy
 f (T ( x)) J ( x) dx   f ( y)dy ,
V
T (V )
dla każdej funkcji całkowalnej f na zbiorze T (V ) .□
Dla dowolnego zbioru borelowskiego A  V zastępując f przez f  IT ( A) otrzymujemy
 f (T ( x)) J ( x) dx   f ( y)dy ,
A
T ( A)
Wniosek 1. Z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce Lebesque’a mamy:
P X ( B)  P( X  B)   f X ( x)dx   f X (h( y )) J ( y) dy  P(Y  C )  PY (C ) .
B
C
fY ( y)  f X (h( y)) J ( y) , gdzie Y  g  X i dla X  h  Y , B  h(C ) spełnione są
założenia twierdzenia 2 (z T  h ).
Stąd
Twierdzenie 3 - o gęstości rozkładu warunkowego. Niech
1. Z  ( X , Y ) będzie wektorem losowym o wartościach z przestrzeni produktowej
WX WY , B(WX )  B(WY ),      , gdzie WX  B(R), WY  B(R) ,
2. istnieje gęstość f Z rozkładu zmiennej Z ze względu na miarę     , gdzie miary
μ i ν są σ-skończone odpowiednio na przestrzeniach WX , WY ,
3. fY ( y ) 
 f Z ( x, y)d ( x)  0
dla y WY .
WX
Wtedy rozkład warunkowy P X ( | Y  y)   i ma gęstość f ( x | y ) 
f Z ( x, y )
.
fY ( y )
Zadanie 1. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X1  X 2 , gdzie zmienne X1, X 2 są typu
ciągłego o gęstości: f X (x) .
Rozwiązanie.
Niech Y1  g1 ( X )  X1 i Y2  g2 ( X )  X1  X 2 . Wtedy odwzorowanie odwrotne ma postać
1 0
 1.
X1  h1 (Y1,Y2 )  Y1 i X 2  h2 (Y1,Y2 )  Y2  Y1 , a jakobian jest równy J 
1 1
Stąd fY ( y1, y2 )  f X ( y1, y2  y1 ) , gęstość zmiennej Y2 jest gęstością brzegową
fY2 ( y2 )   f X ( x, y2  x)dx .
R
Dla niezależnych zmiennych X1, X 2 :
fY2 ( y2 )   f X 1 ( x) f X 2 ( y2  x)dx .
R
Zadanie 2. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X1 X 2 , gdzie zmienne X1, X 2 są typu
ciągłego o gęstości: f X (x) .
Rozwiązanie.
Niech Y1  g1 ( X )  X1 i Y2  g2 ( X )  X 2 X1 . Wtedy odwzorowanie odwrotne ma postać
X1  h1 (Y1,Y2 )  Y1 i X 2  h2 (Y1,Y2 )  Y1  Y2 , a jakobian jest równy J 
1
0
y2
y1
 y1 .
Stąd fY ( y1, y2 )  f X ( y1, y1 y2 ) | y1 | , gęstość zmiennej Y2 jest gęstością brzegową
fY2 ( y2 )   f X ( x, xy2 ) | x | dx .
R
Dla niezależnych zmiennych X1, X 2 :
fY2 ( y2 )   f X 1 ( x) f X 2 ( xy2 ) | x | dx .
R
Zadanie 3. Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej X 2  X1 , gdzie zmienne X1, X 2 są
niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym G ( ,1) .
Zadanie 4. Wykazać prawdziwość twierdzenia 1a w przypadku, gdy
a. g  I A ,
b. g jest funkcją prostą,
Wskazówka. Jeżeli 0  f n  f p.w., to
c. g jest funkcją nieujemną.
 f n d   f d .
Zadanie 5. Wykazać, że jeśli P X ( | Y  y)   , to P X ( A | Y  y)   f ( x | y) (dx) i stąd
A
E ( g ( X ) | Y  y)   g ( x) f ( x | y) (dx) .

Zadanie 6. Wykazać, że dla wektora ( X , Y ) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym z
funkcją gęstości
f ( x, y) 


1
exp  12 (x  m)T Σ 1 (x  m) , gdzie (x  m)T  [ x  m1, y  m2 ]
2 | Σ |1 2
mamy E (Y | X  x)  a  bx dla pewnych stałych a i b .