Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna
1
Zasada indukcji
Rozpatrzmy najpierw następujący przykład.
Przykład 1 Oblicz sumę 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).
Dyskusja. Widzimy, że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest 2n − 1 = 1, czyli
suma składa się tylko z jednego składnika: 1. Jeśli wprowadzimy oznaczenie
Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1),
to możemy napisać: S1 = 1. Widać, że S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9. Można policzyć, że
S4 = 16, S5 = 25, a nawet S6 = 36. Widzimy już, że powinno być Sn = n2 .
Czy można to jakoś uzasadnić? Trzeba się przyjrzeć, w jaki sposób otrzymujemy kolejne Sn .
Na przykład, jeśli mamy już obliczone S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, to S7 = 1 + 3 +
5 + 7 + 9 + 11 + 13 nie będziemy liczyli od początku, tylko wykorzystamy oczywistą zależność
S7 = S6 + 13 = 36 + 13 = 49. Podobnie S8 = S7 + 15 = 49 + 15 = 64 i tak dalej.
Zwróćmy uwagę na to, co należy dodać do Sn , żeby otrzymać Sn+1 . Otóż
S7 = S6 + (2 · 7 − 1) = 62 + 2 · 6 + 1 = (6 + 1)2 = 72
oraz
S8 = S7 + (2 · 8 − 1) = 72 + 2 · 7 + 1 = (7 + 1)2 = 82 .
I tu dopiero mamy pewność, że można to ciągnąć dalej i zawsze będzie Sn = n2 . Nasza pewność
bierze się stąd, że jeśli Sn = n2 , to
Sn+1 = Sn + (2 · (n + 1) − 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Ten ostatni rachunek pokazuje, że dla każdego n zachodzi implikacja (wynikanie):
Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n + 1)2 .
Oznacza to, że prawdziwe są następujące implikacje:
S1 = 12 ⇒ S2 = 22 ,
S2 = 22 ⇒ S3 = 32 ,
S3 = 32 ⇒ S4 = 42 ,
...
Jeśli zatem sprawdzimy, że S1 = 12 , to z tego będzie wynikała równość S2 = 22 , a z tego z kolei
będzie wynikało, że S3 = 32 , i tak dalej dla kolejnych liczb naturalnych.
Podsumujmy nasze obserwacje. Jeśli chcemy udowodnić równość Sn = n2 dla dowolnego
naturalnego n > 1, to wystarczy sprawdzić dwie rzeczy:
(I) S1 = 12 .
(II) Dla każdego naturalnego n > 1 zachodzi implikacja Sn = n2 ⇒ Sn+1 = (n + 1)2 .
Pytanie 2 (a) Przypuśćmy, że sprawdziliśmy pewien wzór dla n = 2 i udowodniliśmy, że dla
dowolnego naturalnego n, z prawdziwości tego wzoru dla liczby n wynika jego prawdziwość dla
liczby 2n. Dla jakich n możemy ten wzór uważać za udowodniony?
(b) Wiadomo, że do pewnego zbioru A należy liczba 3. Wiadomo również, że (dla dowolnej liczby
naturalnej n) jeśli n należy do zbioru A, to n2 należy do zbioru A. Jakie liczby „muszą” należeć
do zbioru A?
1
Ułóż kilka pytań podobnych do postawionych wyżej i znajdź na nie odpowiedzi.
Zapamiętajmy, że jeśli chcemy udowodnić twierdzenie T (n) dla każdego naturalnego n > 1,
to możemy się posłużyć metodą indukcji matematycznej. Dowód tą metodą składa się z dwóch
elementów – bazy indukcji i kroku indukcyjnego.
(I) Baza indukcji: T (1).
(II) Krok indukcyjny: ∀n>1 (T (n) ⇒ T (n + 1)), gdzie symbol ∀n>1 oznacza „dla każdego n > 1”.
Pytanie 3 Co oznacza zapis ∀n>1 (T (n) ⇒ T (n+1)), a co oznacza zapis (∀n>1 T (n)) ⇒ T (n+1).
Na czym polega różnica między tymi zdaniami?
Zadanie 4 Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 zachodzą równości:
(a) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n·(n+1)·(n+2)
,
3
1
1
1
1
n
(b) 1·2 + 2·3 + 3·4 + . . . + n·n+1 = n+1 ,
(c) 13 + 23 + 33 + . . . + n3 = ( n(n+1)
)2 ,
2
(d) 12 + 32 + 52 + . . . + (2n − 1)2 =
(e) 1 + q + q 2 + . . . + q n−1 =
1−q n
1−q ,
n(4n2 −1)
,
3
gdzie q 6= 1.
Czasami twierdzenie ma sens i jest prawdziwe również dla n = 0. Wówczas za bazę indukcji
możemy przyjąć n = 0, ale wtedy krok indukcyjny trzeba udowodnić dla dowolnego naturalnego
n > 0. Schemat dowodu wygląda więc następująco:
(I) Baza indukcji: T (0).
