1. Budowa i rodzaje twierdzeń

Dydaktyka matematyki 3 (DYD 450)
Ćwiczenia 1.
13 marca 2009
Rozgrzewka
— Jasiu, jeśli w zeszłe urodziny skończyłeś siedem lat,
to ile skończysz w następne urodziny?
— Dziewięć.
— Siadaj, jedynka.
— Nie no, jedynka w urodziny?!
Oznaczenia:
V zadania rozwiązywane na ćwiczeniach
zadanie domowe
Sformułuj twierdzenie, o którym myślał nauczyciel.
Nie zapomnij o założeniu, o którym on zapomniał.
1. Budowa i rodzaje twierdzeń
Zagadnienia
—
—
—
—
—
Przykłady twierdzeń
Twierdzenia w postaci implikacji. Założenie i teza.
Warunek konieczny i warunek dostateczny
Kwadrat logiczny
Twierdzenia w postaci równoważności. Twierdzenia typu „NWSR”
implikacja odwrotna
Z⇒T
T ⇒Z
¬Z ⇒ ¬T
¬T ⇒ ¬Z
implikacja przeciwstawna
implikacja przeciwna
— Implikacje połączone przekątną (
— Implikacje połączone pionową linią (
wszystkie możliwości).
) są równoważne.
) tworzą zamknięty układ implikacji (ich poprzedniki wyczerpują
) jest równoważna zdaniu Z ⇔ T .
— Koniunkcja implikacji połączonych poziomą linią (
Zadania
V
1. Sformułuj w postaci implikacji twierdzenie. Wskaż założenie i tezę.
Sformułuj twierdzenie odwrotne.
a) Przekątne rombu dzielą się na połowy i są prostopadłe.
b) Każda liczba podzielna przez 9 jest podzielna przez 3.
c) Kwadrat liczby większej od 12 jest większy od 144.
d) Kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą.
e) W równologłoboku przeciwległe kąty mają równe miary.
f) W trójkącie prostokątnym suma miar kątów ostrych jest równa 90◦ .
1
V
V
V
2. Uzupełnij luki w tekście, wpisując w miejsc kropek wyrazy koniecznym,dostatecznym lub koniecznym i
dostatecznym.
a) Warunkiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . na to, by trójkąt był równoramienny, jest
równość jego kątów.
b) Podzielność liczby całkowitej przez 3 i 7 jest warunkiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
jej podzielności przez 21.
c) Podzielność liczby całkowitej przez 2 i 7 jest warunkiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
jej podzielności przez 28.
d) Podzielność liczby całkowitej przez 10 jest warunkiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
jej podzielności przez 5.
e) Warunkiem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . na to, by czworokąt był kwadratem jest
równość jego przekątnych.
3. Do
ich
a)
b)
podanych implikacji sformułuj implikacje odwrotne, przeciwne i przeciwstawne oraz zastanów się nad
prawdziwością.
Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 2, to jej cyfra jedności jest podzielna przez 2.
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości dwóch jego boków jest równa kwadratowi
trzeciego boku.
c) Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p + 1 jest liczbą złożoną.
d) Jeżeli 5|mn, to 5|m ∨ 5|n.
2. Dowodzenie twierdzeń
Zagadnienia
— Zadadnienia dydaktyczne związane z procesem dowodzenia
— Trudności związane z dowodzeniem
— Dowody dedukcyjne
— Dowody redukcyjne
— Dowody nie wprost
(Indukcja matematyczna – na następnych zajęciach.)
V
V
Zadania
1. Udowodnij twierdzenie: jeżeli a jest dowolną liczbą dodatnią, to a + a1 ­ 2
a) stosując rozumowanie dedukcyjne;
b) stosując rozumowanie redukcyjne.
√
2. Dla dowolnych różnych liczb a i b takich, że ab ­ 0 zachodzi nierówność a+b
ab. Udowodnij to twierdzenie
2 >
a) stosując rozumowanie dedukcyjne;
b) stosując rozymowanie redukcyjne;
c) metodą nie wprost;
d) geometrycznie.
3. Dziecko mówi: Nie jadłem czarnych jagód. Gdybym je jadł, miałbym usta czarne, a mam czyste 1 . Podaj
kilka innych przykładów potocznych rozumowań nie wprost.
4. Podaj przykład wnioskowania opartego na poniższych implikacjach. Sprawdź czy te formuły są tautologiami.
a) ((p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
b) [(p ∨ q) ∧ ¬p] ⇒ q
c) [(p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p
d) [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) ⇒ [(p ∨ q) ⇒ r]
e) [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ s)] ⇒ [(p ∨ q) ⇒ (r ∨
√s)]
5. Przypomnij sobie klasyczny dowód, że 2 jest liczbą niewymierną. Sformułuj tautologię, na której opiera
się to rozumowanie.
6. Udowodnij metodą Euklidesa, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
7. Liczba a jest niewymierna, a liczba w jest wymierna. Jaką liczbą, wymierną czy niewymierną, jest a − w?
Udowodnij to.
8. Udowodnij, że iloraz liczby wymiernej różnej od zera przez liczbę niewymierną jest liczbą niewymierną.
9. Udowodnij, że nie istnieje trójka liczb rzeczywistych (a, b, c) spełniających układ równań
2
a + b2 + c2 = 23
a + 2b + 4c = 22
1
Przykład z podręcznika S. Kulczyckiego z 1953 roku.
2
V
(modyfikacja zadania z Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów). Podaj ciąg wskazówek, które mogłyby
pomóc uczniowi w samodzielnym przeprowadzeniu
dowodu.
p
p
√
√
3
3
10. Wykaż bez użycia kalkulatora i tablic, że 5 2 + 7 − 5 2 − 7 jest liczbą całkowitą (zadanie maturalne
z 2005 roku, poziom rozszerzony). Podaj ciąg wskazówek, które mogłyby pomóc uczniowi w samodzielnym
przeprowadzeniu dowodu.
11. Ilustracja poniżej przedstawia zadanie prowadzące uczniów przez dowód pewnego twierdzenia (podręcznik
Matematyka 2001, klasa 2. gimnazjum).
a) Wykonaj po kolei opisane czynności. Jakie twierdzenie udowodniłeś?
b) Zaprojektuj analogiczne zadanie (cykl wskazówek) dla uczniów liceum, przedstawiające dowód następującego twierdzenia o dwusiecznej: W dowolnym trójkącie dwusieczna kąta wewnętrznego dzieli przeciwległy
bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych temu kątowi.
Inne informacje i zadanie domowe na stronie http://amu.edu.pl/~tkarolak