1 Przestrzenie liniowo topologiczne

1
1.1
Przestrzenie liniowo topologiczne
Definicja przestrzeni liniowo topologicznej
Definicja 1.1 Przestrzenią liniowo topologiczną nazywamy przestrzeń liniową X nad ciałem K (K = R lub K = C ), w której zadana jest topologia
liniowa τ, to znaczy taka topologia spełniająca warunek T1 , że działania
X × X ∋ (x, y) → x + y ∈ X;
(1)
K × X ∋ (λ, x) → λx ∈ X
(2)
są ciągłe.
Warunek (1) definicji przestrzeni liniowo-topologicznej oznacza, że jeżeli
U jest otoczeniem punktu x + y, to istnieje otoczenie V punktu x i otoczenie
W punktu y takie, ze V + W ⊂ U, natomiast warunek (2) następująco: jeżeli
λ ∈ K, x ∈ X a U jest otoczeniem punktu λx to istnieje takie ε > 0 i istnieje
otoczenie V punktu x takie, że
|µ − λ| < ε i y ∈ V ⇒ µy ∈ U.
Uwaga 1.1 Niech X będzie dowolną przestrzenią liniowo topologiczną. Dla
dowolnego a ∈ X i dla dowolnego λ ∈ K \ {0} odwzorowania
X ∋x→a+x∈X
(3)
X ∋ x → λx ∈ X
(4)
są homoemorfizmami X na X.
Dowód. Z ciągłości dodawania wynika w szczególności, że dla ustalonego
a ∈ X odwzorowanie ϕa określone na X wzorem ϕa (x) = x + a jest odwzorowaniem ciągłym. Jest ono oczywiście odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym i ϕ−1
a = ϕ−a , więc odwzorowanie odwrotne do ϕa również jest
ciągłe. Stąd wynika, że ϕa jest homeomorfizmem. Analogicznie dowodzimy
drugą część twierdzenia. Uwaga 1.2 Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Wówczas
(a) Jeżeli x in X to zbiór U ⊂ X jest zbiorem otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy x + U jest zbiorem otwartym. W szczególności dowolne otoczenie V punktu x ∈ X jest postaci x + U, gdzie U jest otoczeniem
zera w X.
(b) Jeżeli λ ∈ K \ {0}, to zbiór U ⊂ X jest zbiorem otwartym wtedy i tylko
wtedy, gdy λU jest zbiorem otwartym.
1
Uwaga 1.3
(a) Jeżeli A jest dowolnym podzbiorem X, to zbiór
A + U = {a + u : a ∈ A u ∈ U }
jest podzbiorem otwartym X.
(b) Jeżeli B jest podzbiorem R takim, że 0 ̸∈ A to zbiór
A · U = {b · u : a ∈ A, u ∈ U }
jest zbiorem otwartym w X.
Dowód. (a) Wystarczy przyjąć V = U − x i wykorzystać punkt (a) poprzedniej uwagi.
∪
(b) Mamy A + U = a∈A (a + U ). Ponieważ suma mnogościowa dowolnej
ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, więc A + U jest zbiorem
otwartym.
(c) Dowodzimy analogicznie. Twierdzenie 1.1 Dla dowolnego podzbioru przestrzeni liniowo-topologicznej
X zachodzi równość
A=
∩
{(A + U ) : U otoczenie zera}
Dowód. Zbiór U jest otoczeniem punktu x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
otoczenie zera V, że U = x − V. Zatem x ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy
(x − U ) ∩ A ̸= ∅, dla dowolnego otoczenia zera U - co jest równoważne temu,
że x ∈ A + U dla dowolnego otoczenia zera U Uwaga 1.4 Załóżmy, że G1 , G2 są dwiema topologiami liniowymi na X.
Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) G1 ⊂ G2 ;
(b) Jeżeli U jest otoczeniem zera w (X, G1 ), to jest otoczeniem zera w
(X, G2 );
(c) Dla dowolnego otoczenia zera U w (X, G1 ) istnieje otoczenie zera V
w (X, G2 ) takie, że V ⊂ U.
1.2
Zbiory zbalansowane
Definicja 1.2 Mówimy, że podzbiór U przestrzeni liniowej jest zbiorem zbalansowanym jeżeli λU ⊂ U dla dowolnego λ ∈ K takiego, że |λ| ¬ 1.
Uwaga 1.5 Jeżeli U ⊂ X jest zbiorem zbalansowanym, to dla dowolnych
λ, µ ∈ K takich, że |λ| ¬ |µ| mamy λU ⊂ µU.
2
Dowód. Mamy λU = µ µλ U ⊂ µU. Twierdzenie 1.2 Dowolne otoczenie zera w przestrzeni liniowo-topologicznej
zawiera zbalansowane otoczenie zera.
Dowód. Niech U będzie dowolnym otoczeniem zera w przestrzeni X. Z
ciągłości mnożenia istnieje ε > 0 i istnieje otoczenie zera W takie, że λw ∈ U
∪
dla dowolnego λ takiego, że |λ| < ε i w ∈ W. Zdefiniujmy V = |λ|<ε λW. Jak
łatwo zauważyć V jest zbalansowanym otoczeniem zera takim, że V ⊂ U. Uwaga 1.6 Jeżeli U jest dowolnym otoczeniem zera to dla dowolnego n ∈ N
istnieje zbalansowane otoczenie zera V takie, że
V
+ V +{z ... + V} ⊂ U.
|
n−razy
Twierdzenie 1.3 Załóżmy, że K jest zwartym a F domkniętym podzbiorem przestrzeni topologicznej X takim, że K ∩F = ∅. Wówczas istnieje takie
otoczenie zera U, że
(K + U ) ∩ (F + U ) = ∅.
Dowód. Załóżmy najpierw, że K jest zbiorem jednopunktowym, niech K =
{x}. Zbiór x − F jest zbiorem domkniętym takim, że 0 ̸∈ x − F, zatem
jego dopełnienie jest otoczeniem zera. Z uwagi 1.6 wynika, że istnieje takie
zbalansowane otoczenie zera U, że U − U ⊂ (x − F )′ . To oznacza, że dla
dowolnych v, w ∈ U oraz y ∈ F mamy u − v ̸= x − y, zatem u + y ̸= v + x.
Stąd wynik, że (x + U ) ∩ (F + U ) = ∅.
Niech teraz K będzie dowolnym zbiorem zwartym. Dla dowolnego x ∈ K
niech Vx będzie takim otoczeniem zera, że (x + Vx ) ∩ (F + Vx ) = ∅. Niech Ux
∪
będzie takim otoczeniem zera, że Ux + Ux ⊂ Vx . Ponieważ K ⊂ x∈K (x +
Ux ) więc ze zwartości K wynika, że znajdziemy skończoną ilość punktów
x1 , . . . , xn ∈ K takich, że
K ⊂ (x1 + Ux1 ) ∪ . . . ∪ (xn + Uxn ).
Niech U = Ux1 ∩ . . . ∩ Uxn . Wówczas
K +U ⊂
n
∪
(xi + Uxi + Uxi ) ⊂
i=1
n
∪
(xi + Vxi ).
i=1
Ale dla dowolnego i mamy
(xi + Vxi ) ∩ (F + U ) ⊂ (xi + Vxi ) ∩ (F + Vxi ) = ∅,
zatem (K + U ) ∩ (F + U ) = ∅. 3
Twierdzenie 1.4 Jeżeli K jest zwartym a F domkniętym podzbiorem przestrzeni liniowo topologicznej X, to K + F jest domkniętym podzbiorem X.
Dowód. Jeżeli x ̸∈ K + F, to (x − F ) ∩ K = ∅. Na podstawie poprzedniego
twierdzenia istnieje więc otoczenie zera V takie, że
[(x − F ) + V ] ∩ (K + V ) = ∅.
W szczególności mamy więc
[(x − F ) + V ] ∩ K = ∅.
Zatem, jeżeli f ∈ F, v ∈ V i k ∈ K, to (x − f ) + v ̸= k, zatem x + v ̸= f + k,
stąd
(x + V ) ∩ (F + K) = ∅. Twierdzenie 1.5 Dowolna topologia liniowa na Rk spełniająca warunek
Hausdorfa pokrywa się ze zwykłą topologią euklidesową.
Dowód. Oznaczmy przez G0 zwykłą topologię na Rk i niech G będzie dowolną topologią liniową na Rk spełniającą warunek Hausdorfa. Zauważmy,
że jeśli ciąg (xn ) jest zbieżny w Rk do 0 względem zwykłej topologii to jest
zbieżny względem topologii G. Rzeczywiście, mamy wówczas
xn = λ1n e1 + λ2n e2 + ... + λkn ek
gdzie λin → 0 dla dowolnego i = 1, 2, ..., k, więc ponieważ dodawanie
i mnożenie przez liczby rzeczywiste jest ciągłe w Rk względem topologii G
więc xn → 0 względem G. Ponieważ zwykła topologia na Rk jest topologią
ciągową więc mamy G ⊂G0 .
Aby udowodnić inkluzję przeciwną wystarczy udowodnić, że dowolna
kula K(0, ε) względem zwykłej metryki w Rk zawiera pewne otoczenie zera
względem topologii G0 . Oczywiście wystarczy udowodnić to dla ε = 1.
Niech G00 i G 0 będą topologiami podprzestrzeni na K(0, 2). Wówczas
G 0 ⊂ G00 , a ponieważ G00 jest topologią zwartą a G 0 topologią Hausdorfa
więc mamy G00 = G 0 (bo topologie zwarte są minimalne pośród topologii
T2 .) Stąd wynika, że K(0, 1) ∈ G 0 , więc istnieje zbiór V ∈ G taki, że
V ∩ K(0, 2) = K(0, 1). Niech U będzie zbalansowanym otoczeniem zera
względem topologii G zawartym w V. Wówczas jak łatwo zauważyć mamy
U ⊂ K(0, 1). (bo jeżeli zbiór zbalansowany w Rk zawiera element o normie
większej od 2 to zawiera elementy o wszystkich pośrednich normach.)
Definicja 1.3 Mówimy, że podzbiór U przestrzeni liniowej X jest zbiorem
pochłaniającym, jeżeli
∪
λU = X.
λ∈K
4
Z uwagi wynika, że zbiór zbalansowany U jest zbiorem pochłaniającym,
wtedy i tylko wtedy gdy
∞
∪
nU = X.
n=1
Zamiast ciągu (n) można wziąć dowolny ciąg zbieżny do ∞.
Twierdzenie 1.6 Dowolne otoczenie zera w przestrzeni liniowo topologicznej jest zbiorem pochłaniającym.
Dowód. Niech U będzie dowolnym otoczeniem zera w X i weźmy dowolne
x0 ∈ X. Ponieważ 0 · x0 = 0 więc z ciągłości mnożenia wynika, że istnieje
takie ε > 0, że jeżeli |µ| < ε, to µx ∈ U. W szczególności jeżeli 0 < |µ| < ε,
to µx0 ∈ U, zatem x0 ∈ (1/µ)U. 5
1.3
Topologia liniowa generowana przez bazę otoczeń zera
Twierdzenie 1.7 Niech X będzie przestrzenią liniową a B0 taką rodziną
zbiorów zabalansowanych i pochłaniających, że
(i) Dla dowolnego x ∈ X \ {0} istnieje U ∈ B0 takie, że x ̸∈ U.
(ii) Dla dowolnego U ∈ B0 , dla dowolnego x ∈ U istnieje V ∈ B0 takie, że
x + V ⊂ U.
(iii) Dla dowolnych U, V ∈ B0 istnieje W ∈ B0 takie, że W ⊂ U ∩ V.
(iv) Dla dowolnego U ∈ B0 istnieje taki zbiór V ∈ B0 , że V + V ⊂ U.
Niech B będzie rodziną wszystkich zbiorów postaci x + U, gdzie x ∈ X oraz
U ∈ B0 . Wówczas
(a) Rodzina B stanowi pełny układ otoczeń, to zaznaczy stanowi bazę pewnej topologii G na zbiorze X.
(b) Dla dowolnego x ∈ X rodzina {x + U : U ∈ B0 } jest bazą otoczeń
punktu x; w szczególności B0 jest baza otoczeń zera.
(c) Topologia G jest topologią liniową na X.
Dowód. (a) Weźmy dwa zbiory U, V ∈ B niech U = x + U0 , V = y + V0 ,
gdzie U0 , V0 ∈ B0 . Załóżmy, że z ∈ U ∩ V. Wówczas z − x ∈ U0 , więc istnieje
takie W1 ∈ B0 , że (z − x) + W1 ⊂ U0 . Wówczas z + W1 = x + (z − x) + W1 ⊂
x + U0 = U. Analogicznie istnieje takie W2 ∈ B0 , że z + W2 ⊂ V. Niech
W ∈ B0 będzie takim zbiorem, że W0 ⊂ W1 ∩ W2 . Wówczas z + W ⊂
(z + W1 ) ∩ (z + W2 ) ⊂ U ∩ V. Zatem rodzina B jest bazą pewnej topologii
G na zbiorze X.
(b) Udowodnimy najpierw ciągłość dodawania w przestrzeni X. Weźmy
dowolne x, y ∈ X i niech W będzie dowolnym otoczeniem punktu x + y.