(II) Krok indukcyjny: ∀n>0 (T (n) ⇒ T (n + 1)).
Zadanie 5 Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Wykaż, że:
(a) liczba 22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9,
(b) liczba 7n+2 + 82n+1 jest podzielna przez 57,
(c) liczba 2n+2 · 3n + 5n − 4 jest podzielna przez 25,
(d) liczba 33n+2 + 5 · 23n+1 jest podzielna przez 19,
(e) liczba 55n+1 + 45n+2 + 35n jest podzielna przez 11.
2
Mocna wersja zasady indukcji
Pytanie 6 (a) Wiadomo, że twierdzenie T (n) jest prawdziwe dla n = 3 i n = 5. Ponadto,
dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeń T (n) i T (n + 2) wynika prawdziwość
twierdzenia T (n + 4). Dla jakich n twierdzenie T (n) jest prawdziwe?
(b) Do zbioru A należą liczby 10, 11 i 12. Ponadto, dla dowolnej liczby naturalnej n, jeśli
n, n + 1, n + 2 ∈ A, to n + 3 ∈ A. Jakie liczby na pewno należą do zbioru A?
Rozważmy następującą sytuację. Pewne twierdzenie T (n) jest prawdziwe dla n = 0 i n = 1.
Ponadto, dla dowolnego naturalnego n, z prawdziwości twierdzeń T (n) i T (n + 1) wynika prawdziwość twierdzenia T (n + 2). Wówczas twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego naturalnego
n.
Według takiego schematu będzie przebiegał dowód indukcyjny w następnym zadaniu. Zapiszmy ten schemat symbolicznie.
(I) Baza indukcji: T (0) ∧ T (1).
(II) Krok indukcyjny: ∀n>0 (T (n) ∧ T (n + 1) ⇒ T (n + 2)).
2
Zadanie 7 Ciąg (xn ) spełnia warunki: x1 = 1, x2 = 3, xn+2 = 2xn+1 + xn dla n = 1, 2, 3, . . .
Wykaż, że
√
√
(1 + 2)n + (1 − 2)n
xn =
2
dla n = 1, 2, 3, . . .
Następne zadanie jest podobne, ale zamiast o ciągu, mówimy w nim o funkcji z N do N.
Zadanie 8 Funkcja f : N → N jest określona następująco:
f (0) = 2,
f (1) = 5,
f (n + 2) = 5f (n + 1) − 6f (n) dla każdego n ∈ N.
Udowodnij, że f (n) = 2n + 3n dla każdego n.
Jaki schemat rozumowania należy zastosować w następującym zadaniu?
Zadanie 9 Ciąg (an ) określają następujące warunki:
a0 = 2,
a1 = 3,
a2 = 6,
an = (n + 4)an−1 − 4nan−2 + 4(n − 2)an−3 dla n > 3.
Udowodnij, że an = n! + 2n dla każdego n.
W zadaniu 11 zastosujemy taki schemat dowodu:
(I) Baza indukcji: T (2).
(II) Krok indukcyjny: ∀n>2 (T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n)).
Pytanie 10 Dlaczego w punkcie (II) jest „n > 2”, a nie „n > 2”?
Zadanie 11 Dowieść, że dowolną liczbę naturalną większą od 1 można przedstawić w postaci
iloczynu liczb pierwszych. (Jeśli n jest liczbą pierwszą, to iloczyn ten składa się tylko z jednego
czynnika n.)
W pozostałych dwóch zadaniach należy udowodnić, że ciąg lub funkcja są jednoznacznie
określone przez pewne warunki.
Zadanie 12 Dane są liczby naturalne a, b, p, q. Udowodnij, że istnieje dokładnie jeden ciąg liczb
naturalnych (xn ) spełniający warunki: x0 = a, x1 = b, xn+2 = pxn+1 + qxn dla n = 0, 1, 2, . . .
Zadanie 13 Dane są liczby naturalne a0 , a1 , . . . , ak−1 oraz funkcja g: Nk → N. Udowodnij, że
istnieje dokładnie jedna funkcja f : N → N taka, że f (n) = an dla n = 0, 1, . . . , k − 1 oraz
f (n + k) = g(an , an+1 , . . . , an+k−1 ) dla n ∈ N.
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
2 Odpowiedź. (a) Dla n = 2k , gdzie k = 1, 2, 3, . . .
k
(b) Liczby postaci 32 , gdzie k = 0, 1, 2, . . .
3 Odpowiedź. Zapis ∀n>1 (T (n) ⇒ T (n + 1)) to skrócona forma zapisu
(?)
(T (1) ⇒ T (2)) ∧ (T (2) ⇒ T (3)) ∧ (T (3) ⇒ T (4)) ∧ . . . ,
3
a zapis (∀n>1 T (n)) ⇒ T (n + 1) to skrócona forma zapisu
(??)
