Model Bohra

Atomy
Model Bohra
28 października 2016
Model Bohra
Atomy
struktura materii
• dyskusja o strukturze materii: ciagła
˛
czy dyskretna
• prawa gazowe:
• Boyle (1627-1691) : przy stałej T dla gazu PV = const
• Charles (1746-1823) i niezależnie Gay-Lussac (1778-1850): przy stałym P dla
gazu V /T = const
• gdy powstawały: uważano materie
˛ za ciagł
˛ a˛ - a nie dyskretna.
˛
Model Bohra
Atomy
teoria atomowa
• atom - podstawowy niepodzielny składnik materii
• Demokryt 450 pne (atomos - niepodzielny)
• 1799 Joseph Proust: prawo określonych proporcji (woda zawsze powstaje z 1
cz˛eści H na 8 cz˛eści O)
• John Dalton 1803 - prawo określonych proporcji da sie
˛ wyjaśnić jeśli pierwiastki
chemiczne złożone sa˛ z atomów, każdemu z pierwiastków odpowiada inny rodzaj
atomów (różne masy).
• Avogadro (1811) tw. bez dowodu w danej P i T w danej V wszystkie gazy
zawieraja˛ tyle samo czastek.
˛
Nikt mu nie uwierzył (niewielu w każdym razie).
• obecnie wiadomo, że Avogadro miał racje,
˛ wiadomo że NA = 6.023 × 1023
czastek
˛
/ mol. Informacje˛ używa sie˛ do określenia masy czasteczki.
˛
• wsparcie - od eksperymentu z kinetycznej teorii gazów: równanie stanu, ciepło
właściwe, rozkład Maxwella, etc.
Model Bohra
Atomy
kinetyczna teoria gazów
• KTG: rozwijana od Newtona jako hipoteza
• W KTG teorii monoatomowego gazu doskonałego pokazuje sie
˛ PV = nRT oraz
U = nNA hK i =
3
nRT
2
• Tw. o ekwipartycji energii: na każdy stopień swobody ruchu średni wkład do
energii kT /2, liczba stopni swobody f
• U = fnNa kT = f nRT
2
2
Model Bohra
Atomy
rozkład Maxwella-Boltzmana
• rozkład szybkości Maxwella (1850) f (v ) = Cv 2 exp(−mv 2 /2kT )
•
• Botzmann (1895): f (E) = C exp(−E/kT )
•
p
hv 2 i =
p 3kT
m
; K = mv 2 /2; U = nNA hK i =
3
nRT
2
• kombinacja: równanie gazu doskonałego PV = nRT , n-liczba moli, R = 8.31
J/mol K stała gazu doskonałego
Model Bohra
Atomy
teoria atomowej struktury materii
• statystyczna interpretacja termodynamiki (Boltzmann 1844-1906, Gibbs
1839-1903) przyjmowana z oporami
• Boltzmann - potrzebował atomów do teorii statystycznej (samobójcza śmierć w
1905)
• 1827 - ruchy Browna, wyjaśnione na podstawie atomowej struktury materii
dopiero przez Einsteina (1905) / Smoluchowskiego
• 1908 Jean Perrin -
przewidywania teorii Einsteina
dla przesuniecia
˛
czastek
˛
w
zależności od ich
masy/rozmiaru - uważany za
dowód atomowa˛ strukture˛
materii
• Am. J. Phys. 74, June 2006
•
Model Bohra
Atomy
teoria atomowej struktury materii
•
• mikroskopia sił atomowych
Model Bohra
Atomy
Model atomu Thomsona
• 1897 Thomson: identyfikacja promieni
katodowych, jako czastek
˛
naładowanych
ujemnie o masie zaniedbywalnie małej w
porównaniu z masa˛ atomu - obecnie
uznawane za odkrycie elektronu
•
• model atomu Thomsona (ciasto z
rodzynkami, plum pudding - zmiana
znaczenia plum od tego czasu)
• ciagłe promieniowanie termiczne: elektrony
drgaja˛ pod wpływem ciepła emitujac
˛ energie˛
• struktura atomu: doświadczenie: Geiger,
•
Mardsen 1909 : rozpraszanie czastek
˛
alfa na
złotej folii
•
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
•
• w modelu Thomsona czastki
˛
α powinny rozpraszać sie˛ na pojedynczych
elektronach i odchylać sie˛ co najwyżej o 1◦ , znaleziono czastki
˛
rozproszone
wstecznie
• Rutherford: "jak 15 calowy pocisk odbity of bibuły".