Wówczas istnieje taki zbiór W0 ∈ B0 , że x + y + W0 ⊂ W. Na podstawie
założenia (iv) istnieje taki zbiór U ∈ B0 , że U + U ⊂ W0 . Wówczas x + U i
y + U są takimi otoczeniami odpowiednio punktów x i y, że
(x + U ) + (y + U ) ⊂ x + y + W0 ⊂ W.
Dalej dowodzimy ciągłość mnożenia w X. Najpierw udowodnimy, że dla
dowolnego otoczenia zera U i dla dowolnego λ ∈ K istnieje takie otoczenie
zera V, że λV ⊂ U. Rzeczywiście można zakładać, że U ∈ B0 a więc, że U
jest zbiorem zbalansowanym. Weźmy takie n ∈ N, że n ­ |λ|. Na podstawie
założenia (iv) istnieje taki zbiór V ∈ B0 , że V
+ .{z
. . + V} ⊂ U. Ale wtedy
|
n−razy
nV ⊂ U więc λV ⊂ U, bo U jest zbiorem zbalansowanym.
6
Weźmy teraz dowolne x0 ∈ X, dowolne λ0 ∈ K i niech U będzie dowolnym otoczeniem punktu λ0 x0 . Weźmy taki zbiór U0 ∈ B0 , że λ0 x0 + U0 ⊂ U
i niech V ∈ B0 będzie taki, że V + V + V ⊂ U0 . Niech W ∈ B0 będzie takim
zbiorem, że W ⊂ V oraz λ0 W ⊂ V. Ponieważ zbiór W jest zbiorem pochłaniającym i zbalansowanym więc istnieje takie δ ∈ (0, 1), że jeżeli |α| < δ, to
αx0 ∈ W. Załóżmy, że |λ − λ0 | < δ. Wówczas
λ(x0 + W ) ⊂ λ0 x0 + (λ − λ0 )x0 + (λ − λ0 )W + λ0 W
⊂ λ 0 x0 + W + W + V ⊂ λ0 x0 + V + V + V
⊂ λ0 x0 + U0 ⊂ U. 1.4
Zbiory ograniczone
Definicja 1.4 Mówimy, że podzbiór A przestrzeni liniowo topologicznej jest
zbiorem ograniczonym, jeżeli dla dowolnego otoczenia zera U istnieje taka
liczba λ ∈ K taka, że A ⊂ λU
Twierdzenie 1.8 Niech X będzie przestrzenią liniowo topologiczną. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X następujące warunki są równoważne:
(i) A jest zbiorem ograniczonym;
(ii) Dla dowolnego otoczenia zera U istnieje taka liczba λ0 > 0, że jeżeli
λ ∈ K i |λ| > λ0 , to A ⊂ λU ;
(iii) Dla dowolnego otoczenia zera U istnieje takie ε0 > 0, że jeżeli |ε| < ε0 ,
to εA ⊂ U ;
(iv) Jeżeli (an ) jest dowolnym ciągiem elementów zbioru A, a (εn ) takim
ciągiem skalarów, że εn → 0, to εn an → 0.
Dowód. Implikacja (i)⇒(ii) wynika z tego, że dowolne otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, implikacje (ii)⇒(iii) i (iii)⇒(iv) oraz
(iv)⇒(iii) są oczywiste.
1.5
Odwzorowania liniowe na przestrzeniach topologicznych
Twierdzenie 1.9 Niech X, Y będą przestrzeniami liniowo topologicznymi.
Wówczas odwzorowanie liniowe L : X → Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy
gdy jest ciągłe w 0.
Dowód. Weźmy dowolny punkt x ∈ X i niech V będzie dowolnym otoczeniem w Y punktu L(x). Wówczas istnieje otoczenie zera U w przestrzeni
Y takie, że V = L(x) + U. Z ciągłości odwzorowania L w 0 istnieje otoczenie zera W0 w X takie, że L(W0 ) ⊂ U. Wówczas W = x + W0 jest
otoczeniem x w X oraz jeżeli z ∈ W to z = x + w gdzie w ∈ W0 zatem
L(z) = L(x) + L(w) ∈ L(x) + L(W0 ) ⊂ L(x) + U ⊂ V. Stąd dostajemy
inkluzję L(W ) ⊂ V. 7
Twierdzenie 1.10 Niech X i Y będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi
a L : X → Y odwzorowaniem liniowym. Jeżeli istnieje takie otoczenie zera U w przestrzeni X takie, że L(U ) jest zbiorem ograniczonym, to L jest
odwzorowaniem ciągłym.
Twierdzenie 1.11 Niech Λ będzie funkcjonałem określonym na przestrzeni
liniowo topologicznej X, a Λ funkcjonałem liniowym na X. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) Λ jest funkcjonałem ciągłym.
(ii) Istnieje otoczenie zera V w X takie, że |Λ(x)| < 1 dla x ∈ V.
(iii) Istnieje otoczenie zera V w X takie, że Λ(V ) jest zbiorem ograniczonym.
Jeżeli Λ jest dowolnym funkcjonałem na przestrzeni liniowej X to
Ker(Λ) = Λ−1 (0)
jest podprzestrzenią X taką, że codim(Ker(Λ) : X) = 1. Rzeczywiście jeżeli
x0 ∈ X oraz Λ(x0 ) ̸= 0 to mamy
)
(
Λ(x)
Λ(x)
x= x−
x0 +
x0 .
Λ(x0 )
Λ(x0 )
gdzie
x−
Λ(x)
x0 ∈ Ker(Λ).
Λ(x0 )
Twierdzenie 1.12 Funkcjonał liniowy Λ na przestrzeni liniowo topologicznej X jest funkcjonałem ciągłym wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro Ker(Λ)
jest podprzestrzenią domkniętą X.
Dowód. Z ciągłości Λ wynika oczywiście domkniętość jądra gdyż przeciwobrazy zbiorów domkniętych poprzez odwzorowania ciągłe są domknięte.
Załóżmy teraz, że Ker(Λ) jest podprzestrzenią domkniętą X. Weźmy dowolne x0 ∈ X takie, że Λ(x0 ) = 1. Wówczas dowolny element x przestrzeni X
daje się jednoznacznie przedstawić w postaci
x = λx0 + h gdzie h ∈ Ker(Λ).
(5)
Mamy wówczas Λ(x) = λ.
Zauważmy, że x0 + Ker(Λ) jest domkniętym podzbiorem X nie zawierającym 0. Istnieje więc zbalansowane otoczenie zera V takie, że
V ⊂ X − [x0 + Ker(Λ)].
(6)
Stąd wynika, że gdy Λ(x) ­ 1 to znaczy gdy x ma przedstawienie w postaci
(5) gdzie λ ­ 1 to x ̸∈ V. Inaczej mówiąc mamy Λ(x) < 1 dla x ∈ V. Z
twierdzenia (1.11) wynika więc, że Λ jest funkcjonałem ciągłym. 8
Ponieważ jądro dowolnego funkcjonału jest podprzestrzenią o kowymiarze równym 1, więc jego domknięcie albo pokrywa się z nim, albo jest całą
przestrzenią. Zatem z poprzedniego twierdzenia wynika, że
Wniosek 1.1 Niezerowy funkcjonał liniowy na przestrzeni liniowo topologicznej jest funkcjonałem ciągłym, wtedy i tylko wtedy gdy jego jądro nie
jest gęstą podprzestrzenią X.
Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych. Niech
Λ : X → C będzie dowolnym funkcjonałem liniowym. Wówczas istnieją takie
funkcjonały R−liniowe U, V : X → R takie, że
Λ(x) = U (x) + iV (x)
(7)
dla dowolnego x ∈ X. Ponieważ Λ jest funkcjonałem liniowym nad ciałem
liczb zespolonych więc mamy Λ(ix) = iΛ(x), więc ze wzoru (7) dostajemy
iΛ(x) = U (ix) + iV (ix),
zatem
Λ(x) = V (ix) − iU (ix)
Mamy więc:
V (x) = −U (ix), U (x) = V (ix).
Podsumowując, możemy sformułować następujące twierdzenie
Twierdzenie 1.13 Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb
zespolonych. Wówczas funkcjonał Λ : X → C jest funkcjonałem liniowym
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcjonał R−liniowy U : X → R taki, że
dla dowolnego x ∈ X mamy:
Λ(x) = U (x) − iU (ix).
Jeżeli X jest przestrzenią liniowo topologiczną to funkcjonał Λ jest ciągły
wtedy i tylko wtedy gdy U jest ciągły.
9
2
Przestrzenie liniowo metryczne, F −przestrzenie
Definicja 2.1 Niech X będzie przestrzenią liniową, a d metryką w X. Jeżeli
topologia generowana przez metrykę d jest topologią liniową to mówimy, że
metryka d jest metryką liniową a parę (X, d) nazywamy przestrzenią liniowo
metryczną.
Ponieważ przestrzenie metryczne są przestrzeniami ciągowymi więc warunek liniowości metryki można zapisać za pomocą dwóch warunków.
d(xn , x) → 0, d(yn , y) → 0 =⇒ d(xn + yn , x + y) → 0.
(8)
d(xn , x) → 0, |λn − λ| → 0 =⇒ d(λn xn , λx) → 0.
(9)
Zauważmy, że z warunku (9) czyli z ciągłości mnożenia wynika w szczególności rozdzielna ciągłość mnożenia to znaczy wynikają dwa warunki
d(xn , x) → 0 =⇒ d(λxn , λx) → 0
(10)
dla dowolnego λ ∈ K.
|λn − λ| → 0 =⇒ d(λn x, λx) → 0.
(11)
dla dowolnego x ∈ X.
Na ogół z ciągłości dodawania i z rozdzielnej ciągłości mnożenia w przestrzeniach topologicznych nie wynika łączna ciągłość mnożenia. Udowodnimy, że tak jest w przestrzeniach metrycznych.
Twierdzenie 2.1 Niech d będzie metryką w przestrzeni liniowej X spełniającą warunek (9). Jeżeli mnożenie w przestrzeni (X, d) jest rozdzielnie
ciągłe to jest łącznie ciągłe. Inaczej mówiąc z warunków (10) i (11) wynika
warunek (9).
Dowód. Udowodnimy najpierw, że jeżeli (λn ) jest dowolnym ciągiem skalarów zbieżnym do 0 a (xn ) takim ciągiem elelmentów X, że d(xn , 0) → 0 to
d(λn xn , 0) → 0. Inaczej mówiąc udowodnimy łączną ciągłość mnożenia w 0.
Weźmy dowolne ε > 0 i zauważmy, że z warunku (9) wynika, że istnieje
takie η > 0, że
d(x, 0) ¬ η i d(y, 0) ¬ η ⇒ d(x + y, 0) ¬ ε/2.
(12)
Niech dla dowolnego n ∈ N, An będzie zbiorem zdefiniowanym następująco:
An = {λ ∈ K; ∀k­n d(λxk , 0) ¬ η}.
10
Z warunku (10) wynika, że dla dowolnego λ ∈ K mamy d(λxk , 0) → 0 więc
∞
∪
An = K.
n=1
Zauważmy, że dla dowolnego n ∈ N zbiór An można przedstawić w po∩
staci iloczynu An =
Ank gdzie
k­n
Ank = {λ ∈ K; d(λxk , 0) ¬ η}.
Zauważmy, że dla dowolnego x ∈ X funkcja
K ∋ λ → d(λx, 0) ∈ R
(13)
jest funkcją ciągłą co wynika z warunku (11) i z nierówności
|d(λx, 0) − d(λ0 x, 0)| ¬ d(λx, λ0 x),
która zachodzi dla dowolnego x ∈ D i λ, λ0 ∈ K. Z ciągłości funkcji (13)
wynika, że dowolny zbiór Ank jest zbiorem domkniętym w K a więc również,
że dowolny zbiór An jest domknięty w K. Z twierdzenia Baire’a wynika,
że dla pewnego n ∈ N mamy int(An ) ̸= ∅. Istnieje więc λ0 ∈ K i istnieje
δ > 0 takie, że jeżeli |λ − λ0 | < δ to λ ∈ An a więc d(λxk , 0) ¬ η dla k ­ n.
Ponieważ λk → 0 więc istnieje takie k0 ­ n, że |λk | < δ dla k ­ k0 . Ponieważ
dla k ­ k0 mamy |(λ + λ0 ) − λ0 | < δ więc d((λ0 + λk )xk , 0) ¬ η. Ponieważ
mamy
λk xk = (λ0 + λk )xk − λ0 xk
i z d(−λ0 xk , 0) → 0 więc z (12) wynika, że dla p.w.k. mamy d(λk xk , 0) < ε.
Definicja 2.2 Funkcję ∥ ∥ : X → [0, ∞) nazywmay F −normą, jeżeli
(a) ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0;
(b) ∥x + y∥ ¬ ∥x∥ + ∥y∥ dla dowolnych x, y ∈ X;
(c) ∥−x∥ = ∥x∥ dla dowolnego x ∈ X;
(d) jeżeli ∥xn − x∥ → 0 i |λn − λ| → 0 to ∥λn xn − λx∥ → 0.
Twierdzenie 2.2 (a) Jeżeli ∥ ∥ : X → [0, ∞) jest funkcją spełniającą warunki (a) i (b) powyższej defincji to funkcja d : X × X → [0, ∞) określona
wzorem
d(x, y) = ∥x − y∥
(14)
jest metryką taką, że
∥x∥ = d(x, 0)
dla dowolnego x ∈ X.