(T (1) ∧ T (2) ∧ T (3) ∧ . . .) ⇒ T (n + 1).
Jeśli udowodnimy prawdziwość zdania (?), to wystarczy sprawdzić, że zachodzi T (1), żeby
wywnioskować stąd prawdziwość twierdzeń T (2), T (3), T (4) i tak dalej.
Zdanie (??) jest w oczywisty sposób prawdziwe, jeśli za n wstawimy jakąkolwiek liczbę naturalną. Jednak to zdanie kompletnie do niczego się nie przydaje. Dlatego w kroku indukcyjnym
nie wolno pisać: „Załóżmy, że dla każdego naturalnego n twierdzenie jest prawdziwe.”
4 (a) Rozwiązanie.
(I) Baza indukcji.
Dla n = 1 równość jest oczywista:
1·2=
1·2·3
.
3
(II) Krok indukcyjny.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dana w zadaniu równość zachodzi dla n:
1 · 2 + . . . + n · (n + 1) =
n · (n + 1) · (n + 2)
.
3
Wówczas dla n + 1 mamy:
1 · 2 + . . . + n · (n + 1) + (n + 1) · (n + 2) =
= (n + 1) · (n + 2) ·
n · (n + 1) · (n + 2)
+ (n + 1) · (n + 2) =
3
n
(n + 1) · (n + 2) · (n + 3)
+1 =
,
3
3
czyli dla n + 1 równość jest prawdziwa.
Na mocy zasady indukcji matematycznej równość
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) =
n · (n + 1) · (n + 2)
3
zachodzi dla dowolnego naturalnego n > 1.
5 (a) Rozwiązanie. Dla n = 0 mamy liczbę 22·0+1 + 3 · 0 + 7 = 9, która jest, oczywiście,
podzielna przez 9.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że dla n twierdzenie jest prawdziwe, czyli
liczba 22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9. Wówczas
22(n+1)+1 + 3(n + 1) + 7 = 22n+3 + 3n + 3 + 7 = 4 · 22n+1 + 3n + 10 = 4 · (22n+1 + 3n + 7) − 9n − 18.
Liczby 9n i 18 są podzielne przez 9, liczba 22n+1 + 3n + 7 też (z założenia indukcyjnego), więc
liczba 22(n+1)+1 + 3(n + 1) + 7 również jest podzielna przez 9, czyli dla n + 1 twierdzenie jest
prawdziwe.
Na mocy indukcji matematycznej liczba 22n+1 + 3n + 7 jest podzielna przez 9 dla dowolnego
naturalnego n.
6 Odpowiedź. (a) Dla n = 3 + 2k, gdzie k = 0, 1, 2, . . .
(b) Liczby naturalne większe lub równe 10.
4
9 Rozwiązanie. Mamy
a0 = 0! + 20 ,
a1 = 1! + 21 ,
a2 = 2! + 22 ,
więc dla n = 0, 1, 2 twierdzenie jest prawdziwe.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że
an = n! + 2n ,
an+1 = (n + 1)! + 2n+1
i
an+2 = (n + 2)! + 2n+2 .
Wówczas dla n + 3 mamy
an+3 = (n + 7)an+2 − 4(n + 3)an+1 + 4(n + 1)an =
= (n + 7)((n + 2)! + 2n+2 ) − 4(n + 3)((n + 1)! + 2n+1 ) + 4(n + 1)(n! + 2n ) =
= tu jest trochę rachunków = (n + 3)! + 2n+3 ,
czyli dla n + 3 twierdzenie jest prawdziwe.
Na mocy indukcji wzór an = n! + 2n zachodzi dla dowolnego naturalnego n.
11 Rozwiązanie. Oczywiście n = 2 jest liczbą pierwszą, czyli iloczynem jednej liczby pierwszej
– samej siebie.
Niech n będzie dowolną liczbą naturalną większą od 2. Załóżmy, że każdą liczbę naturalną
mniejszą od n można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Pokażemy, że n też
można. Jesli n jest liczbą pierwszą, to teza dla n zachodzi. Jeśli n jest liczbą złożoną, to można
ją przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb od niej mniejszych, ale większych od 1: n = k · l,
1 < k, l < n. Na mocy założenia zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p1 ·. . .·pi ,
l = q1 · . . . · qj , zatem n = k · l też, oczywiście można tak przedstawić: n = p1 · . . . · pi · q1 · . . . · qj ,
co kończy dowód kroku indukcyjnego.
13 Wskazówka. Pokaż indukcyjnie, że dla każdego m ∈ N istnieje dokładnie jedna funkcja
fm : {0, 1, . . . , m + k} → N taka, że fm (n) = an dla n = 0, 1, . . . , k − 1 oraz fm (n + k) =
g(an , an+1 , . . . , an+k−1 ) dla n = 0, 1, . . . , m.
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.
Indukcja matematyczna, wersja trzecia, 12 II 2003.
5