AlgTM Zestaw 1 1. Sprawdzić (metodą uproszczoną) czy podana

AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
AlgTM
Zestaw 1
1. Sprawdzić (metodą uproszczoną) czy podana formuła jest tautologią rachunku zdań.
1.1. [((t ⇒ r) ∨ (s ⇒∼ p)) ⇒∼ s] ⇒ [(p∧ ∼ r) ∨ (s ⇒ (p ∧ t))]
1.2. [(p ⇒ r) ∧ (s ∧ (∼ p∨ ∼ t))] ⇒ [((r ⇒ t) ∨ (p ⇒∼ s)) ∧ s]
2. Określić wartość logiczną zdań i zapisać ich zaprzeczenia.
2.1. ∀n ∈ N ∃m ∈ N m > n
2.4. ∀x ∈ R (|x| ¬ 0 ⇒ x ¬ 0)
2.2. ∃m ∈ N ∀n ∈ N m > n
2.5. ∀x ∈ R (x < 1 ∨ (∃y ∈ R x = |y|))
2.3. ∃m ∈ N ∀n ∈ N m ¬ n
2.6. ∀m, n ∈ N ∃k ∈ N [m < n ⇒ (m < k ∧ k < n)]
3. Zapisać symbolicznie zdania i formy zdaniowe.
3.1. n jest całkowitą liczbą nieparzystą.
3.2. Istnieje liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej.
3.3. Dla dowolnych dwóch liczb naturalnych istnieje wspólna wielokrotność.
3.4. m jest sumą dwóch różnych liczb nieparzystych.
4. Czy podana formuła jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Udowodnić lub podać kontrprzykład.
4.1. ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇒ ∀x ϕ(x) ∨ ∀x ψ(x)
4.2. [∃x (ϕ(x) ⇒ ψ(x))] ⇒ [(∀x ϕ(x)) ∨ (∃x ψ(x))]
4.3. [∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x))] ⇒ [(∼ ∃x ψ(x)) ⇒ (∃x ϕ(x))]
4.4. ∀x ∃y ϕ(x, y) ⇒ ∀y ∃x ϕ(x, y)
5. Wyznaczyć zbiór elementów x ∈ R spełniających formę zdaniową ϕ(x).
5.1. ϕ(x) : x2 + 3x − 4 > 0 ∧ x < 1
5.3. ϕ(x) : ∃y ∈ R x2 + y 2 = 1
5.2. ϕ(x) : ∃y ∈ R x · y > 5
5.4. ϕ(x) : ∀y ∈ R x < sin y
6. Sformułować implikację odwrotną, przeciwną i przeciwstawną do implikacji xy ¬ 0 ⇒ y < 1 − x2 .
Dla każdej z tych implikacji zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów, które ją spełniają.
7. Wykazać metodą indukcji matematycznej.
7.1. ∀n ∈ N+ 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + .. + n(n + 1) = 13 n(n + 1)(n + 2)
7.2. ∀n ∈ N 8|5n+1 + 2 · 3n + 1
n
7.3. ∀n ∈ (N+ \ {1}) 10|22 − 6
1