Metryka ta jest metryką niezmienniczą to znaczy spełnia warunek
d(x + z, y + z) = d(x, y)
11
(15)
dla dowolnych x, y, z ∈ X.
(b) Jeżeli d jest metryką niezmienniczą na przestrzeni liniowej X to funkcja ∥ ∥ : X → [0, ∞) zdefiniowana wzorem (15) spełnia warunki (a) i (b)
definicji 2.2.
(c) Funkcja ∥ ∥ spełnia warunek (c) definicji 2.2 wtedy i tylko wtedy gdy
metryka d zdefiniowana wzorem (14) jest metryką liniową.
Twierdzenie 2.3 (Kakutaniego) Niech X będzie dowolną przestrzenią liniowo topologiczną. Następujące warunki są równoważne.
(a) X jest przestrzenią metryzowalną;
(b) X spełnia II aksjomat przeliczalności;
(c) Istnieje przeliczalna baza otoczeń zera w X;
(d) Istnieje F −norma generująca topologię w X;
(e) Istnieje metryka liniowa i niezmiennicza generująca topologię w X.
Implikacje (a) ⇒ (b), (b) ⇒ (c), (d) ⇒ (e), i (e) ⇒ (a) są oczywiste.
Istotą twierdzenia jest więc implikacja (c) ⇒ (d). Dowód tej implikacji
poprzedzimy sformułowaniem i dowodem lematu.
Lemat 2.1 Niech X będzie przestrzenią liniową a f : X → [0, ∞) taką
funkcją, że
f (xn ) → 0, f (yn ) → 0 ⇒ f (xn + yn ) → 0.
(16)
Wówczas istnieje funkcja g : X → R taka, że
g(x) = 0 ⇔ f (x) = 0
(17)
g(xn ) → 0 ⇔ f (xn ) → 0
(18)
g(x + y) ¬ g(x) + g(y) dla dowolnych x, y ∈ X
(19)
Dowód. Z warunku (16) wynika, że istnieje ciąg liczb εn → 0 taki, że
|f (x)|, |f (y)|, |f (z)| < εn =⇒ |f (x + y + z)| < εn−1 .
Niech

 0,
ϕ(x) =
1,
 −k
2
gdy f (x) = 0;
gdy |f (x)| ­ ε1 ,
gdy |f (x)| ¬ εk .
gdzie k jest największą taką liczbą i, że f (x) < εi . Wówczas ϕ(xn ) → 0 ⇔
f (xn ) → 0, oraz ϕ(x) = 0 ⇔ f (x) = 0 oraz dla dowolnych x, y, z ∈ X
spełniony jest warunek
ϕ(x + y + z) ¬ 2 max{ϕ(x), ϕ(y), ϕ(z)}.
12
(20)
Udowodnimy przez indukcję matematyczną, że dla dowolnych x1 , x2 , ..., xn ∈
X zachodzi nierówność
ϕ(x1 + ... + xn ) ¬ 2[ϕ(x1 ) + ... + ϕ(xn )].
(21)
Dla n = 1 nierówność ta jest oczywista. Załóżmy, że n > 1 i nierówność (21)
jest prawdziwa dla n − 1. Niech
s = ϕ(x1 ) + ... + ϕ(xn ).
Jeżeli
ϕ(x2 ) + ... + ϕ(xn ) <
s
2
to mamy
ϕ(x1 + ... +xn ) ¬ 2 max{ϕ(x1 ), ϕ(x2 + ... +xn )} ¬ 2 max{s, 2[ϕ(x2 )+ ...+ ϕ(xn )]} ¬ 2s.
W przeciwnym wypadku oznaczmy przez i największy wskaźniki taki, że
s
ϕ(xi ) + ... + ϕ(xn ) > .
2
Wówczas
ϕ(x1 ) + ... + ϕ(xi−1 ) ¬
s
s
oraz ϕ(xi+1 ) + ... + ϕ(xn ) ¬
2
2
(22)
Z założenia indukcyjnego i z (22) dostajemy więc
ϕ(x1 + ... + xi−1 ) ¬ s oraz ϕ(xi+1 + ... + xn ) ¬ s.
(23)
Z nierówności (20) i (23) dostajemy więc
ϕ(x1 + ... +xn ) ¬ 2 max{ϕ(x1 + ... +xi−1 ), ϕ(xi ), ϕ(xi+1 + ... +xn )} ¬ 2s.
Funkcję g o której mowa w tezie twierdzenia definujemy jako
g(x) = inf{ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) + ... + ϕ(xn ); x = x1 + x2 + ... + xn }.
Z definicji funkcji g wynika, że spełnia ona warunek (19) i że dla dowolnego
x ∈ X mamy g(x) ¬ ϕ(x). Natomiast z (21) wynika nierówność ϕ(x) ¬
2g(x). Z powyższych dwóch nierówności wynikają warunki (17) i (19).
Na zakończenie podamy dowód implikacji (c) ⇒ (d).
Niech (Un ) będzie przeliczalną bazą otoczeń zera w X. Możemy zakładać,
że Un+1 ⊂ Un dla dowolnego n ∈ N. Niech f : X → Y będzie funkcją
zdefiniowaną w następujący sposób: Zauważmy, że jeżeli x ̸= 0 to x ̸∈ Un
dla prawie wszzystkich n. Przyjmijmy wówczas
f (x) = (max{n : x ∈ Un })−1 .
13
Dodatkowo przyjmijmy f (0) = 0.
Jak łatwo zauważyć mamy: xn → 0 wtedy i tylko wtedy gdy xn → 0
w X. Zatem funkcja f spełnia założenia lematu 2.1. Istnieje więc funkcja
g : X → [0, ∞) spełniająca warunki: 17, 18, 19 tego lematu. Niech funkcja
∥·∥ : X → [0, ∞) będzie zdefiniowana wzorem
∥x∥ = g(x) + g(−x).
Z definicji ∥·∥ i z tego, że funkcja g spełnia warunki 17, 19 wynika, że ∥·∥
spełnia warunki (a), (b) , (c) defnicji F −normy. Ponadto dla dowolnego ciągu (xn ) w X mamy ∥xn ∥ → 0, wtedy i tylko wtedy gdy f (xn ) → 0, to znaczy
gdy xn → x w przestrzeni X. Stąd wynika, że ∥·∥ spełnia warunek (d) definicji F −normy. Zatem ∥·∥ jest F −normą na X taką, że ∥xn ∥ → 0 wtedy i
tylko wtedy, gdy xn → 0 w X. Stąd wynika, że zbieżność w (X, ∥·∥) pokrywa
się ze zbieżnością według topologii z X. Ponieważ przestrzenie spełniające
pierwszy aksjomat przeliczalności są przestrzeniami ciągowymi, więc topologia generowana przez F − normę ∥·∥ pokrywa się z wyjściową topologią.
Twierdzenie 2.4 Jeżeli w przestrzeni liniowo topologicznej istnieje ograniczone otoczenie zera, to przestrzeń jest przestrzenią metryzowalną.
Dowód. Załóżmy, że U jest ograniczonym otoczeniem zera w przestrzeni
liniowo topologicznej X. Niech V będzie takim zbalansowanym otoczeniem
zera w X, że V ⊂ U i niech Vn = 1/nV dla dowolnego n ∈ N. Niech W będzie
dowolnym otoczeniem zera w X. Ponieważ V jest zbiorem ograniczonym więc
istnieje takie λ0 ∈ K, że λ0 V ⊂ U. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że
1/n < |λ0 |. Z uwagi 1.5 wynika, że Vn ⊂ W. Udowodniliśmy więc, że zbiory
Vn , n ∈ N tworzą bazę otoczeń zera. Z twierdzenia 2.3 wynika, że X jest
przestrzenią metryzowalną. Definicja 2.3 Mówimy, że F −norma ∥·∥ na przestrzeni liniowo topologicznej jest F −normą monotoniczną jeżeli dla dowolnego x ∈ X i dowolnych
λ, µ ∈ K jeżeli |λ| ¬ |µ|, to ∥λx∥ ¬ ∥µx∥ .
Uwaga 2.1 Jeżeli F −norma ∥·∥ na X jest F −normą monotoniczną to
∥λx∥ = ∥µx∥ dla dowolnego x ∈ X i dowolnych λ, µ ∈ K takich, że |λ| = |µ|.
W szczególności ∥λx∥ = ∥x∥ gdy |λ| = 1.
Twierdzenie 2.5 W dowolnej przestrzeni liniowo topologicznej metryzowalnej istnieje F −norma monotoniczna ∥·∥ generująca topologię przestrzeni.
Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.3 istnieje F −norma ∥·∥0 generująca
topologię przestrzeni. Niech d będzie metryką generowaną przez ∥·∥0 . Niech:
∥x∥ = sup{∥αx∥0 : |α| ¬ 1}
14
dla dowolnego x ∈ X.
Udowodnimy najpierw, że ∥x∥ < ∞ dla dowolnego x ∈ X. Inaczej dla
pewnego x ∈ X znajdziemy ciąg skalarów (αn ) taki, że |αn | ¬ 1 dla dowolnego n ∈ N, oraz ∥αn x∥ → ∞. Ponieważ (αn ) jest ciągiem ograniczonym
więc istnieje podciąg (αkn ) tego ciągu który jest zbieżny do pewnego α ∈ K.
Wówczas αkn x → αx więc z ciągłości metryki:
∥αkn x∥ = d(αkn x, 0) → d(αx, 0) = ∥αx∥ .
To prowadzi do sprzeczności, bo ∥αkn x∥ → ∞.
Udowodnimy dalej, że ∥·∥ spełnia warunki (a), (b), (c) definicji F −normy.
Warunek (a) wynika z tego, że ∥x∥ ¬ ∥x∥0 dla dowolnego x ∈ X. Aby udowodnić, warunek (b) weźmy dowolne x, y ∈ X i dowolne ε > 0. Wówczas
istnieje takie α ∈ K, że |α| ¬ 1 oraz ∥α(x + y)∥0 ­ ∥x + y∥0 − ε. Wówczas
∥x∥ + ∥y∥ ­ ∥αx∥0 + ∥αy∥0 ­ ∥α(x + y)∥0 ­ ∥x + y∥ − ε.
Wobec dowolności ε mamy warunek (b) definicji F −normy dla ∥·∥ . Warunek (c) jest spełniony w sposób oczywisty. Aby udowodnić warunek (d)
wystarczy pokazać, że
∥xn ∥ → 0 ⇔ ∥xn ∥0 → 0.
(24)
Wobec nierówności ∥x∥0 ¬ ∥x∥ zachodzącej dla dowolnego x ∈ X wystarczy
pokazać, że jeżeli ∥xn ∥0 → 0 to ∥xn ∥ → 0.
Zauważmy dalej, że z nierówności (24) wynika, że ∥xn ∥ → 0 wtedy i tylko
wtedy gdy ∥xn ∥ → 0. Stąd wynika, że topologie generowane przez F −normy
∥·∥ i ∥·∥0 są takie same.
Pozostaje udowodnić, że ∥·∥ jest F −normą monotoniczną. Ustalmy dowolne x ∈ X, oraz λ, µ ∈ K takie, że |λ|¬ |µ|.Weźmy dowolne α ∈ K
takie, że |α| ¬ 1. Wówczas: ∥αλx∥0 = α µλ µx , a ponieważ |α λ|
µ| ¬ 1
0
więc α µλ µx ¬ ∥µx∥ . Dostajemy stąd nierówność ∥αλx∥0 ¬ ∥µx∥ zacho0
dzącą dla dowolnego α ∈ K takiego, że |α| ¬ 1. Stąd wynika nierówność
∥αλx∥ ¬ ∥µx∥ .
15
3
Wypukłość w przestrzeniach liniowo topologicznych
3.1
Zbiory wypukłe i zbiory absolutnie wypukłe w przestrzeni liniowej
Definicja 3.1 Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Mówimy,
że zbiór W ⊂ X jest zbiorem wypukłym, jeżeli
λx + (1 − λ)y ∈ W dla dowolnych x, y ∈ W oraz λ ∈ [0, 1].
Zbiory zbalansowane i wypukłe nazywamy zbiorami absolutnie wypukłymi.
Dla dowolnych x, y ∈ X, wprowadzamy oznaczenia
[x, y] = {λx + (1 − λ)y : λ ∈ [0, 1]},
oraz
(x, y) = {λx + (1 − λ)y : λ ∈ (0, 1)}
Uwaga 3.1 Podzbiór W przestrzeni liniowej jest zbiorem wypukłym wtedy
i tylko wtedy, gdy
n
∑
j=1
λj aj ∈ A dla dowolnych a1 , . . . , an ∈ W i dowolnych
λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] takich, że
n
∑
j=1
λj ¬ 1.
Dowód. Indukcja względem n. Uwaga 3.2 Podzbiór A przestrzeni liniowej X jest zbiorem absolutnie wypukłym ⇔ dla dowolnych x, y ∈ A oraz λ, µ ∈ K takich, że |λ| + |µ| ¬ 1
mamy λx + νy ∈ A.
Dowód.
