ZAJĘCIA 05 Implikacja i kwantyfikatory. FORMA ZDANIOWA

ZAJĘCIA 05
Implikacja i kwantyfikatory.
FORMA ZDANIOWA
Formą zdaniową zmiennej x nazywamy takie wyraŜenie, w którym występuje zmienna x i które
staje się zdaniem logicznym, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru D, zwanego
dziedziną
Formę zdaniową będziemy oznaczać symbolem p(x).
PRZYKŁAD
Zdanie: x jest liczbą parzystą
jest formą zdaniową jednej zmiennej x, której dziedziną moŜe być na przykład zbiór liczb
naturalnych.
Element dziedziny spełnia formę zdaniową, jeŜeli podstawiony do formy zdaniowej daje zdanie
prawdziwe.
PRZYKŁAD
Zdanie: x jest liczbą pierwszą
jest formą zdaniową jednej zmiennej x, którego dziedziną moŜe być na przykład zbiór liczb
naturalnych, a takie liczby jak 2,3,5,7 spełniają formę zdaniową. Liczby 1,4,6,8,100 nie spełniają
formy zdaniowej.
Warto zapamiętać, Ŝe
KaŜde równanie i kaŜda nierówność jest formą zdaniową.
Forma zdaniowa toŜsamościowa - taka forma, którą spełnia kaŜdy element dziedziny formy
zdaniowej.
Forma zdaniowa sprzeczna - taka forma, której nie spełnia Ŝaden element dziedziny formy
zdaniowej.
PRZYKŁAD
Równanie x+1=x+2-1 jest toŜsamościowe w dziedzinie liczb rzeczywistych. MoŜemy napisać
wówczas (kaŜda liczba rzeczywista spełnia to równanie)
Nierówność x2<0 jest sprzeczna w dziedzinie liczb rzeczywistych. (nie ma takiej liczby
rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu daje liczbę mniejszą od zera)
Formy zdaniowe p(x) i q(x) o wspólnej dziedzinie nazywamy równowaŜnymi, jeŜeli kaŜdy
element, który spełnia p(x) spełnia takŜe q(x) i odwrotnie. RównowaŜność form zdaniowych p(x)
i q(x) zapisujemy w następujący sposób: p(x)
q(x)
PRZYKŁAD
x-1=0
-2x>0
x=1
x< 0
KWANTYFIKATORY
Kwantyfikatory są to zwroty w postaci:
dla kaŜdego x ... i oznaczamy przez
istnieje takie x, Ŝe ... i oznaczamy przez
lub
∀
x
lub
∃
x.
PRZYKŁAD
Zdanie:
(x+1=0) czytamy: istnieje takie x, Ŝe x+1=0
Zdanie:
[(x+1)2 = x2+2x+1] czytamy: dla kaŜdego x spełniona jest równość (x+1)2 = x2+2x+1
Prawa de Morgana dla zdań z kwantyfikatorami
~
p(x)
~ p(x)
~
p(x)
~ p(x)
PRZYKŁAD
Wykorzystamy powyŜsze przy udowodnieniu, Ŝe zdanie
udowodnić, Ŝe zaprzeczenie tego zdania, czyli ~
(x-1=0) jest fałszywe. Wystarczy
(x-1=0), jest prawdziwe. Skorzystamy z prawa
de Morgana, na podstawie, którego wystarczy udowodnić prawdziwość zdania
~(x-1=0), czyli
(x-1 ≠ 0). Wystarczy teraz wskazać, Ŝe istnieje takie x (np. x=0), Ŝe (x-1 ≠ 0), na czym
kończymy dowód.
Kwantyfikatory są bardzo często stosowane w matematyce, ale równie często pomija się je
w notacji dla uproszczenia sformułowań.
IMPLIKACJA (WYNIKANIE)
Implikacją (wynikaniem) nazywamy zdanie jeŜeli p, to q i zapisujemy: p ⇒ q
Zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q następnikiem, a znak "
" czytamy "implikuje"
lub "z ... wynika ..."
