Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Z zasadą indukcji matematycznej i dowodami indukcyjnymi sytuacja jest najczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady indukcji matematycznej, a następnie omawia, jak przeprowadzamy dowody indukcyjne. Bez dodatkowych wyjaśnień, większość uczniów nie wie jednak, dlaczego dowód indukcyjny wygląda tak, a nie inaczej, a zwłaszcza, dlaczego w tym dowodzie coś się zakłada i w oparciu o to założenie dowodzi coś innego. Wyjaśnimy te wątpliwości, a następnie przeprowadzimy kilka przykładowych dowodów indukcyjnych. Zapiszemy najpierw zasadę indukcji matematycznej słownie: Jeżeli: twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n0, oraz z prawdziwości twierdzenia T dla liczby naturalnej n ≥ n0 wynika prawdziwość twierdzenia T dla liczby n+1, to twierdzenie T jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ n0. a teraz symbolicznie (zapis T(k) oznacza, że twierdzenie T jest spełnione dla liczby k): 1. 2. T(n 0 ) , n 0 ∈ N Λ n≥n0 n∈N [T(n) ⇒ T(n + 1)] ⇒ Λ T(n) n≥ n 0 n∈N Jak widać, zasada indukcji matematycznej jest twierdzeniem, które mówi, że jeżeli spełnione są dwa założenia, to twierdzenie T dotyczące pewnego podzbioru zbioru liczb naturalnych można uważać za prawdziwe (udowodnione). Jest to tym samym wygodny aparat do udowadniania twierdzeń dotyczących zbioru {n0 , n0 + 1, n0 + 2,...} , n 0 ∈ N . Sama zasada indukcji matematycznej jest też twierdzeniem, i należy z niej korzystać zgodnie z regułami wnioskowania. O tym, jak należy korzystać z twierdzeń zapisanych w postaci implikacji, mówi tzw. reguła odrywania. Oto ona: Z⇒T Z T Ten skrócony zapis należy rozumieć następująco: „Jeżeli: a) prawdziwe (udowodnione) jest twierdzenie Z ⇒ T , b) prawdziwe są założenia Z tego twierdzenia, to dopiero wtedy możemy korzystać z tezy T (czyli „oderwać założenie od tezy)”. Przykład: Prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa. Trójkąt o bokach długości a,b,c jest prostokątny (c – przeciwprostokątna). Teraz dopiero możemy stwierdzić, że a 2 + b 2 = c 2 . Nie można tego równania napisać bez wcześniejszego stwierdzenia, że trójkąt jest prostokątny! Podobnie sprawy się mają z zasadą indukcji matematycznej, gdyż ona również ma postać implikacji: a) zasada indukcji matematycznej jest udowodniona (prawdziwa), 1. T(n 0 ) , n 0 ∈ N b) jeżeli sprawdzimy, że spełnione są dwa założenia: 2. Λ [T(n ) ⇒ T(n + 1)] nn∈≥ nN0 to na tej podstawie możemy uważać twierdzenie T za prawdziwe (udowodnione). T(n 0 ) jest łatwo sprawdzić – wystarczy do badanego twierdzenia wstawić liczbę naturalną n 0 . Jak sprawdzić, czy prawdziwe jest owo „wynikanie”, czyli implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) ? Odwołajmy się tu do własności implikacji. Oto tabela wartości logicznych implikacji (przyjęto: 1=prawda, 0=fałsz): T(n ) ⇒ T(n + 1) T(n) T(n+1) 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Z tabeli wynika, że jeżeli T(n) jest fałszywe, to nie ma co sprawdzać – wtedy implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) jest prawdziwa. Interesuje nas tylko przypadek, gdy T(n) jest prawdziwe. Wtedy: a) gdy T(n+1) jest prawdziwe, to implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) jest prawdziwa, b) gdy T(n+1) jest fałszywe, to implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) jest fałszywa. Dlatego właśnie dowód indukcyjny wygląda w ten sposób: 1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia T dla liczby n0. 2. Zakładamy, że twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby n ≥ n 0 : T(n), bo tylko w tym przypadku implikacja może być fałszywa. Jest to tzw. „założenie indukcyjne”. 3. Sprawdzamy, czy z założenia 2. wynika prawdziwość twierdzenia T dla liczby n+1: T(n+1). Jeżeli na punkty 1. i 3. odpowiedź brzmi: TAK, to twierdzenie T zostało udowodnione. Jeżeli na któryś z tych punktów odpowiedź byłaby: NIE, to twierdzenie jest fałszywe. Przykłady. Zadanie 1. Udowodnij, ze dla każdego naturalnego n liczba 4n + 15n − 1 jest podzielna przez 9. Dowód indukcyjny. Sprawdzamy dla n=1: 41 + 15 ⋅ 1 − 1 = 18 - ta liczba dzieli się przez 9. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 1 , tzn. 9 / 4n + 15n − 1 . ( ) Jeżeli teraz udowodnimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn. 9 / 4n + 1 + 15(n + 1) − 1 , to na mocy zasady indukcji matematycznej dowód będzie zakończony. 4n + 1 + 15(n + 1) − 1 = 4 ⋅ 4n + 15n + 15 − 1 = 4 ⋅ (4n + 15n − 1) − 3 ⋅ 15n + 18 = ( ) = 4 ⋅ (4n + 15n − 1) dzieli się przez 9 z założenia − 9 ⋅ (5n − 2) dzieli się przez 9 co kończy dowód. Zadanie 2. Udowodnij, ze dla każdego n ∈ N + zachodzi: 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) = n( 3n + 1) Dowód indukcyjny. Sprawdzamy dla n=1: 6 ⋅ 1 − 2 = 4 , czyli dla n=1 równanie przyjmuje postać 4 = 1 ⋅ ( 3 ⋅ 1 + 1) ⇔ 4 = 4 , więc jest prawdziwe. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ∈ N + , tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) = n( 3n + 1) . Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) + (6(n + 1) − 2) = (n + 1)( 3(n + 1) + 1) . tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) + (6(n + 1) − 2) = (na mocy założenia) = n( 3n + 1) + (6(n + 1) − 2) = 3n 2 + n + 6n + 4 = 3n 2 + 7n + 4 Wyrażenie to zapiszemy w postaci iloczynowej: − 7−1 4 −7+1 ∆ = 49 − 48 = 1 , n1 = = − , n2 = = −1 6 3 6 4 dalej: 3n 2 + 7n + 4 = 3(n + 1) n + = (n + 1)( 3n + 4) = (n + 1)( 3(n + 1) + 1) , 3 co kończy dowód. Zadanie 3. Udowodnij, ze dla każdego n ∈ N + zachodzi: 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1)( 3n + 4) Dowód indukcyjny. Sprawdzamy dla n=1: 6 ⋅ 1 + 4 = 10 , czyli dla n=1 równanie przyjmuje postać 4 + 10 = (1 + 1) ⋅ ( 3 ⋅ 1 + 4) ⇔ 14 = 14 , więc jest prawdziwe. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ∈ N + , tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1)( 3n + 4) Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) + (6(n + 1) + 4) = (n + 1 + 1)( 3(n + 1) + 4) . 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) + (6(n + 1) + 4) = (na mocy założenia) (n + 1)( 3n + 4) + (6(n + 1) + 4) = 3n 2 + 4n + 3n + 4 + 6n + 10 = 3n 2 + 13n + 14 − 13 − 1 7 − 13 + 1 ∆ = 169 − 168 = 1 , n1 = = − , n2 = = −2 6 3 6 7 3n 2 + 13n + 1 = 3(n + 2) n + = (n + 2)(3n + 7) = (n + 2)( 3(n + 1) + 4) , 3 co kończy dowód. Zadanie 4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność: 2n > 2n ? Sformułuj hipotezę i udowodnij ją indukcyjnie. Rozwiązanie. Sprawdzamy: n = 1 : 21 > 2 ⋅ 1 - fałsz n = 2 : 2 2 > 2 ⋅ 2 - fałsz n = 3 : 2 3 > 2 ⋅ 3 - prawda n = 4 : 24 > 2 ⋅ 4 - prawda n = 5 : 25 > 2 ⋅ 5 - prawda Hipoteza: 2n > 2n dla n ≥ 3 . Dowód indukcyjny. Dla n=3 twierdzenie jest prawdziwe, co już sprawdzaliśmy. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 3 , tzn. 2n > 2n . Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn. 2n + 1 > 2(n + 1) . 2n + 1 = 2 ⋅ 2n = 2n + 2n > (dla n ≥ 3 : 2n > 2 ) > 2n + 2 > (założenie 2n > 2n ) > 2n + 2 = 2(n + 1) , co kończy dowód. Zadanie 5. Ciąg (an ) jest określony wzorem rekurencyjnym: a1 = A a 2 = 2 A a = 2a − a , n ∈ N n +1 n n+ 2 Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu. Rozwiązanie. Dla n=1: a 3 = 2a 2 − a1 = 2 ⋅ 2 A − A = 3 A Dla n=2: a 4 = 2a 3 − a 2 = 2 ⋅ 3 A − 2A = 4A Dla n=3: a 5 = 2a 4 − a 3 = 2 ⋅ 4 A − 3 A = 5 A Stawiamy hipotezę: dla n ≥ 1 zachodzi an = n ⋅ A . Dowód indukcyjny. Prawdziwość twierdzenia dla n=1 i n=2 już sprawdziliśmy. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnych naturalnych n oraz n+1(*), czyli, że an = n ⋅ A i an + 1 = (n + 1) ⋅ A . Należy udowodnić, że a n + 2 = (n + 2) ⋅ A an + 2 = 2an + 1 − an = 2(n + 1) ⋅ A − n ⋅ A = (n + 2) ⋅ A , co kończy dowód. ( ) * Zakładamy, że twierdzenie jest dla dwóch kolejnych liczb, i z tego ma wynikać prawdziwość twierdzenia dla następnej liczby naturalnej. Przyczyną takiego postępowania jest definicja rekurencyjna – kolejne wyrazy są liczone za pomocą dwóch poprzednich wyrazów. Jest to dopuszczalne. Zastosowano w ten sposób „zmutowaną” wersję zasady indukcji matematycznej: 1. T(n 0 ) i T(n 0 + 1) , n 0 ∈ N ⇒ Λ T(n) 2. Λ [T(n ) i T(n + 1)] ⇒ T(n + 2) n≥ n 0 n≥ n 0 n∈N n∈N Drugie założenie mówi, ze dla dowolnego naturalnego n ≥ n 0 z prawdziwości twierdzenia dla dwóch kolejnych liczb n oraz n+1, wynika prawdziwość dla liczby n+2.