Ponieważ dla dowolnych |λ|, |µ| ∈ K i dowolnych u, v ∈ X możemy
napisać
[
λu + µv =
]
[
λ
|µ|
µ
|λ|
(|λ| + |µ|) u +
(|λ| + |µ|) v
|λ| + |µ| |λ|
|λ| + |µ| |µ|
]
więc zbiór W ⊂ X jest zbiorem absolutnie wypukłym wtedy i tylko, gdy
λu + µv ∈ W, dla dowolnych u, v ∈ W oraz dowolnych λ, µ ∈ K takich, że
|λ| + |µ| ¬ 1.
Jak łatwo sprawdzić zachodzi następujące twierdzenie.
16
Twierdzenie 3.1 Dla dowolnego podzbioru A przestrzeni liniowej X zbiór
conv(A) =
{ n
∑
λi ai : ai ∈ A, λi ∈ [0, 1],
i=1
n
∑
}
λi = 1, n ∈ N
i=1
jest najmniejszym podzbiorem wypukłym przestrzeni X zawierającym A. Podobnie zbiór
n
∑
aconv(A) = {
λi ai : ai ∈ A, λi ∈ K,
i=1
n
∑
|λi | ¬ 1}
i=1
jest najmniejszym podzbiorem absolutnie wypukłym X zawierającym A.
Twierdzenie 3.2 Załóżmy, że X jest przestrzenią skończenie wymiarową
i niech dimX = n. Wówczas dla dowolnego zbioru A ⊂ X mamy
conv(A) =

n+1
∑

λj xj : xj ∈ A, λj ∈ [0, 1], j = 1, . . . , k,
j=1
k
∑
j=1


λj = 1 .

Dowód. Załóżmy, że x ∈ X daje się przedstawić w postaci
x=
k+1
∑
λj xj ,
(25)
j=1
gdzie λj ∈ [0, 1], xj ∈ A dla i = 1, . . . , k + 1 oraz
k+1
∑
λj = 1 oraz k > n.
j=1
Udowodnimy, że wówczas x można zapisać w postaci (25) przy użyciu k
składników. Oczywiście możemy zakładać, że wszystkie współczynniki λj są
niezerowe. Rozpatrzmy odwzorowanie L : Rk+1 → X × R określone wzorem:

L(t1 , . . . tk+1 ) = 
k+1
∑
tj xj ,
j=1
k
∑

tj  .
j=1
Ponieważ dim(X × R) = n + 1 < k + 1, więc jądro L jest niezerową podprzestrzenią X. Istnieje więc (t1 , . . . , tk+1 ) ∈ Rk+1 takie, że
k+1
∑
tj xj = 0,
j=1
k+1
∑
tj = 0.
j=1
Ponieważ wszystkie współczynniki λj są niezerowe, więc znajdziemy takie
α ∈ R, że dla dowolnego j = 1, . . . k + 1 mamy αtj ¬ λj oraz dla pewnego
j0 zachodzi równość αtj0 = λj0 .
Definicja 3.2 Zbiór conv(A) zdefiniowany w poprzednim twierdzeniu nazywamy powłoką wypukłą zbioru A a zbiór aconv(A) powłoką absolutnie
wypukłą zbioru A.
17
Uwaga 3.3 Dla dowolnego zbioru A mamy, conv(A) ⊂ aconv(A), jeżeli A
jest zbiorem zbalansowanym, to conv(A) = aconv(A)
Dowód. Wystarczy oczywiście udowodnić, drugą część uwagi, to znaczy że
aconv(A) ⊂ conv(A) gdy zbiór A jest zbiorem zbalansowanym.
Jeżeli a ∈ aconv(A), to z twierdzenie 3.1 a można zapisać w postaci:
a =
∑n
i=1 λi ai ,
gdzie ai ∈ A, λi ∈ K dla i = 1, ..., n, oraz
n
∑
|λi | ¬ 1.
i=1
Ponieważ dowolny zbiór zbalansowany zawiera 0, więc możemy zakładać, że
nie wszystkie współczynniki λi są równe 0. Niech λ =
n
∑
|λi | Mamy
i=1
a=
n
∑
|λi | λλi
i=1
oraz
λλi
|λi | ai
λ |λi |
ai ,
i
∈ A bo dla dowolnego i = 1, ..., n mamy: λλ
|λi | = |λ| ¬ 1 i A
jest zbiorem zbalansowanym. Ponieważ
suma jest równa 1, więc a ∈ conv(A).
|λi |
λ
są liczbami nieujemnymi i ich
Uwaga 3.4 Załóżmy, że X jest przestrzenią liniowo topologiczną. Jeżeli A
jest podzbiorem wypukłym (absolutnie wypukłym) X, to zbiór A jest zbiorem
wypukłym (absolutnie wypukłym).
Dowód. Załóżmy, że x, y ∈ A i λ ∈ [0, 1]. Niech U będzie dowolnym otoczeniem punktu λx + (1 − λ)y. Udowodnimy, że U ∩ A ̸= ∅.
Z ciągłości działań w przestrzeni liniowo-topologicznej istnieje takie otoczenia zera V, że
λ(x + V ) + (1 − λ)(y + V ) ⊂ U.
(26)
Ponieważ x, y ∈ A więc zbiory (x + V ) ∩ A oraz (y + V ) ∩ A są niepuste.
Niech x0 ∈ (x + V ) ∩ A i y0 ∈ (y + V ) ∩ A. Niech a = λx0 + (1 − λ)y0 ∈ A.
Wówczas a ∈ λ(x + V ) + (1 − λ)(y + v), więc z (26) wynika, że a ∈ U. Z
wypukłości zbioru A wynika, że a ∈ A zatem a ∈ A ∩ U, a więc U ∩ A ̸= ∅. 3.2
Definicja przestrzeni lokalnie wypukłej
Definicja 3.3 Mówimy, że przestrzeń liniowo topologiczna X jest przestrzenią lokalnie wypukłą, jeżeli istnieje baza otoczeń zera tej przestrzeni złożona
ze zbiorów wypukłych.
Uwaga 3.5 Przestrzeń liniowo topologiczna jest przestrzenią lokalnie wypukłą, jeżeli wszystkie wypukłe otoczenia zera stanowią bazę otoczeń zera
tej przestrzeni, to znaczy gdy dla dowolnego otoczenia zera U, istnieje wypukłe otoczenie zera V takie, że V ⊂ U.
18
Okazuje się, że w definicji przestrzeni lokalnie wypukłej zbiory absolutnie
wypukłe stanowią również bazę otoczeń zera.
Twierdzenie 3.3 Przestrzeń liniowo topologiczna X jest przestrzenią lokalnie wypukłą, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje baza otoczeń zera tej przestrzeni złożona ze zbiorów absolutnie wypukłych.
Dowód. Wystarczy udowodnić, że dowolne otoczenie zera w przestrzeni
lokalnie wypukłej zawiera absolutnie wypukłe otoczenie zera. Niech U będzie
dowolnym otoczeniem zera w X. Ponieważ przestrzeń posiada bazę otoczeń
zera złożoną ze zbiorów wypukłych, więc istnieje wypukłe otoczenie zera W
zawarte w U. Z twierdzenia 1.2 istnieje zbalansowane otoczenie zera W0 ⊂ W.
Niech V = aconv(W0 ). Z lematu ?? wynika, że V jest otoczeniem zera w X,
a ponieważ W0 jest zbiorem zbalansowanym, a W zbiorem wypukłym, więc
z lematu 3.3 wynika, że V = conv(W0 ) ⊂ conv(W ) = W ⊂ U.
3.3
Definicja pseudonormy, definiowanie topologii lokalnie
wypukłej przez rodzinę pseudonorm
Definicja 3.4 Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Mówimy,
że funkcja p : X → [0, ∞) jest pseudonormą (półnormą) jeżeli
(a) p(x + y) ¬ p(x) + p(y),
(b) p(λx) = |λ|p(x),
dla dowolnych x, y ∈ X oraz λ ∈ K.
Oczywiście z warunku (b) powyższej definicji wynika, że p(0) = 0.
Ponadto dla dowolnych x, y ∈ X mamy p(x) ¬ p(x − y) + p(y) więc
|p(x) − p(y)| ¬ p(x − y).
(27)
Lemat 3.1 Jeżeli p jest pseudonormą na przestrzeni liniowej X to dla dowolnego ε > 0 zbiór
Kp (ε) = {x ∈ X : p(x) < ε}
jest zbiorem absolutnie wypukłym.
Lemat 3.2 Jeżeli p1 , p2 są dwiema pseudonormami ma X to inkluzja Kp1 (1) ⊂
Kp2 (1) jest równoważna temu, że dla dowolnego x ∈ X zachodzi nierówność
p2 (x) ¬ p1 (x).
Dowód. Załóżmy, że Kp1 ⊂ Kp2 (1) Jeżeli p1 (nx) = 0, to dla dowolnego
n ∈ N mamy p1 (nx) = 0 < 1, zatem p2 (nx) < 1 to znaczy p2 (x) < n1
dla dowolnego n ∈ N, a więc p2 (x) = 0. Jeżeli natomiast p1 (x) > 0 to dla
dowolnego λ ∈ [0, 1) mamy p1 (λ p1x(x) ) = λ < 1 więc p2 (λ p1x(x) ) < 1. Stąd
wynika, że λp2 (x) ¬ p1 (x) dla dowolnego λ ∈ [0, 1). Stąd oczywiście wynika
nierówność p2 (x) ¬ p1 (x).
19
Twierdzenie 3.4 Niech X będzie przestrzenią liniowo topologiczną a p :
X → [0, ∞) dowolną pseudonormą. Niech W = {x ∈ X : p(x) < 1}.
Następujące warunki są równoważne [(i) p jest odwzorowaniem ciągłym,
(ii) p jest odworowaniem ciągłym w 0,
(iii) W jest otoczeniem 0,
(iv) W zawiera otoczenie zera;
(v) W ma wnętrze niepuste.
Dowód. Równoważność warunków (i) i (ii) wynika z nierówności (27). Implikacje (i)⇒(iii), (iii)⇒(iv), (iv)⇒(v) są oczywiste. Pozostaje udowodnić
implikację (v)⇒(ii). Weźmy dowolne ε > 0. Załóżmy, że x0 ∈ int(W ). Z
założenia istnieje takie otoczenie zera U, takie, że x0 + U ⊂ W. Jeżeli x ∈ U
to p(x0 + x) < 1 więc
p(x) ¬ p(x + x0 ) + p(−x0 ) = p(x + x0 ) + p(x0 ) < 2.
Niech V = 2ε U. Jeżeli x ∈ W to p(x) < ε.
Definicja 3.5 Mówimy, że rodzina P półnorm na przestrzeni liniowej X
oddziela punkty jeżeli dla dowolnego x ∈ X − {0} istnieje p ∈ P takie, że
p(x) ̸= 0.
Twierdzenie 3.5 Niech P będzie rozdzielającą punkty rodziną pseudonorm na przestrzeni liniowej X. Wówczas topologia G generowana przez
rodzinę P jest topologią lokalnie wypukłą. Bazą otoczeń zera tej topologii
stanowi rodzina
B = {Kp1 (ε) ∩ ... ∩ Kpn (ε) : p1 , ..., pn ∈ P, ε > 0, n ∈ N}.
Dowód. Niech G będzie najsłabszą topologią na X taką, że wszystkie odwzorowania p ∈ P są ciągłe. Wówczas B ⊂ G. Niech
G0 = {U ⊂ X : ∀x∈U ∃V ∈B x + V ⊂ U }.
Łatwo sprawdzić, że G0 jest topologią na X. Ponadto, jeżeli x ∈ Kp (ε) to
x + Kp (ε − p(x)) ⊂ Kp (ε), zatem Kp (ε) ∈ G0 więc B ⊂ G0 .
3.4
Funkcjonały Minkowskiego zbiorów absolutnie wypukłych
Definicja 3.6 Niech W będzie podzbiorem wypukłym i pochłaniającym przestrzeni liniowej X nad ciałem liczb rzeczywistych. Zdefiniujmy funkcjonał
pW : X → R+ przyjmując
pW (x) = inf{α ∈ R+ : x ∈ αW }.
Twierdzenie 3.6 Funkcjonał Banach dowolnego podzbioru wypukłego i pochłaniającego W spełnia następujące warunki:
20
(a) p(0) = 0;
(b) p(λx) = λp(x) dla dowolnego λ ∈ [0, ∞], oraz x ∈ X;
(c) p(x + y) ¬ p(x) + p(y) dla dowolnych x, y ∈ X.
Dowód. Warunek (a) jest oczywisty, Aby udowodnić (b) możemy zakładać,
że λ > 0. Jeżeli x ∈ αW, to λx ∈ λα, zatem p(λx) ¬ λα. Przechodząc po
prawej stronie z α do kresu dolnego, dostajemy nierówność
p(λx) ¬ p(λx)
prawdziwą dla dowolnego λ ∈ [0, ∞) oraz x ∈ X. Biorąc zamiast współczynnika λ współczynnik λ−1 a za x wyrażenie λx dostajemy
p(x) = p(λ−1 λx) ¬ λ−1 p(λx),
zatem p(λx) ­ λp(x). Łącząc obie udowodnione nierówność dostajemy punkt
(b).
(c) Załóżmy, że α, β ∈ R+ oraz x ∈ αW, oraz y ∈ βW. Wówczas
(
x + y ∈ αW + βW = (α + β
β
α
W+
W
α+β
α+β
)
= (α + β)W.
