Indukcja Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji Zasada Indukcji Matematycznej - wersja zupełna TWIERDZENIE Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że (1) 0 ∈ S, (2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja k ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S, to S = N. TWIERDZENIE Jeżeli (1) prawdziwe jest zdanie P (0) (2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja P (k) ⇒ P (k + 1), to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > 0. Zasada Indukcji Matematycznej - wersja niezupełna TWIERDZENIE Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że (1) k0 ∈ S, (2) dla każdego k > k0 prawdziwa jest implikacja k ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S, to S ⊇ N − {0, 1, . . . , k0 − 1} . TWIERDZENIE Jeżeli (1) prawdziwe jest zdanie P (k0 ) (2) dla każdego k > k0 prawdziwa jest implikacja P (k) ⇒ P (k + 1), to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > k0 . Zasada Indukcji Matematycznej - wersja porządkowa TWIERDZENIE Jeśli S ⊆ N jest zbiorem liczb naturalnych takim, że (1) 0 ∈ S ^ l ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S, (2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja 06l6k to S zawiera wszystkie liczby naturalne, tzn. S = N. TWIERDZENIE Jeżeli (1) prawdziwe jest zdanie P (0) ^ P (l) ⇒ P (k + 1), (2) dla każdego k > 0 prawdziwa jest implikacja 06l6k to zdanie P (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n > 0. Przykłady Zadanie: Klient zamawia przynajmniej 12 kg towaru. Udowodnić, że jeśli towar jest zapakowany w worki po 4 kg i 5 kg, zawsze można zrealizować zamówienie bez przepakowywania towaru. Twierdzenie Udowodnić indukcyjnie, że każdą liczbę naturalną m > 2 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych (iloczyn może składać się z jednego czynnika). O definiowaniu przez indukcję 1 TWIERDZENIE Dany jest niepusty zbiór A, element a zbioru A oraz funkcja ϕ : A −→ A. Wówczas istnieje dokładnie jedna funkcja f : N −→ A spełniająca warunki: — f (0) = a, — f (n + 1) = ϕ(f (n)) dla n ∈ N. A∗ zbiór wszystkich ciągów skończonych o wyrazach ze zb. A. TWIERDZENIE Dany jest niepusty zbiór A, element a zbioru A oraz funkcja ϕ : A∗ × N −→ A. Wówczas istnieje dokładnie jedna funkcja f : N −→ A spełniająca warunki: — f (0) = a, — f (n + 1) = ϕ(hf (0), . . . , f (n)i, n) dla n ∈ N. Zasada Indukcji Noetherowskiej (strukturalnej) - wersja bardzo nieformalna Definiowanie zbioru przez indukcję strukturalną — (P) podanie skończonego zbioru elementów bazowych — (R) podanie zasady (funkcji), na podstawie której z elementów już należących do zbioru możemy utworzyć kolejne elemeny. Zasada indukcji strukturalnej Niech X będzie zbiorem zdefiniowanym przez indukcję strukturalną. — Jeżeli elementy bazowe zbioru X mają własność W oraz — jeżeli z faktu, że elementy zbioru X mają własność W wynika, że posiadają ją również elementy z nich utworzone w kroku rekurencyjnym, to własność W posiadają wszystkie elementy zbioru X. 2