Przykłady implikacji:
1) JeŜeli liczba naturalna jest podzielna przez 9, to liczba ta jest podzielna przez 3
2) JeŜeli figura geometryczna posiada 3 boki, to figura jest kwadratem
3) JeŜeli reszta z dzielenia liczby N jest równa 0, to liczba N jest parzysta
Wyznaczenie wartości logicznej implikacji nie jest tak proste jak w przypadku koniunkcji, czy
alternatywy, poniewaŜ w języku potocznym wynikanie stosuje się w węŜszym zakresie. PoniŜsza
tabela charakteryzuje implikację:
p
q
p⇒q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Jak widać w tabeli, implikacja jest fałszywa tylko w przypadku, gdy z prawdy wynika fałsz. Innymi
słowy z prawdy wynika tylko prawda Warto teŜ zauwaŜyć, Ŝe z fałszu moŜe wynikać prawda!
(wiersz 2 tabeli)
Przeanalizujmy wartości logiczne implikacji na przykładach:
•
dla N=7 zdanie p: liczba naturalna N jest podzielna przez 9 jest fałszywe i zdanie q: liczba
N jest podzielna przez 3 jest fałszywe, a implikacja JeŜeli liczba naturalna N jest podzielna
przez 9, to liczba N jest podzielna przez 3 przyjmuje wartość logiczną 1 - jest prawdziwa
(wiersz 1)
•
dla N=3 zdanie p jest fałszywe (3 nie jest podzielne przez 9), ale zdanie q jest
prawdziwe(3 jest podzielne przez 3),natomiast implikacja jest prawdziwa (wiersz 2).
•
Nie ma takiej liczby, która będąc podzielną przez 9 nie byłaby podzielna przez 3 (wiersz 3).
Natomiast rozpatrzmy przykład z figurą geometryczną f. Niech f będzie trójkątem. Zdanie
m: figura geometryczna f posiada 3 boki jest prawdziwe, natomiast zdanie n: figura f jest
kwadratem jest kwadratem jest oczywiście fałszywe. Zatem implikacja JeŜeli figura
geometryczna f posiada 3 boki, to figura f jest kwadratem jest fałszywa
•
dla N=18 zdanie p jest prawdziwe (18 jest podzielne przez 9) i zdanie q jest prawdziwe(18
jest podzielne przez 3) i implikacja przyjmuje wartość logiczną 1 (wiersz 4)
PoniŜej przedstawione zostały podstawowe prawa logiki, stanowiące podstawę wszystkich
dowodów matematycznych.
Reguła odrywania
JeŜeli prawdziwe są implikacja p ⇒ q i zdanie p, to zdanie q jest prawdziwe.
Reguła przechodniości implikacji
JeŜeli prawdziwe są implikacje: p ⇒ q oraz q ⇒ r, to prawdziwa jest implikacja p ⇒ r.
WARUNEK KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY
JeŜeli ze zdania p wnika zdanie q, to p jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) dla q,
a q jest warunkiem koniecznym dla q.
PRZYKŁAD
Niech p oznacza zdanie: liczba N jest podzielna przez 10.
Niech q oznacza zdanie: liczba N jest podzielna przez 5.
Zdanie p jest warunkiem wystarczającym dla q (podzielność liczby przez 10 jest warunkiem
wystarczającym podzielności liczby przez 5).
Zdanie q jest warunkiem koniecznym dla p (podzielność liczby przez 5 jest warunkiem koniecznym
podzielności przez 10).
Ciekawe jest to, Ŝe zdanie q (podzielność przez 5) nie jest warunkiem wystarczającym dla p
(podzielności przez 10) (na przykład dla N=15.),
a takŜe p nie jest warunkiem koniecznym dla q (na przykład liczba 5 jest podzielna przez 5, ale nie
dzieli się przez 10)
JeŜeli warunek konieczny jest jednocześnie warunkiem wystarczającym, to mówimy wówczas, Ŝe jest
to warunek konieczny i wystarczający.
JeŜeli rozbudujemy nieco powyŜszy przykład w taki sposób, Ŝe zdanie q będzie zdefiniowane, jako:
liczba N jest parzysta i podzielna przez 5, to otrzymamy przykład warunku koniecznego
i wystarczającego, a mianowicie: podzielność liczby parzystej N przez 5 jest warunkiem
koniecznym i wystarczającym dla podzielności liczby przez 10.