Stąd p(x + y) ¬ α + β, a więc przechodząc z prawą stroną do kresu dolnego
dostajemy (c). Definicja 3.7 Funkcjonał p określony na rzeczywistej przestrzeni liniowej
i spełniający warunki (a), (b), (c) twierdzenia 3.6 nazywamy funkcjonałem
Banacha,
Twierdzenie 3.7 Załóżmy, że X jest przestrzenią liniową nad ciałem K a
W pochłaniającym podzbiorem absolutnie wypukłym X. Niech p będzie funkcjonałem Minkowskiego zbioru W. Wówczas
(a) p(0) = 0;
(b) p(λx) = |λ|p(x) dla dowolnego λ ∈ K, oraz x ∈ X;
(c) p(x + y) ¬ p(x) + p(y) dla dowolnych x, y ∈ X.
Dowód. Na podstawie poprzedniego twierdzenia wystarczy udowodnić warunek
Jak łatwo zauważyć waruunek (b) definicji półnormy jest spełniony w
sposób oczywisty, wystarczy więc sprawdzićw warunek (a). Weźmy dowolne
x, y ∈ X. Jeżeli ε > 0, to istnieją λ1 , λ2 ∈ [0, ∞) takie, że x ∈ λ1 W, y ∈
λ2 W oraz λ1 < p(x) + (ε/1), λ2 < p(y) + (ε/2). Mamy
(
λ1
λ1
x + y ∈ λ1 W + λ2 W = (λ1 + λ2 )
W+
W
λ1 + λ 2
λ1 + λ2
21
)
⊂ (λ1 + λ2 )W.
Zatem pW (x + y) ¬ λ1 + λ2 ¬ pW (x) + pW (y) + ε. Wobec dowolności ε
mamy
pW (x + y) ¬ pW (x) + pW (y).
Twierdzenie 3.8 NIech W będzie absolutnie wypukłym otoczeniem zera
w przestrzeni liniowo topologicznej X. Wówczas funkcjonał Minkowskiego
pólnormy p jest odwzorowaniem ciągłym na X. Mamy p(x) < 1 wtedy i
tylko wtedy gdy x ∈ W.
Dowód. Jeżeli p(x) < 1 to x ∈ λU dla pewnego λ ∈ [0, 1). Ponieważ zbiór
U jest zbiorem zbalansowanym więc λU ⊂ U zatem x ∈ U. Załóżmy teraz,
że x ∈ U. Ponieważ 1 · x = x ∈ U więc z ciągłości mnożenia wynika, że
istnieje takie ε > 0, że jeżeli |λ − 1| < ε to λx ∈ U. Stąd (1 + (ε/2))x ∈ U
więc x ∈ (1 + (ε/2))−1 U zatem p(x) < (1 + (ε/2))−1 < 1.
Twierdzenie 3.9 Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną a B bazą otoczeń zera przestrzeni X złożoną ze zbiorów absolutnie wypukłych.
Wówczas rodzina pseudonorm
P = {pW : W ∈ B}
generuje topologię przestrzeni X.
Dowód. Przede wszystkim zauważmy, że z warunku T1 wynika, że określona w twierdzeniu rodzina pseudonorm P oddziela punkty. Ponadto topologia G0 generowana przez tą rodzinę jest słabsza od oryginalnej topologii
G przestrzeni X. Wystarczy więc udowodnić inkluzję G ⊂ G0 . Z twierdzenia 3.5 wynika, że topologia G0 jest topologią lokalnie wypukłą, zatem na
podstawie twierdzenia 1.4 wystarczy pokazać, że dowolne otoczenie zera U
w (X, G) zawiera otoczenie zera w (X, G0 ). Jeżeli U jest otoczeniem zera w
(X, G) a W ∈ B takim zbiorem z B, że W ⊂ U, to z twierdzenia 3.8 mamy
W = KpW (1). Ale pW jest pseudonormą ciągłą względem topologii G0 więc
W jest otoczeniem zera w (X, G0 ) zawartym w U.
Z twierdzeń 3.5, 3.9 wynika:
Twierdzenie 3.10 Przestrzeń liniowo topologiczna jest przestrzenią lokalnie wypukłą, wtedy i tylko wtedy gdy istnieje oddzielającą punkty rodzina
P pseudonorm na X generująca topologię przestrzeni X.
3.5
Metryzowalność przestrzeni lokalnie wypukłej
Twierdzenie 3.11 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(i) X jest przestrzenią metryzowalną;
(ii) X spełnia I aksjomat przeliczalności;
22
(ii) istnieje przeliczalna rodzina pseudonorm generująca topologię przestrzeni;
(iii) istnieje rosnący ciąg pseudonorm (pn ) na X, generujący topologię
przestrzeni X.
Dowód. (i)⇒(iii) Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą metryzowalną. Niech ∥·∥ będzie F −normą generującą topologię w X. Niech Vn będzie
absolutnie wypukłym otoczeniem zera takim, że Vn ⊂ {x ∈ X; ∥x∥ < 1/n}.
Oznaczmy, przez pn funkcjonał Minkowskiego zbioru Vn . Łatwo zauważyć,
że ciąg pn jest ciągiem rosnącym pseudonorm generującym topologię przestrzeni X. Implikacja (iii)⇒(ii) jest oczywista. Aby udowodnić implikację
(ii)⇒(i) zauważmy, że jeżeli P = {pn : n ∈ N} jest rodziną pseudonorm
generującą topologię przestrzeni, to F −norma ∥·∥ zdefiniowana wzorem
∥x∥ =
∞
∑
pn (x)
,
1 + pn (x)
n=1
Twierdzenie 3.12 Przestrzeń liniowo topologiczna X jest przestrzenią unormowaną, wtedy i tylko wtedy gdy gdy istnieje w niej wypukłe ograniczone
otoczenie zera.
Dowód. Niech V będzie wypukłym ograniczonym otoczeniem zera w X.
Niech W będzie absolutnie wypukłym otoczniem zera takim, że W ⊂ U.
Niech ∥·∥ będzie funkcjonałem Minkowskiego zbioru W. Wówczas ∥x∥ < ε
wtedy i tylko wtedy gdy x ∈ εW. Z dowodu poprzedniego twierdzenia wynika
więc, że zbiory
1
{x ∈ X : ∥x∥ < }
n
tworzą bazę przestrzeni X. Stąd wynika, że pseudonorma ∥·∥ jest normą i
że topologia generowana przez tą normę pokrywa się z wyjściową topologią.
3.6
Funkcjonały liniowe na przestrzeniach lokalnie wypukłych
Twierdzenie 3.13 Niech X, Y będą przestrzeniami lokalnie wypukłymi.
Odwzorowanie liniowe L : X → Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy dla
dowolnej pseudonormy ciągłej q na Y istnieje pseudonorma ciągła p na X
taka, że q(L(x)) ¬ p(x).
Dowód. Niech L będzie odwzorowaniem liniowym i ciągłym na X. Jeżeli q
jest pseudonormą ciągłą na Y to zbiór Kq (1) jest otoczeniem zera w Y. Z
ciągłości odwzorowania L w 0 istnieje takie otoczenie zera U, że jeżeli x ∈ U
to L(x) ∈ Kq (1). Z twierdzenia 3.3 istnieje absolutnie wypukłe otocznie
zera zawarte w U. Niech p będzie funkcjonałem Minkowskiego zbioru W.
Z twierdzenia 3.8 wynika, że p jest pseudonormą ciągłą na X i Kp (1) ⊂
W. Zatem jeżeli p(x) < 1 to q(L(x)) < 1 dla dowolnego x ∈ X. Niech
23
q0 X → [0, ∞) będzi funkcją zdefiniowaną wzzorem q0 (x) = q(L(x)). Łatwo
sprawdzić, że q0 jest pseudonormą na X taką, że Kp (1) ⊂ Kq0 (1). z lematu
wynika, że dla dowolnego n ∈ N zachodzi nierówność q0 (x) ¬ p(x) zatem
q(L(x)) ¬ p(x).
Implikacja w drugą stronę jest oczywista bo jeżeli x ∈ Kp (ε) to L(x) ∈
Kq (ε).
Twierdzenie 3.14 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą i niech P
będzie rodziną pseudonorm generującą topologię tej przestrzeni. Wówczas
funkcjonał liniowy Λ : X → K jest funkcjonałem ciągłym wtedy i tylko
wtedy gdy istnieją pseudonormy p1 , p2 , ..., pn ∈ P i istnieje stała C > 0
takie, że dla dowolnego x ∈ X mamy
|Λ(x)| ¬ C max{p1 (x), p2 (x), ..., pn (x)}.
(28)
Dowód. Załóżmy, że Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na X. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że istnieje pseudonorma ciągła p na X taka,
że |Λ(x)| ¬ p(x) dla dowolnego x ∈ X. Ponieważ Kp (1) jest otoczeniem zera
w X więc z twierdzenia 3.5 wynika, że istnieją pseudonormy p1 , ..., pn ∈ P
i istnieje ε > 0 takie, że Kp1 (ε) ∩ ....Kpn (ε) ⊂ Kp (1). Niech q będzie pseudonormą na X zdefiniowaną wzorem
q(x) =
1
max{p1 (x), ..., pn (x)}.
ε
Jak łatwo sprawdzić, q jest pseudonormą ciągłą taką, że Kq (1) ⊂ Kp (1). Z
lematu 3.2 wynika, że dla dowolnego x ∈ X zachodzi nierówność p(x) ¬ q(x)
a więc również nierówność 28 ze stałą C = 1ε .
Implikacja w drugą stronę wynika z poprzedniego twierdzenia, gdyż dowolna pseudonorma q ciągła na K jest postaci q(x) = K|x|, gdzie K jest
stałą nieujemną.
Jako wniosek z poprzedniego twierdzenia dostajemy twierdzenie o ogólnej postaci funkcjonału liniowego na przestrzeni lokalnie wypukłej której
topologia zadana jest za pomocą rosnącego ciągu pseudonorm.
Twierdzenie 3.15 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą taką, że
topologia przestrzeni X zadana jest za pomocą rosnącego ciągu (pn ) pseudonorm na X. Funkcjonał liniowy Λ : X → K jest funkcjonałem ciągłym
wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnego n ∈ N, pewnego C ∈ R i dowolnego
x ∈ X zachodzi nierówność:
|Λ(x)| ¬ Cpn (x).
24
4
Twierdzenie Hahna Banacha
Definicja 4.1 Niech X będzie przestrzenią nad ciałem R. Mówimy, że funkcja p : X → [0, ∞] jest funkcjonałem Banacha jeżeli
(a) p(0) = 0;
(b) p(λx) = λp(x) dla dowolnego x ∈ X oraz λ > 0;
(c) p(x + y) ¬ p(x) + p(y) dla dowolnych x, y ∈ X.
Twierdzenie 4.1 (Hahna-Banacha) Niech X będzie przestrzenią liniową a Y podprzestrzenią przestrzeni X. Załóżmy, że Λ0 jest funkcjonałem
liniowym na przestrzeni Y takim, że
Λ0 x ¬ p(x)
dla dowolnego x ∈ E. Wówczas istnieje funkcjonał liniowy Λ na X taki, że
(a) Λ|E = Λ0 ;
(b) Λx ¬ p(x) dla dowolnego x ∈ X.
Dowód Zauważmy, że jeżeli c jest dowolną liczbą rzeczywistą to funkcjonał
Λ określony na X wzorem:
Λ(x) = Λ0 (y) + λc
(29)
gdy x = y+λx0 , gdzie y ∈ Y jest funkcjonałem liniowym na X spełniającym
warunek (a). Wystarczy więc dobrać współczynnik c tak aby spełniony był
warunek (b). Warunek ten będzie spełniony jeżeli dla dowolnego y ∈ Y będą
spełnione dwie nierówności:
Λ0 (y) + c ¬ p(y + x0 ) oraz Λ0 (y) − c ¬ p(y − x0 )
(30)
to znaczy, gdy
Λ0 (y) − p(y − x0 ) ¬ c ¬ p(y + x0 ) − Λ0 (y),
(31)
dla dowolnego y ∈ Y. Zauważmy, że dla dowolnych y1 , y2 ∈ Y mamy
Λ0 (y1 ) + Λ0 (y2 ) = Λ0 (y1 + y2 ) ¬ p(y1 + y2 ) ¬ p(y1 − x0 ) + p(y2 + x0 ),
zatem
Λ0 (y1 ) − p(y1 − x0 ) ¬ p(y2 + x0 ) − Λ0 (y2 ).
Oznaczmy
a = sup[−Λ0 (y) − p(y + x0 )] oraz b = sup[p(y + x0 ) − Λ0 (y)].
y∈Y
y∈Y
25
(32)
Na podstawie nierówności (32) mamy a ¬ b, więc jeżeli jeżeli za c wziąć
dowolną liczbę z przedziału [a, b] to funkcjonał Λ określony wzorem (29)
spełnia warunek (30). To kończy dowód w przypadku gdy X jest postaci X = Y ⊕ (x0 ). W przypadku dowolnym wystarczy zastosować lemat
Kuratowskiego-Zorna. Zauważmy, że a nierówności z punktu (b) tezy twierdzenie wynika, że
dla dowolnego x zachodzą nierówności
−p(−x) ¬ Λx ¬ p(x),
zatem jeżeli funkcjonał Banacha jest pseudonormą, to
|Λx| ¬ p(x)
dla dowolnego x ∈ X.