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
• Rutherford: "jak 15 calowy pocisk odbity of bibuły".
•
• rachunek klasyczny dla rozpraszania czastka
˛
alfa , elektron
• Mα c 2 = 3.7 GeV, me c 2 = 0.511 MeV, elektron 7000 razy lżejszy
• maksymalna zmiana pedu
˛
α w zderzeniu centralnum
• Mα vα = Mα v0 α + me v0 e
• z różnicy mas v0α ' vα , v0e = 2vα
• ∆pα = Mα vα − Mα v0α = me v0e
• ∆pα = 2me vα
• oszacowanie od góry kata
˛ rozpraszania - przy zachowaniu zmiany pedu
˛
co do
wartości maksymalnej
• tg(θmax ) ' θmax = ∆pα = 2me = 2.7 × 10−4 rad = 0.016◦ .
pα
Me
•
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
• rozpraszanie wielokrotnie, kat
˛ w każdym jako zmienna losowa,
• tg(θmax ) ' θmax = ∆pα = 2me = 2.7 × 10−4 rad.
pα
Me
• przy wielokrotnych rozproszeniach średnie odchylenie hθtot i =
√
Nθ
• folia złota 0.6 µm, 1 atom 0.26 nm, 2300 atomów, jeśli czastka
˛
po kolei z jednym
elektronem na każdym atomie , nawet biorac
˛ θmax
√
◦
2300θmax = 0.8 .
• hθtot i =
• jeśli na każdym elektronie w każdym atomie (Z = 79) dochodzimy do 6.8◦
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
•
• Rutherford: wzór na rozkład czastek
˛
rozpraszanych przez punktowy ładunek Z –
na gruncie mechaniki klasycznej, lecz zgodny z później przedstawiona˛ teoria˛
kwantów (we wzorze nie ma stałej Plancka)
• wniosek: cały ładunek dodatni atomu skupiony w bardzo małej objetości˛
jadrze
˛
(potencjał kulombowski dla rozmytego i punktowego jadra)
˛
• wynik uznawany za odkrycie jadra
˛
atomowego (1911)
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
• założenia
1
rozprasza punktowy ładunek Z2 e o
nieskończonej masie, ładunek
punktowy Z1 e o masie skończonej
2
jeden akt rozpraszania (b. cienka folia)
3
oddziaływanie kulombowskie
•
• z założenia 1: energia kinetyczna czastki
˛
alfa bez zmiany, tylko kierunek pedu
˛
zmieniony przez 3.
• b - parametr zderzenia
• θ - kat
˛ rozpraszania, oś z 0 - w kierunku
∆p
•
Model Bohra
Atomy
Doświadczenie Rutherforda
• ostatecznie wzór Rutherforda:
• N(θ) = Ni nt
16
e2
4π0
2
Z12 Z22
r 2 K 2 sin4 (θ/2)
• wzór z 1911, sprawdzony przez Geigera /
Mardsena w 1913
•
Z Z e2
• działa dopóki rmin = 1 2
jest mniejszy niż
4π0 K
zasieg
˛ sił jadrowych
˛
(rozmiary jadra)
˛
• identyczny wynik w pełnym rachunku
kwantowym (nie ma stałej Plancka).
•
Model Bohra
Atomy
wnioski z rozpraszania Rutherforda
• rozmiar jadra
˛
1.75 fm (H) do 15 fm (U),
rozmiar atomu: rz˛edu 0.1 nm (H)
• atomy to w wiekszości
˛
pusta przestrzeń
•
• model atomu Rutherforda (planetarny)
• jadro
˛
niesie również niemal cała˛ mase˛ atomu
(odległość jadro-elektron
˛
105 razy wieksza
˛
niż rozmiar jadra.
