AlgTM Zestaw 1 1. Sprawdzić (metodą uproszczoną) czy podana

AlgTM
Zestaw 1
1. Sprawdzić (metodą uproszczoną) czy podana formuła jest tautologią rachunku zdań.
1.1. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)] ⇒ [(p ∨ r) ⇒ (q ∨ s)],
1.2. [(p ∧ q) ⇒ r] ⇒ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)],
1.3. [((t ⇒ r) ∨ (s ⇒∼ p)) ⇒∼ s] ⇒ [(p∧ ∼ r) ∨ (s ⇒ (p ∧ t))].
2. Oto fragment raportu policji sporządzony przez młodego aspiranta:
Świadek był zastraszony lub też, jeśli Henry popełnił samobójstwo, to testament odnaleziono.
Jeśli świadek był zastraszony, to Henry nie popełnił samobójstwa. Jeśli testament odnaleziono,
to Henry popełnił samobójstwo. Jeśli Henry nie popełnił samobójstwa, to testament odnaleziono.
Co komendant policji może wywnioskować z powyższego raportu (poza oczywistym faktem, że
należy zwolnić aspiranta)?
3. Określić wartość logiczną zdań i zapisać ich zaprzeczenia.
3.1. ∀n ∈ N ∃m ∈ N m > n
3.4. ∀x ∈ R (|x| ¬ 0 ⇒ x ¬ 0)
3.2. ∃m ∈ N ∀n ∈ N m > n
3.5. ∀x ∈ R (x < 1 ∨ (∃y ∈ R x = |y|))
3.3. ∃m ∈ N ∀n ∈ N m ¬ n
3.6. ∀m, n ∈ N ∃k ∈ N [m < n ⇒ (m < k ∧ k < n)]
4. Zapisać symbolicznie zdania i formy zdaniowe.
4.1. n jest całkowitą liczbą nieparzystą.
4.2. Istnieje liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej.
4.3. Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych istnieje ich wspólna wielokrotność.
4.4. m jest sumą dwóch różnych liczb nieparzystych.
5. Czy podana formuła jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Udowodnić lub podać kontrprzykład.
5.1. ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇒ ∀x ϕ(x) ∨ ∀x ψ(x)
5.2. [∃x (ϕ(x) ⇒ ψ(x))] ⇒ [(∀x ϕ(x)) ∨ (∃x ψ(x))]
5.3. [∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x))] ⇒ [(∼ ∃x ψ(x)) ⇒ (∃x ϕ(x))]
5.4. ∀x ∃y ϕ(x, y) ⇒ ∀y ∃x ϕ(x, y)
6. Wyznaczyć zbiór elementów x ∈ R spełniających formę zdaniową ϕ(x).
6.1. ϕ(x) : x2 + 3x − 4 > 0 ∧ x < 1
6.2. ϕ(x) : ∃y ∈ R x2 + y 2 = 1
6.3. ϕ(x) : ∃y ∈ R x · y > 5
6.4. ϕ(x) : ∀y ∈ R x < sin y
6.5. ϕ(x) : x < 0 ⇒ x > 5
6.6. ϕ(x) : x < 3 ⇔ x ¬ 7
1