Twierdzenie 4.2 (Hahna-Banacha) Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K a p : X → [0, ∞) pseudonormą. Załóżmy, że Y jest
podprzestrzenią X a Λ0 : E → K takim funkcjonałem, że
|Λ0 (x)| ¬ p(x) dla dowolnego x ∈ E.
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy Λ : X → K taki, że
Λ(x) = Λ0 (x) dla dowolnego x ∈ E
oraz
|Λ(x)| ¬ p(x) dla dowolnego x ∈ X.
(33)
Dowód. (a) Przypadek przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych. Wystarczy zastosować poprzednią wersję twierdzenia Hahna-Banacha.
(b) Przypadek przestrzeni nad ciałem liczb zespolonych. Wówczas funkcjonał Λ0 , można przedstawić w postaci Λ0 = U0 + iV0 gdzie U0 i V0 są funkcjonałami rzeczywistymi. Z pierwszej części twierdzenia istnieje funkcjonał
liniowy rzeczywisty U : X → R taki, że U (x) = U0 (x) dla dowolnego x ∈ E
oraz |U (x)| ¬ p(x) dla dowolnego x ∈ X. Niech Λ będzie takim funkcjonałem
liniowym zespolonym na X, że Re(Λ) = U, to znaczy Λ(x) = U (x) − iU (ix)
dla dowolnego x ∈ X. Wówczas Λ jest przedłużeniem na X funkcjonału Λ0 .
Wystarczy udowodnić, że spełnia on warunek (33). Weźmy dowolne x ∈ X
i niech α ∈ C będzie takie, że |α| = 1 oraz |Λ(x)| = αΛ(x). Wówczas mamy
|Λ(x)| = U (αx) ¬ p(αx) ¬ p(x). Jako wniosek z twierdzenia Hahna Banacha dostajemy:
Twierdzenie 4.3 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą a E podprzestrzenią X. Jeżeli Λ0 jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na E, to Λ0
można przedłużyć do funkcjonału liniowego Λ : X → K ciągłego na całej
przestrzeni X.
26
Dowód. Z ciągłości Λ0 na E istnieje takie otoczenie zera V w E, że |Λ0 (x) <
1 dla x ∈ V. Z postaci zbiorów otwartych w podprzestrzeni przestrzeni topologicznej wynika, że istnieje otoczenie zera U w X takie, że U ∩ E = V.
Ponieważ X jest przestrzenią lokalnie wypukłą więc istnieje absolutnie wypukłe otoczenie zera W takie, że W ⊂ U. Niech p będzie funkcjonałem Minkowskiego zbioru W. Z twierdzenia 3.8 wynika, że p jest pseudonormą ciągłą
na X. Na E wartości p pokrywają się z wartościami funkcjonału Minkowskiego E ∩ W, zatem jeżeli x ∈ E i p(x) < 1, to z twierdzenia 3.8 dostajemy,
że x ∈ E ∩ W ⊂ V, więc |Λ0 (x) < 1, zatem z lematu 3.2 dostajemy, że
|Λ0 (x)| ¬ p(x) dla x ∈ E. Z twierdzenia 3.2 wynika, że istnieje funkcjonał
liniowy Λ : X → K taki, że Λx = Λ0 (x) dla x ∈ E oraz |Λ(x) ¬ p(x) dla
dowolnego x ∈ X. Z twierdzenia 3.14 Λ jest funkcjonałem ciągłym na X.
Twierdzenie 4.4 W dowolnej przestrzeni lokalnie wypukłej istnieją niezerowe funkcjonały liniowe i ciągłe. Dokładniej dla dowolnego x ∈ X − {0}
istnieje funkcjonał liniowy i ciągły Λ : X → K taki, że Λ(x) = 1.
Dowód. Wystarczy zastosować poprzednie twierdzenie do E = lin{x} i
funkcjonału Λ0 : E → K określonego wzorem Λ0 (αx) = α. Twierdzenie 4.5 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a E domkniętą podprzestrzenią X. Jeżeli x0 ∈ X − E, to istnieje funkcjonał liniowy
i ciągły Λ : X → K taki, że Λ(x0 ) = 0 oraz E ⊂ Ker(Λ).
Twierdzenie 4.6 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą, a H dowolną podprzestrzenią X. Wówczas dla dowolnego x0 ∈ X następujące warunki są równoważne:
(i) x0 ∈ H,
(ii) Jeżeli Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na X takim, że H ⊂
Ker(Λ) to Λ(x0 ) = 0.
Dowód. Implikacja (ii)⇒(i) wynika z tego, że jądro dowolnego funkcjonału
liniowego i ciągłego na X jest podprzestrzenią domkniętą X
Aby udowodnić implikację przeciwną załóżmy nie wprost, że x0 ̸∈ E.
Jako wniosek z powyższego twierdzenia dostajemy następującą charakteryzację gęstych podprzestrzeni przestrzeni lokalnie wypukłej.
Twierdzenie 4.7 Niech E będzie podprzestrzenią przestrzeni lokalnie wypukłej X. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to E było gęste w
X, jest aby dla dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego i ciągłego Λ
na X istniało x ∈ E takie, że Λ(x) ̸= 0.
27
4.1
Twierdzenie o zbiorze wypukłym
Twierdzenie 4.8 Niech A i B będą rozłącznymi podzbiorami wypukłymi
przestrzeni liniowo topologicznej X. Załóżmy ponadto, że A jest zbiorem
otwartym. Wówczas istnieje funkcjonał liniowy Λ i liczba γ ∈ R takie, że
dla x ∈ A, i y ∈ B zachodzi nierówność
ReΛx < γ ¬ ReΛy.
Dowód. Niech a ∈ A, b ∈ B, x0 = −a + b, oraz U = x + A − B. U
jest wypukłym otoczeniem zera. Niech p będzie funkcjonałem Minkowskiego
zbioru U. Z twierdzenia Rozpatrzmy przestrzeń Y = (x0 ) i funkcjonał Λ0
określony na tej przestrzeni wzorem
Λ0 (λx) = λp(x).
Twierdzenie 4.9 Niech X będzie przestrzenią lokalnie wypukłą a K, F domkniętymi rozłącznymi podzbiorami X przy czym zbiór K jest zwarty. Wówczas istnieje funkcjonał Λ ∈ X ∗ taki i stałe γ1 < γ2 takie, że dla dowolnego
x ∈ K oraz y ∈ F zachodzi nierówność
ReΛ(x) < γ1 < γ2 < ReΛ(y).
5
Słaba topologia i słaba zbieżność
Twierdzenie 5.1 Niech X będzie przestrzenią liniową a Y podprzestrzenią
X ′ rozdzielającą punkty. Wówczas topologia na X generowana przez rodzinę
odwzorowań Y jest topologią lokalnie wypukłą. Dla dowolnych Λ1 , . . . , Λn ∈
Y i dowolnego ε > 0 oznaczmy
U (Λ1 , . . . , Λn ; ε) = {x ∈ X : ∀j=1,
..., n |Λj (x)|
< ε}.
Wówczas rodzina
B0 = {U (Λ1 , . . . , Λn ; ε) : ε > 0, Λ1 , . . . Λn ∈ Y }
stanowi bazę otoczeń zera tej topologii. Topologia ta jest topologią lokalnie
wypukłą na X.
Funkcjonał liniowy Λ jest funkcjonałem ciągłym na tej przestrzeni wtedy
i tylko wtedy, gdy Λ ∈ Y.
Dowód. Oznaczmy przez G0 topologię na X generowaną przez rodzinę odwzorowań Y.
Dla dowolnego x ∈ X oraz Λ1 , . . . , Λn ∈ Y i dowolnego ε > 0 niech
V (x, Λ1 , . . . , Λn
28
Twierdzenie 5.2 Niech W będzie podzbiorem wypukłym przestrzeni lokalnie wypukłej X. Wówczas domknięcie zbioru W w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru względem słabej topologii.
Dowód. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X oznaczmy tradycyjnie przez A dow
mknięcie tego zbioru względem wyjściowej topologii a przez A domknięcie
tego zbioru względem słabej topologii. Dla dowolnego zbioru A ⊂ X zaw
chodzi oczywiście inkluzja A ⊂ A . Załóżmy, że zbiór W ⊂ X jest zbiorem
w
w
wypukłym i W ( W . Niech x0 ∈ W \W . Ponieważ W jest zbiorem wypukłym więc z twierdzenia 4.9 istnieje funkcjonał Λ ∈ X ∗ oraz stałe γ1 , γ2 ∈ R
takie, że γ1 < γ2 oraz Λ(x0 ) < γ1 i Λx > γ2 dal dowolnego x ∈ W . Zbiór
U = {x ∈ X : Λ(x) < γ1 } jest otoczeniem punktu x0 względem słabej topologii więc U ∩ W ̸= ∅. To prowadzi do sprzeczności, bo Λ(x) > γ2 > γ1 dla
dowolnego x ∈ W. Wniosek 5.1 Podzbiór W przestrzeni lokalnie wypukłej jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy jest zbiorem wypukłym względem słabej topologii.
Twierdzenie 5.3 (Mazura) Niech X będzie metryzowalną przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli ciąg (xn ) jest słabo zbieżny w X do x, to istnieje ciąg
(yn ) taki, że yn ∈ conv{x1 , x2 , . . .} oraz yn → x.
w
Dowód. Niech A = {x1 , x2 , . . .}. Oczywiście x ∈ conv(A) więc z twierdzenia 5.2 wynika, że x ∈ conv(A). Ponieważ w przestrzeni metrycznej domknięcie zbioru pokrywa się z ciągowym domknięciem tego zbioru, więc
istnieje ciąg (yn ) kombinacji wypukłych xn taki, że yn → X. Twierdzenie 5.4 Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Mówimy, że punkt x0 zbioru E ⊂ X jest punktem ekstremalnym tego zbioru jeżeli
dla dowolnych x, y ∈ E i λ ∈ (0, 1) jeżeli x0 =
Definicja 5.1 Niech X będzie przestrzenią liniowo topologiczną. Topologią
słabą* w X ∗ nazywamy najsłabszą topologię w X ∗ taką, że funkcjonały.
K ∋ x 7→ Λx ∈ K.
Twierdzenie 5.5 Dla dowolnego Λ ∈ X ∗ , dowolnych x1 , . . . xn ∈ X i
dowolnego ε > 0 niech
V (Λ, x1 , . . . , xn , ε) = {x∗ ∈ X ∗ : ∀j=1,...n |x∗ (xj ) − Λ(xj )| < ε}.
Wówczas rodzina
B = {V (Λ, x1 , . . . , xn ) : Λ ∈ X ∗ , x1 , . . . xn ∈ X}
stanowi bazę otoczeń zera topologii słabej* w X ∗ .
29
Twierdzenie 5.6 (Banacha-Alaoglu) Załóżmy, że X jest przestrzenią
liniowo-topologiczną taką, że X ∗ rozdziela punkty. Jeżeli U jest dowolnym
otoczeniem zera, to zbiór
K = {Λ ∈ X ∗ : |Λx| ¬ 1 dla dowolnego x ∈ U }
jest zbiorem zwartym względem słabej∗ topologii w X ∗ .
Dowód. Ponieważ dowolne otoczenie zera jest zbiorem pochłaniającym,
więc dla dowolnego x ∈ X istnieje takie λx > 0, że x ∈ λx U. Wówczas
|Λx x
5.1
Twierdzenie Kreina Milmanna
Definicja 5.2 Załóżmy, że X jest przestrzenią liniową nad ciałem K. Mówimy, że punkt x0 ∈ A jest punktem ekstremalnym zbioru A jeżeli dla dowolnych x, y ∈ A i dowolnego λ ∈ (0, 1) z tego, że λx+(1−λ)y = x0 wynika,
że x = y = x0 .
Inaczej mówiąc punkt A jest punktem ekstremalnym zbioru A ⊂ X jeżeli
nie leży wewnątrz, żadnego odcinka o końcach w zbiorze A.
Definicja 5.3 Mówimy, że zbiór B jest podzbiorem ekstremalnym zbioru A
jeżeli z tego, że λx + (1 − λ)y ∈ B dla pewnych x, y ∈ A i λ ∈ (0, 1) wynika,
że x, y ∈ B.
Uwaga 5.1 Punkt x0 ∈ A jest punktem ekstremalnym tego zbioru wtedy i
tylko wtedy, gdy zbiór {x0 } jest podzbiorem ekstremalnym A.
Uwaga 5.2 Jeżeli A0 jest podzbiorem ekstremalnym zbioru A, a A1 podzbiorem ekstremalnym A0 , to A1 jest podzbiorem ekstremalnym A. W szczególności jeżeli x0 jest punktem ekstremalnym zbioru A0 , to x0 jest punktem
ekstremalnym A.
Uwaga 5.3 Załóżmy, że A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni liniowej
X a Λ : X → K takim funkcjonałem liniowym, że
γ = inf ReΛx < ∞.
x∈A
Wówczas zbiór
A0 = {x ∈ A : Λx = γ}
jest albo zbiorem pustym, albo podzbiorem ekstremalnym A.