˛
promień Słońca 700
000km tylko 200 razy mniejszy od odległości
Ziemia-Słońce
• gwiazdy neutronowe (2 × 1017 kg/m3 ) kolaps
grawitacyjny, elektrony reaguja˛ z protonami
tworzac
˛ neutrony : masa Ziemi w obiekcie
wielkości domu, 2.5 masy słońca w
promieniu 10 km
Model Bohra
Atomy
Model planetarny atomu
• elektrony w atomie (poza jadrem
˛
– w próżni):
nie moga˛ być w spoczynku (twierdzenie
Earnshawa: brak punktów równowagi
stabilnej w pustej przestrzeni −∇2 U = 0 )
• warunek kołowych orbit (1p+1e) siła
dośrodkowa jest pochodzenia
elektrostatycznego
mv 2
r
=
e2
4π0 r 2
• v = e√ 1
4π0 mr
• E =
mv 2
2
−
e2
4π0 r
, dla orbity kołowej
2
• E = − e , oraz energia potencjalna =
8π0 r
−2× energia kinetyczna
•
• ujemna: należy dostarczyć energii aby
wyrwać elektron z jadra
˛
• dla atomu wodoru 13.6 eV → v = 0.0073c.
efekty relatywistyczne tylko dla wiekszych
˛
Z
Model Bohra
Atomy
problem: promieniowanie hamowania
•
•
•
Model Bohra
Atomy
Model planetarny atomu
•
• ładunki elektryczne, które doznaja˛
przyspieszenia emituja˛ promieniowanie
elektromagnetyczne
•
Model Bohra
Atomy
Widma atomowe
•
•
Model Bohra
Atomy
linie widmowe
•
• 1885: Balmer znalazł, że w zakresie widzialnym linie atomu wodoru podlegaja˛
regule
• 1 =R
λ
1
22
−
1
n2
, n=3,4,5, z R - stała˛ nazywana˛ Rydberga
Model Bohra
Atomy
model Bohra
• artykuł Nielsa Bohra 1913, ogólne założenia
• model planetarny
• istnieja˛ pewne ’stany stacjonarne’, z których nie ma emisji promieniowania
elektromagnetycznego, a które posiadaja˛ określone energie En
• światło emitowane ma energie hν = En1 − En2
h
• w stanach stacjonarnych moment pedu
˛
: Ln = n 2π
Model Bohra
Atomy
model Bohra
• model Bohra atomu wodoru: planetarny
2
• En = − e
8π0 rn
• dopuszczalne tylko orbity na których
h
moment pedu
˛
Ln = mVn rn = n 2π
= n~
• En = − Ry2 , Ry =
n
me4
2~2 (4π0 )2
E1
,
n2
E1 = −13.6 eV, kwantyzacja
energii, poziomy energetyczne)
• En =
• odtwarza linie widmowe dla przejść
• widmo energii – zgadza sie
˛ z rachunkiem
kwantowomechanicznym
• atomy rydbergowskie
hν = En1 − En2
• ν = c
λ
• 1 =R
λ
1
n2
1
−
1
n2
2
• stan podstawowy, stany wzbudzone, próg
jonizacji
Model Bohra
Atomy
model Bohra
• model Bohra atomu wodoru: planetarny
2
• En = − e
8π0 rn
• dopuszczalne tylko orbity na których
h
moment pedu
˛
Ln = mVn rn = n 2π
= n~
• En = − Ry2 , Ry =
n
me4
2~2 (4π0 )2
E
1
, E1 = −13.6 eV (kwantyzacja
n2
energii, poziomy energetyczne)
• En =
• odtwarza linie widmowe dla przejść
hν = En1 − En2
• Lyman 1 = R
λ
• ν = c
λ
• 1 =R
λ
1
n2
1
−
1
n2
2
• stan podstawowy, stany wzbudzone, próg
jonizacji
•
• Balmer 1 = R
λ
• Paschen 1 = R
λ
• Brackett 1 = R
λ
Model Bohra
1
12
1
22
−
1
32
1
42
1
n2
−
, n=2,3,4,5
1
n2
−
−
1
n2
, n=3,4,5,
1
n2
, n=4,5,6
, n=5,6,7
Atomy
model Bohra
• stała struktury subtelnej
v
• α= 1
c
2
• vn = 1 e
n 4π0 ~
• α' 1
137
Model Bohra
Atomy
planetarny model atomu - separacja ruchu środka masy
• Jadro
˛
ma duża˛ wzgledem
˛
elektronu, lecz
skończona˛ mase˛
d 2 rj
=
e2
(r
4π0 |rj −re |3 e
− rj )
2
• m d r2e =
e2
(r
4π0 |rj −re |3 j
− re )
• M
dt 2
dt
• r ≡ (rj − re )
• Rcm ≡
•
Mrj +mre
M+m
• masa zredukowana dla atomu wodoru
2
• (m + M) d Rcm = 0
dt
•
2
mM d r
m+M dt 2
2
= − 4πe |r|3 r
0
• Równanie - odpowiada jednej czastce
˛
o
masie zredukowanej µ =
centralnym.
