Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 1 W logice zdanie oznacza

Analiza Matematyczna 1 dla EMiF, lista 1
W logice zdanie oznacza zawsze zdanie oznajmujące, prawdziwe lub fałszywe.
Zaprzeczeniem ¬α (czytaj: nieprawda, że alfa) zdania prawdziwego α jest zdanie fałszywe, a zaprzeczeniem fałszywego — zdanie prawdziwe.
Alternatywa α ∨ β (czytaj: alfa lub beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe.
Koniunkcja α∧β (alfa i beta) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania, i α i β są prawdziwe.
Implikacja α =⇒ β (czytaj: jeżeli alfa, to beta) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie α jest
prawdziwe, a zdanie β fałszywe. Zdanie α jest poprzednikiem, a zdanie β następnikiem implikacji.
Większość twierdzeń matematyki jest sformułowana w postaci implikacji. Zdanie α jest wtedy założeniem
twierdzenia, a zdanie β jego tezą.
Kwantyfikator ogólny, oznaczany zwykle symbolem ∀, czytamy: dla każdego. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∀x ∈ R (x2 ­ 0) odczytujemy: dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność
x2 jest większe bądź równe zero.
Zwrot dla każdej liczby rzeczywistej x oznacza to samo, co dla wszystkich liczb rzeczywistych x.
Kwantyfikator szczegółowy, oznaczany zwykle symbolem ∃, czytamy: istnieje. Na przykład zdanie
zapisane symbolicznie ∃x ∈ R (x2 = 2) odczytujemy: istnieje taka liczba rzeczywista x, której kwadrat jest
równy 2. Łatwo zapamiętać kwantyfikatory, kojarząc ∀ z angielskim wyrazem All, a ∃ z Exists.
Zadanie 1. Dla tych z poniższych zdań, które są zdaniami w sensie logiki, podaj ich wartość logiczną.
√
√
√
√ √
√
d) log2 210 = 10,
e) x + 3 = 1
a) π3 = 1, b) 5 + 3 = 8, c) 5 · 3 = 15,
2
2
2
f) x > 0, g) ∀x ∈ R (x > 0), h) ∃x ∈ R (x > 0), i) ∃x ∈ R (x2 > 2x ), j) ∃x ∈ R (x2 < 2x ).
Zadanie 2. Powyższe definicje podają, kiedy alternatywa i implikacja są fałszywe. Jakie warunki powinny
spełniać zdania α i β, aby prawdziwa była: a) alternatywa; b) implikacja? Sprawdź, że zachodzą prawa
de Morgana: ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β oraz ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β.
Zadanie 3. Podstawiając kolejno 4 możliwości (α i β prawdziwe, α i β fałszywe, ...) sprawdź, że implikacja
α =⇒ β jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwa jest implikacja (¬β) =⇒ (¬α), zwana
kontrapozycją implikacji α =⇒ β. Uwaga: Czasem łatwiej udowodnić kontrapozycję twierdzenia niż samo
twierdzenie.
Zadanie 4. Zapisz przy użyciu spójników logicznych i oraz lub rozwiązania poniższych równań lub nierówności:
a) (a + 3)(b − 2) = 0,
b) (a + 3)(b − 2) 6= 0,
c) (a + 3)(b − 2) > 0,
d)
a+3
b−2
¬ 0.
Zadanie 5. Prawdziwe jest twierdzenie: Jeżeli liczba naturalna jest podzielna przez 12, to jest podzielna
przez 3. Wskaż założenie i tezę tego twierdzenia. Na podstawie tego twierdzenia podaj warunek wystarczający podzielności przez 3. Dlaczego nie jest to warunek konieczny? Podaj warunek konieczny i wystarczający podzielności liczby naturalnej przez 3. To samo dla liczby 9. Ten ostatni warunek łatwo udowodnić.
Spróbuj to zrobić!
Zadanie 6. Niech x, y ∈ R. Prawdziwa jest implikacja: (x > 0 i y > 0) =⇒ (x · y > 0).
Wskaż założenie i tezę twierdzenia.
a) Wiadomo, że (α > 1 i β > −1). Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku iloczynu
(α − 1)(β + 1)? A o znaku iloczynu α · β? Podaj przykłady.
b) Wiadomo, że αβ > 0. Czy powyższe twierdzenie pozwala wyciągnąć wniosek o znaku liczb α, β?
c) Wiadomo, że γδ < 0. Jaki wniosek o znakach liczb γ, δ pozwala wyciągnąć powyższe twierdzenie?
Zadanie 7*. Oto fikcyjny fragment raportu policji, sporządzony przez młodego aspiranta:
Świadek nie był zastraszony, lub też, jeśli Henryk popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono. Jeśli świadek był zastraszony, to Henryk nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono, to Henryk
popełnił samobójstwo. Jeśli Henryk nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.
Co komendant może wywnioskować z tego raportu poza oczywistym wnioskiem, że należy zwolnić aspiranta? Spróbuj odpowiedzieć na pytania:
a) Czy świadek był zastraszony? b) Czy Henryk popełnił samobójstwo? c) Czy testament odnaleziono?