Dowód. Załóżmy, że A0 jest zbiorem niepustym. Jeżeli λ ∈ (0, 1), a ∈ A0
oraz x, y ∈ K są takie, że a = λx + (1 − λ)y. Oczywiście Λx ­ γ oraz
Λy ­ γ. Gdyby choć jedna z tych nierówności była ostra, to mielibyśmy
Λ(a) = λΛ(x) + (1 − λ)Λ(y) > γ, co prowadzi do sprzeczności. 30
Twierdzenie 5.7 Niech K będzie podzbiorem zwartym przestrzeni lokalnie
wypukłej X. Wówczas K zawiera punkt ekstremalny.
Dowód. Niech R będzie rodziną wszystkich podzbiorów zwartych i ekstremalnych zbioru K. Jeżeli A, B ∈ R to przyjmujemy, że A ≼ B leżeli B ⊂ A.
Relacja ≼ jest częściowym porządkiem w R i jak łatwo sprawdzić dla do∩
wolnego łańcucha L w R zbiór {A : A ∈ L} jest w R ograniczeniem
górnym L. Stąd na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna wnioskujemy, że w
R istnieje ograniczenie górne. Inaczej mówiąc istnieje taki podzbiór zwarty K0 zbioru K który jest zbiorem ekstremalnym w K i który nie zawiera
mniejszego zbioru o tej własności. Wystarczy udowodnić, że K0 jest zbiorem jednopunktowym. Załóżmy nie wprost, że zbiór K0 zawiera dwa różne
elementy x0 , y0 . Na mocy twierdzenia 4.9 istnieje funkcjonał Λ ∈ X ∗ taki, że ReΛ(x0 ) < ReΛ(y0 ). Niech γ = inf x∈K0 ReΛ(x) Oznaczmy przez K1
zbiór {x ∈ K0 : ReΛ(x) = γ0 }. Ponieważ funkcja ciągła przyjmuje na zbiorze zwartym kres dolny, więc zbiór K1 jest zwartym, niepustym, właściwym
podzbiorem K0 . Udowodnimy, że K0 jest ekstremalnym podzbiorem K. Jeżeli x0 ∈ λx + (1 − λ)y, gdzie λ ∈ (0, 1) oraz x, y ∈ K, to oczywiście ReΛ(x)
oraz ReΛ(y) ­ γ0 , zatem ReΛx0 ­ q. Żeby zachodziła równość, to musi być
ReΛ(x) = ReΛ(y) = γ, Zatem x, y ∈ K1 .
Udowodniliśmy więc, że zbiór K0 jest jednopunktowym podzbiorem ekstremalnym K, zatem jego element musi być zbiorem ekstremalnym. Twierdzenie 5.8 Jeżeli K jest podzbiorem zwartym przestrzeni lokalnie
wypukłej, a A jest zbiorem wszystkich punktów ekstremalnych K, to
K ⊂ conv(A).
Dowód. Oznaczmy W = conv(A) i załóżmy, że istnieje x0 ∈ K takie, że
x0 ̸∈ W. Z twierdzenia 4.9 istnieje Λ ∈ X ∗ takie, że ReΛ(x0 ) < ReΛx dla
dowolnego x ∈ W. Niech γ = inf x∈K ReΛx i niech K0 = {x ∈ K : ReΛx =
γ}. K0 jest niepustym zbiorem podzbiorem zwartym K.
Twierdzenie 5.9 (Mazura) Jeżeli K jest podzbiorem zwartym przestrzeni
Banacha X to conv(K) jest również zbiorem zwartym.
Dowód. Wystarczy pokazać, że dla dowolnego ε > 0 w zbiorze conv(K)
istnieje skończona ε−sieć.
6
Przestrzenie unormowane i przestrzenie Banacha
Twierdzenie 6.1 Przestrzeń unormowana (X, ∥·∥) przestrzenią Banacha
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (xn ) elementów X takiego, że
∞
∑
n=1
∥xn ∥ < ∞, szereg
∞
∑
jest zbieżny.
n=1
31
7
Operatory liniowe na przestrzeniach Banacha
Definicja 7.1 Mówimy, że operator liniowy L z przestrzeni liniowo topologicznej X w przestrzeń liniowo topologiczną Y jest operatorem ograniczonym, jeżeli przeprowadza zbiory ograniczone w X na zbiory ograniczone w
Y.
Twierdzenie 7.1 Niech X, Y będą przestrzeniami liniowo topologicznymi
a L : X → Y odwzorowaniem liniowym. Rozważmy następujące warunki:
(a) L jest operatorem ciągłym;
(b) L jest operatorem ograniczonym;
(c) jeżeli (xn ) jest dowolnym ciągiem zbieżnym do 0 w X to (L(xn )) jest
ciągiem ograniczonym w Y
(d) jeżeli (xn ) jest dowolnym ciągiem zbieżnym do 0 w X to L(xn ) → 0
w Y.
Wówczas prawdziwe są implikacje (a) ⇔ (b), (b) ⇔ (c). Jeżeli X jest
przestrzenią mertyzowalną to prawdziwe są również implikacje (c) ⇔ (d), (d) ⇔
(a).
32
7.1
Twierdzenie Banacha Steinhausa
Twierdzenie 7.2 (Banacha Steinhausa) Niech (Ln ) będzie ciągiem operatorów liniowych i ciągłych z przestrzeni Banacha X do przestrzeni unormowanej Y. Wówczas następujące dwa warunki są równoważne:
(a) Dla dowolnego x ∈ X ciąg (Ln (x)) jest ciągiem ograniczonym,
(b) Ciąg (∥Ln ∥) jest ciągiem ograniczonym.
Dowód. Implikacja (b)⇒(a) jest oczywista. Aby udowodnić implikację
odwrotną załóżmy, że dla dowolnego x ∈ X ciąg (Ln (x)) jest ograniczony i
niech
Ak = {x ∈ X : ∥Tn (x)∥ ¬ k dla dowolnego n ∈ N}.
Zbiory Ak są domknięte w X bo
Ak =
∞
∩
L−1
n (KY (0, k)).
n=1
Z tego, że dla dowolnego x ∈ X ciąg Ln (x) jest ciągiem ograniczonym wynika, że
∞
∪
Ak = X.
k=1
Stosując twierdzenie Baire’a wnioskujemy, że wnętrze jednego ze zbiorów
Ak jest niepuste. Niech K(x0 , δ) ⊂ Ak0 . Inaczej mówiąc jeżeli ∥x − x0 ∥ ¬ δ
to Ln (x) ¬ k0 dla dowolnego n ∈ N. Załóżmy, że ∥x∥ ¬ δ. Wówczas x =
(x0 + x) − x0 więc dla dowolnego n ∈ N mamy:
∥Ln (x)∥ = ∥Ln (x0 + x) − Ln (x0 )∥ ¬ ∥Ln (x0 + x)∥ + ∥Ln (x0 )∥ ¬ 2k0 .
Stąd wynika zaś, że jeżeli ∥x∥ ¬ 1 to
2
1
1
∥Ln (x)∥ = Ln ( (δx))
= ∥Ln (δx)∥ ¬ k0 .
δ
δ
δ
Ponieważ
∥Ln ∥ = sup{Ln (x) : ∥x∥ ¬ 1}
2
więc z powyższej nierówności dostajemy, że ∥Tn ∥ ¬ k0 dla dowolnego n ∈
δ
N.
Definicja 7.2 Niech (X, d), (Y, ρ) będą przestrzeniami metrycznymi a R
będzie rodziną odwzorowań z X w Y. Mówimy, że rodzina R jest rodziną
jednakowo ciągłą w punkcie x0 ∈ X jeżeli dla dowolnego ε > 0 istnieje
taka δ, że dla dowolnego f ∈ R, jeżeli d(x, x0 ) < δ to ρ(f (x), f (x0 ) < ε.
Mówimy, że R jest rodziną równociągłą jeżeli jest rodziną równociągłą w
każdym punkcie przestrzeni X.
33
Twierdzenie 7.3 Niech (Ln ) będzie ciągiem odwzorowań liniowych z przestrzeni unormowanej w przestrzeń unormowaną Y. Następujące warunki są
równoważne
(a) {Ln : n ∈ N} jest rodziną równociągłą;
(b) {Ln : n ∈ N} jest rodziną równociągłą w 0;
(c) Jeżeli xn → 0 to Ln (xn ) → 0;
(d) Ciąg ∥Ln ∥ jest ciągiem ograniczonym.
Dowód. Implikacja (a)⇒(b) jest oczywista. Aby udowodnić implikację (b)⇒(c)
weźmy dowolny ciąg (xn ) zbieżny do zera w X i weźmy dowolne ε > 0. Z
założenia (b) wynika, że istnieje takie δ > 0, że jeżeli ∥x∥ < δ to dla dowolnego n ∈ N mamy ∥Ln (x)∥ < ε. Ponieważ dla prawie wszystkich n zachodzi
nierówność ∥xn ∥ < δ więc dla p.w.n mamy nierówność ∥Ln (xn )∥ < ε.
Aby udowodnić implikację (c)⇒(d) załóżmy, że dla dowolnego n ∈ N, yn
jest takim elementem X, że
∥Ln (xn )∥ ­ 1/2 ∥Ln ∥ oraz ∥xn ∥ = 1.
Jeżeli (λn ) jest dowolnym ciągiem skalarów zbieżnym do zera do xn =
λn xn → 0. Stąd wynika na podstawie założenia (c), że λn ∥Ln ∥ → 0 dla dowolnego ciągu (λn ) zbieżnego do 0. Stąd oczywiście wynika, że ciąg (∥Ln ∥)
jest ciągiem ograniczonym.
Implikacja (d)⇒(a) wynika z nierówności ∥Ln (x) − Ln (x0 )∥ ¬ ∥Ln ∥ ∥x − x0 ∥ .
Z twierdzeń 7.2 i 7.3 wynika
Twierdzenie 7.4 Jeżeli (Ln ) jest ciągiem operatorów liniowych i ciągłych
z przestrzeni Banacha X w przestrzeń unormowaną Y to {Tn : n ∈ N} jest
rodziną równociągłą wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego x ∈ X ciąg
(∥Ln (x)∥) jest ciągiem ograniczonym.
Twierdzenie 7.5 Niech (Ln ) będzie ciągiem odwzorowań liniowych i ciągłych z przestrzeni Banacha X do przestrzeni unormowanej Y. Załóżmy, że
dla dowolnego x ∈ X ciąg (Ln (x)) jest zbieżny w Y i niech
L(x) = lim Ln (x) dla dowolnego x ∈ X.
n→∞
Wówczas L jest operatorem liniowym i ciągłym.
Dowód. Wystarczy udowodnić ciągłość operatora L w zerze. Weźmy dowolne ε > 0. Z tego, że Ln (x) jest ciągiem zbieżnym dla dowolnego x ∈ X
wynika, że ciąg (∥Ln (x)∥) jest ciągiem ograniczonym. Z twierdzenia 7.4 wynika więc, że {Ln : n ∈ N} jest rodziną jednakowo ciągłą. Istnieje więc takie
δ > 0, że jeżeli ∥x∥ < δ to ∥Ln (x)∥ < ε dla dowolnego n ∈ N. Ponieważ
Ln (x) → L(x) więc stąd wynika, że jeżeli ∥x∥ < δ to L(x) ¬ δ.
34
Twierdzenie 7.6 Niech X będzie dowolną przestrzenią unormowaną a Y
przestrzenią Banacha. Załóżmy, że (Ln ) jest ciągiem operatorów liniowych i
ciągłych z X w Y takim, że ciąg (∥Ln ∥) jest ograniczony. Jeżeli ciąg (Ln (x))
jest zbieżny dla x należących do pewnego podzbioru gęstego W przestrzeni
X, to jest on zbieżny dla dowolnego x ∈ X.
Uwaga 7.1 Przy założeniach poprzeedniego twierdzenia jeżeli dodatkowo
założyć, że X jest przestrzenią Banacha to dla dowolnego x ∈ X istnieje
granica L(x) ciągu (Ln (x)) i operator L jest operatorem ciągłym.
8
Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie
Twierdzenie 8.1 Niech X, Y będą przestrzeniami Banacha. Jeżeli odwzorowanie L ∈ L(X, Y ) jest na, to jest odwzorowaniem otwartym.
Dowód. Udowodnimy, że L(K(0, 1)) zawiera pewne otoczenie zera w Y. Z
tego, że operator L jest na wynika, że
Y =
∞
∪
L(K(0, n)).
n=1
Z twierdzenia Baire’a wynika, że istnieje takie n0 ∈ N, że int(K(0, n0 )) ̸= ∅.
Inaczej mówiąc K(y0 , δ) ⊂ L(K(0, n0 )) dla pewnego y0 ∈ Y oraz δ > 0. Z
tego wynika, że
K(0, δ) ⊂ L(K(0, 2n0 )),
z tego zaś wynika, że
K(0, 1) ⊂ L(K(0, η)),
(34)
gdzie η = 1/δn0 . Mamy więc:
K(0, ε) ⊂ L(K(0, εη)),
(35)
dla dowolnego ε > 0. Udowodnimy, że
K(0, 1) ⊂ L(K(0, 2η)),
(36)
Weźmy dowolne y ∈ K(0, 1). Udowodnimy przez indukcję, że istnieje ciąg
punktów (xn ) przestrzeni X taki, że
∥xn ∥ <
1
2n−1
η,
∥y − L(x1 + x2 + ... + xn )∥ <
35
(37)
1
.