mM
m+M
w polu
• Przeskalowanie energii i rozmiarów atomu
• rn =
n2 h2 0
πµe2
m = m0 , M = 1836m0 , µ = 0.99945m0
(zmiana niewielka, lecz wielkość mierzalna w
widmie): linia Balmera Hα z n = 3 do 2,
656.1 nm (2 H) zamiast 656.3 nm (1 H)
• Dla deuteru jadro:
˛
M = 3669.18m0 ,
µ = 0.99972m0
• pozytrionium: µ = 0.5m0
• atomy mionowe mion - cieżki
˛
elekron
mµ = 206m0 → µ = 185m0
4
1
• En = − µe
2 2 2
8 h n
0
Model Bohra
Atomy
planetarny model atomu - separacja ruchu środka masy
• µ = mM .
m+M
4
1
• En = − µe
2 2 2
8 h n
0
• proton 1.00726u, deuteron 2.0135, tryton 3.015500u
• linie przejścia z 3 → 2: 656.47 nm (1 H), 656.29 nm (2 H), 656.23 nm (3 H)
• stosowalność wzorów Bohra: jony wodoropodobne, oraz atomy rydbergowskie
Model Bohra
Atomy
Charakterystyczne linie fluorescencji X i liczba atomowa
•
• substancje złożone z atomów cieżkich
˛
(wieloelektronowych) wzbudzone
światłem o wysokiej energii same staja˛
sie˛ źródłem promieniowania
(fluorescencji) o charakterystycznych
dyskretnych liniach.
• linie charakterystyczne dla cieżkich
˛
pierwiastków - niezależne lub słabo
zależne od wiaza
˛ ń chemicznych
(wewnetrzne
˛
powłoki)
•
• struktura powłokowa, nomenklatura linii
• wg teorii Bohra: powłok atomowych –
linie powstaja˛ gdy promienie X w lampie
usuwaja˛ elektron z niskiej powłoki,
nastepnie
˛
deekscytacja
Model Bohra
Atomy
prawo Moseleya
• prawo Moseleya:
√
ν = k1 (Z − k2 ), k1 -
od linii
• w szczególności dla Kα :
ν = 2.47 × 1015 (Z − 1)2 .
• model Bohra
• E = hν = Ei − Ef =
me e2 (qn )2
8h2 0
1
n2
f
−
1
n2
i
• dla qn = (Z − 1)e elektron z powłoki L
widzi ładunek jadra
˛
Z − 1, ni = 2, nf = 1
4
• ν = me3e 2 3 (Z − 1)2 =
4
8h 0
2.48 × 1015 (Z − 1)2 Hz
• w linii L, k2 = −7.4 (degeneracja
•
• odkrycie 1913, publikacja 1914
poziomów energetycznych atomu
wodoru)
Model Bohra
Atomy
Widma charakterystyczne promieniowania X i liczba atomowa
•
• wniosek: układ okresowy pierwiastków
porzadkuje
˛
liczba atomowa (ładunek jadra)
˛
raczej niż masa atomowa (jak przed
Moseleyem)
• przyporzadkowanie
˛
Z pierwiastkom z układu
okresowego
• potas (Z = 19, A = 39.10) za argonem
(Z = 18, A = 39.95) - zgodnie z
własnościami chemicznymi
•
• Z = 43, 61, 72, 75 - do odkrycia i nazwania
(Tc 1937, Pm 1945- brak stabilnych
izotopów, sztucznie synetyzowane)
• najwiekszy
˛
sukces modelu Bohra
Model Bohra
Atomy
doświadczenie Francka-Hertza 1914
• lampa z parami rteci:
˛ wzbudzanie atomów elektronami
•
• przeprowadzone tuż po ogłoszeniu modelu Bohra
• 4.88 eV najniższy stan wzbudzony rteci
˛
• 1925 Nobel dla Francka i Hertza
Model Bohra
Atomy
sukcesy i ograniczenia modelu Bohra
• wprowadza: poziom energetyczny
• struktura powłokowa atomów
• przewiduje przesuniecia
˛
izotopowe dla
wodoru
• przewiduje zależność linii Kα od Z
• nie obsługuje atomów
wieloelektronowych
• nie tłumaczy intensywności linii,
struktury subtelnej
• nie tłumaczy wiaza
˛ ń chemicznych
Model Bohra