2n
(38)
Dla n=1 z (34) wynika, że istnieje takie x1 ∈ X, że ∥x1 ∥ < η, oraz ∥y − L(x1 )∥ <
1
2 . Załóżmy dalej, że mamy skonstruowane x1 , x2 , ..., xn ∈ X spełniające
warunki (37) oraz (38). Wówczas ponieważ y−L(x1 +x2 + ... +xn ) ∈ K(0, 21n )
więc z 35 wynika, że istnieje xn+1 ∈ X takie, że xn+1 ∈ K(0, 21n η) oraz
∥y − L(x1 + x2 + ... + xn ) − L(xn+1 )∥ <
1
2n+1
.
Mamy więc:
∥xn+1 ∥ <
1
η,
2n
oraz:
∥y − L(x1 + x2 + ... + xn+1 )∥ <
Z twierdzenia 6.1 wynika, że szereg
∞
∑
1
.
2n+1
xn jest zbieżny w X. Oznaczmy przez
n=1
x sumę tego szeregu. Z (34) dostajemy nierówność
∥x∥ <
∞
∑
2n−1 η = 2η,
n=1
a z (35) równość y = L(x). Zatem udowodniliśmy, że jeżeli y ∈ K(0, 1) to
y ∈ L(K(0, 2η)), to znaczy pokazaliśmy inkluzję (36). Zauważmy dalej, że z
inkluzji tej wynika, że dla dowolnego ε > 0 mamy
(
K 0,
ε
2η
)
⊂ L(K(0, ε)).
(39)
Niech teraz U będzie dowolnym zbiorem otwartym w X. Aby pokazać, że
L(U ) jest zbiorem otwartym w Y weźmy dowolny punkt y ∈ L(U ) i niech
y = L(x), gdzie x ∈ U. Z tego, że U jest zbiorem otwartym w X wynika, że
istnieje ε > 0 takie, że K(x, ε) = x + K(0, ε) ⊂ U. Wówczas y + L(K(0, ε)) ⊂
ε
) ⊂ U.
L(U ) więc z (39) dostajemy, że K(0, 2η
36
9
Przestrzenie Lp
37
10
10.1
Przestrzenie Hilberta
Iloczyn skalarny, przestrzenie unitarne i przestrzenie
Hilberta
Definicja 10.1 Mówimy, że dwa elementy x, y przestrzeni unitarnej X są
prostopadłe, co zapisujemy x ⊥ y jeżeli ⟨x, y⟩ = 0. Jeżeli A jest podzbiorem
X i x ⊥ y dla dowolnego y ∈ A to mówimy, że x jest prostopadłe do
zbioru A i piszemy x ⊥ A. Przez A⊥ oznaczamy zbiór wszystkich elementów
przestrzeni X prostopadłych do zbioru A.
Twierdzenie 10.1 Jeżeli x ⊥ y, to
∥x + y∥ = ∥x∥2 + ∥y∥2 .
Twierdzenie 10.2 Niech X będzie dowolną przestrzenią unitarną. Jeżeli
E jest podprzestrzenią liniową X, to E ⊥ jest podprzestrzenią liniową X.
Jeżeli A jest domkniętym podzbiorem X, to A⊥ jest domkniętym podzbiorem X.
Zakładamy, że X jest przestrzenią liniową nad ciałem K gdzie K jest
ciałem liczb rzeczywistych albo zespolonych.
Definicja 10.2 Funkcję
⟨·, ·⟩ : X × X → K
nazywamy iloczynem skalarnym jeżeli dla dowolnych x, y, z ∈ X oraz dla
dowolnego λ ∈ K spełnione są następujące warunki:
(i) ⟨x + y, z⟩ = ⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩ ,
(ii) ⟨λx, y⟩ = λ ⟨x, y⟩ ,
(iii) ⟨y, x⟩ = ⟨x, y⟩
(iv) ⟨x, x⟩ > 0 jeżeli x ̸= 0.
Jeżeli ⟨·, ·⟩ jest iloczynem skalarnym w X, to parę (X, ⟨·, ·⟩) nazywamy przestrzenią unitarną.
Z warunku (ii) i (iii) definicji iloczynu skalarnego wynika, że ⟨0, x⟩ =
⟨x, 0⟩ = 0 oraz ⟨x, λy⟩ = λ ⟨x, y⟩ , dla dowolnych x, y ∈ X oraz λ ∈ K.
Zakładamy, że X jest dowolną przestrzenią unitarną.
Definicja 10.3 Dla dowolnego x ∈ X niech
∥x∥ =
√
⟨x, x⟩.
38
(40)
Twierdzenie 10.3 nierówność Schwartza
| ⟨x, y⟩ | ¬ ∥x∥ ∥y∥ .
dla dowolnych x, y ∈ X.
Dowód. Weźmy dowolne x, y ∈ X i dowolne λ ∈ K. Wówczas
0 ¬ ∥x − y∥2 = ⟨x − λy, x − λy⟩ = ∥x∥2 − 2Re(λ ⟨x, y⟩) + |λ|2 ∥y∥2 .
Biorąc w tej nierówności λ =
0 ¬ ∥x∥2 − 2
⟨x, y⟩
dostajemy
∥y∥2
| ⟨x, y⟩ |2 | ⟨x, y⟩ |2
| ⟨x, y⟩ |2
+
= ∥x∥2 −
,
2
2
∥y∥
∥y∥
∥y∥2
a stąd wynika dowodzona nierówność. Twierdzenie 10.4 Funkcja ∥·∥ zdefiniowana wzorem (40) jest normą w X.
Definicja 10.4 Niech X będzie przestrzenią unitarną. Jeżeli metryka generowana przez ∥·∥ jest metryką zupełną to mówimy, że X jest przestrzenią
Hilberta.
Twierdzenie 10.5 Dla dowolnych elementów x, y przestrzeni unitarnej X
zachodzi prawo równoległoboku
∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 )
10.2
(41)
Układy ortogonalne w przestrzeniach unitarnych
Twierdzenie 10.6 (twierdzenie o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta)
Dla dowolnego podzbioru wypukłego i domkniętego W w przestrzeni Hilberta
X istnieje dokładnie jeden element x zbioru W taki, że
∥x∥ = inf{∥w∥ : w ∈ W }.
Dowód. Niech d = inf{∥w∥ : w ∈ W }. Istnieje ciąg (xn ) elementów zbioru
W taki, że ∥xn ∥ → d. Z prawa równoległoboku (41) mamy
∥xn − xm ∥2 = 2(∥xn ∥2 + ∥xm ∥2 ) − ∥xn + xm ∥2 .
Z wypukłości zbioru W mamy
xn +xm
2
∈ W, zatem
∥xn + xm ∥ ­ 2d,
więc dla dowolnych n, m ∈ N zachodzi nierówność:
∥xn − xm ∥2 ¬ 2(∥xn ∥2 + ∥xm ∥2 ) − 4d2 .
39
(42)
Ponieważ ∥xn ∥2 → d2 więc z nierówności (42) wynika, że wyrażenie ∥xn − xm ∥
jest dowolnie małe gdy n i m są odpowiednio duże, zatem ciąg (xn ) spełnia warunek Cauchye’go w X więc z jest zbieżny do pewnego x ∈ X. Z
domkniętości zbioru W wynika, że x ∈ W, a z ciągłości normy, że ∥x∥ = d.
Pokażemy dalej jedyność x spełniającego tezę twierdzenia. Załóżmy,
że
x+y x+y
x, y ∈ W są takie, że ∥x∥ = ∥y∥ = d. Ponieważ 2 ∈ W więc 2 ­ d,
ale z drugiej strony z warunku trójkąta mamy
x + y 1
1
2 = 2 ∥x + y∥ ¬ 2 (∥x∥ + ∥y∥) = d.
Z obu nierówności wynika, że x+y
2 = d a więc, że ∥x + y∥ = 2d. Stosując
prawo równoległoboku dostajemy:
∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2 ) − ∥x + y∥2 = 0,
a więc x = y. Jeżeli zbiór W jest zbiorem wypukłym to dla dowolnego x ∈ X zbiór
x − W jest zbiorem wypukłym więc twierdzenie 10.6 można zapisać w innej
postaci w następujący sposób.
Twierdzenie 10.7 Jeżeli W jest wypukłym i domkniętym podzbiorem przestrzeni Hilberta X to dla dowolnego x ∈ X istnieje dokładnie jeden element
w zbioru W taki, że
∥x − w∥ = d(x, W ).
Powyższe twierdzenie pozwala zdefiniować rzut dowolnego elementu przestrzeni Hilberta jej podzbiór domknięty i wypukły.
Definicja 10.5 Niech W będzie wypukłym i domkniętym podzbiorem przestrzeni Hilberta X. Dla dowolnego x ∈ W definiujemy rzut x na zbiór W
jako ten jedyny element w zbioru W, dla którego zachodzi równość
∥x − w∥ = d(x, W ).
Rzut ten oznaczmy przez PW (x).
Tak więc PW możemy traktować jako odwzorowanie z X na zbiór W. Z
domkniętości zbioru W dostajemy, że x ∈ W wtedy i tylko wtedy gdy x ∈ W.
Twierdzenie 10.8 Jeżeli E jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta X, to dla dowolnego x ∈ X mamy x − PE (x) ⊥ E.
40
Dowód. Oznaczmy przez d odległość x od E. Weźmy dowolne y ∈ E. Dla
dowolnego λ > 0 mamy:
d2 ¬ ∥x − PE (x) − λy∥2 = ∥x − PE (x)∥2 − 2λRe ⟨x − PE (x), y⟩ + λ2 ∥y∥2 .
Stąd dostajemy nierówność:
d2 ¬ d2 − 2λRe ⟨x − PE (x), y⟩ + λ2 ∥y∥2 ,
a więc
λ2 ∥y∥2 − 2λRe ⟨x − PE (x), y⟩ ­ 0.
Zatem dla dowolnego λ > 0 zachodzi nierówność
λ ∥y∥2 − 2Re ⟨x − PE (x), y⟩ ­ 0.
Stąd dostajemy dla dowolnego y ∈ E nierówność
Re ⟨x − PE (x), y⟩ ¬ 0.
Zastępując w tej nierówności ci y przez −y dostajemy z kolei nierówność
w drugą stronę a więc ostatecznie mamy Re ⟨x − PE (x), y⟩ = 0. Zastępując
z kolei w ostatniej równości y przez iy dostajemy Im ⟨x − PE (x), y⟩ = 0, a
więc ostatecznie ⟨x − PE (x), y⟩ = 0. Twierdzenie 10.9 Jeżeli E jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni Hilberta X, to dla dowolnego x ∈ X rzut PE (x) jest jedynym elementem y
przestrzeni E takim, że x − y ⊥ E.
Dowód. Z poprzedniego twierdzenia wynika, że x − PE (x) ⊥ E. Załóżmy
teraz, że y jest innym elementem przestrzeni E takim, że x − y ⊥ E. Weźmy
dowolne z ∈ E. Wówczas ∥x − z∥2 = ∥(x − y) + (y − z)∥2 , a ponieważ x − y
oraz y − z są prostopadłe więc:
∥x − z∥2 = ∥x − y∥2 + ∥y − z∥2 ­ ∥x − y∥2 .
Stąd dostajemy, że ∥x − y∥ ¬ ∥x − z∥ dla dowolnego z ∈ E zatem y =
PE (x). Z powyższego twierdzenia wynika:
Twierdzenie 10.10 Jeżeli E jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni X,
to PE jest operatorem liniowym i ciągłym z X w E takim, że ∥PE ∥ = 1.
Dowód. Jeżeli x, y są dowolnymi elementami przestrzeni X, a λ, µ dowolnymi skalarami, to dla dowolnego z ∈ E mamy:
< λx+µy−(λPE (x)+µPE (y)), z >= λ < x−PE (x), z > +µ < y−PE (y), z >= 0.
41
Z twierdzenia 10.9 wynika więc równość
PE (λx + µy) = λPE (x) + µPE (y).
Zatem operator PE jest operatorem liniowym. Dla dowolnego x ∈ X mamy
x = (x − PE (x)) + PE (x) a ponieważ PE (x) ∈ E oraz x − PE (x) ⊥ E więc
∥x∥2 = ∥x − PE (x)∥2 + ∥PE (x)∥2 ­ ∥PE (x)∥2 .
Zatem ∥PE (x)∥ ¬ ∥x∥ dla dowolnego x ∈ X więc PE jest operatorem ciągłym takim, że ∥PE ∥ ¬ 1. Z drugiej strony ponieważ PE jest identycznością
na E więc ∥PE (x)∥ = ∥x∥ dla dowolnego x ∈ E zatem ∥PE ∥ = 1. Twierdzenie 10.11 Jeżeli Λ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na przestrzeni Hilberta X to istnieje dokładnie jeden element y przestrzeni X taki,
że
Λ(x) =< x, y >
dla dowolnego x ∈ X. Mamy ∥Λ∥ = ∥y∥ .
Dowód. Niech E będzie jądrem funkcjonału Λ, a x0 ∈ X − E. Niech
y=
Λ(x0 )
(x0 − PE (x0 )).
< x0 , x0 − PE (x0 ) >
Niech Λ0 będzie funkcjonałem zdefiniowanym wzorem
Λ0 (x) =< x, y > .
Ponieważ x0 − PE (x0 ) ⊥ E więc Ker(Λ0 ) = E. Ponadto Λ0 (x0 ) = Λ(x0 ),
więc Λ = Λ0 . 42