Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów Izolda Gorgol wyciąg z

Elementy rachunku zdań i kwantyfikatorów
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Zdania w sensie logicznym
— DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujące, któremu można przypisać jedną z dwóch wartości prawda lub fałsz. Przyjmujemy, że symbolem prawdy jest 1, a 0 jest symbolem fałszu.
— DEFINICJA Zmienną logiczną nazywamy zmienną, w miejsce której wstawiamy zdania (prawdziwe lub fałszywe),
otrzymując zdania w sensie logicznym. Najczęściej zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami: p, q, r, . . . .
— Wartość logiczną zdania p oznaczamy symbolem w(p):
w(p) = 0 – p jest zdaniem fałszywym
w(p) = 1 – p jest zdaniem prawdziwym
Funktory zdaniotwórcze
Ze zdań logicznych możemy tworzyć zdania złożone przy pomocy spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych)
oraz nawiasów.
negacja nie p ∼ p ¬p
koniunkcja p i q p ∧ q
alternatywa p lub q p ∨ q
implikacja p implikuje q lub jeżeli p, to q
p⇒q p→q
— równoważność p jest równoważne q lub p wtedy i tylko wtedy, gdy q
—
—
—
—
p⇔q
p↔q
∼ – funktor jednoargumentowy
∧, ∨, ⇒, ⇔ – funktory dwuargumentowe
Definicje wartościowań spójników logicznych
w(p)
0
1
w(∼ p)
1
0
w(p)
w(q)
w(p ∧ q)
w(p ∨ q)
w(p ⇒ q)
w(p ⇔ q)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
Formuły logiczne
DEFINICJA Formułą logiczną nazywamy wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych oraz nawiasów w następujący rekurencyjny sposób:
— zdania proste i zmienne zdaniowe są formułami logicznymi
— jeżeli P i Q są formułami logicznymi, to ∼ P , (P ∧ Q), (P ∨ Q), (P ⇒ Q) oraz (P ⇔ Q) są również formułami
logicznymi.
Tautologie
DEFINICJA Tautologią lub prawem rachunku zdań nazywamy formułę logiczną, która jest prawdziwa bez względu
na wartość logiczną występujących w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. t.
DEFINICJA Zdaniem sprzecznym nazywamy formułę logiczną, która jest fałszywa bez względu na wartość logiczną
występujących w niej zmiennych zdaniowych. Ozn. f .
Niektóre prawa rachunku zdań
— prawa przemienności
— (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)
1
— (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)
— prawa łączności
— ((p ∧ q) ∧ r) ⇔ (p ∧ (q ∧ r))
— ((p ∨ q) ∨ r) ⇔ (p ∨ (q ∨ r))
— prawa rozdzielności
— ((p ∧ q) ∨ r) ⇔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))
— ((p ∨ q) ∧ r) ⇔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r))
— prawa idempotentności
— (p ∧ p) ⇔ p
— (p ∨ p) ⇔ p
— prawa identyczności
— (p ∧ t) ⇔ p
— (p ∧ f ) ⇔ f
— (p ∨ t) ⇔ t
— (p ∨ f ) ⇔ p
Niektóre prawa rachunku zdań – cd.
—
—
—
—
—
—
—
—
—
∼ (∼ p) ⇔ p prawo podwójnego przeczenia
(p∨ ∼ p) prawo wyłączonego środka
∼ (p∧ ∼ p) prawo sprzeczności
prawa de Morgana
— ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q)
— ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q)
(p ⇔ q) ⇔ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) określenie równoważności
(p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q) określenie implikacji
∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) zaprzeczenie implikacji
(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p) prawo kontrapozycji
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) prawo sylogizmu
Implikacje
p ⇒ q implikacja prosta
q ⇒ p implikacja odwrotna
∼ p ⇒∼ q implikacja przeciwna
∼ q ⇒∼ p implikacja przeciwstawna.
Jeżeli p będziemy uważać za założenie, a q za tezę twierdzenia, to mamy twierdzenie proste, odwrotne, przeciwne
i przeciwstawne. Na podstawie prawa kontrapozycji twierdzenia proste i przeciwstawne (jak również odwrotne i
przeciwne) są sobie równoważne i na tym fakcie opiera się metoda dowodzenia nie wprost.
Warunki konieczne i wystarczające
Każde twierdzenie matematyczne ma postać implikacji lub równoważności. W formule p ⇒ q, p nazywamy poprzednikiem, a q następnikiem implikacji.
W przypadku, gdy twierdzenie ma postać implikacji (Jeżeli Z, to T .), mówimy, że Z jest warunkiem dostatecznym
(wystarczającym) dla T , zaś T jest warunkiem koniecznym dla Z.
W przypadku, gdy twierdzenie ma postać równoważności (Z wtedy i tylko wtedy, gdy T .), mówimy, że Z jest
warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) dla T (i odwrotnie).
Formy zdaniowe
DEFINICJA Formą zdaniową (funkcją zdaniową) nazywamy wyrażenie zawierające zmienną (zmienne), które staje
się zdaniem w sensie logicznym, jeżeli w miejsce zmiennej (zmiennych) podstawimy nazwę przedmiotu(ów).
Z każdą funkcją zdaniową związana jest rodzina zbiorów, które są zakresami zmiennych występujących w funkcjach
zdaniowych. Jest to dziedzina funkcji zdaniowej.
Kwantyfikatory
2
DEFINICJA Kwantyfikatory są to funktory zdaniotwórcze, które przekształcają funkcje zdaniowe w zdania w sensie
logicznym.
V
— kwantyfikator
ogólny :
^
φ(x) – dla każdego x spełniona jest funkcja φ(x)
x
W
— kwantyfikator
szczegółowy :
_
φ(x) – istnieje x taki, że spełniona jest funkcja φ(x)
x
Kwantyfikator ogólny jest uogólnieniem koniunkcji, zaś szczegółowy – alternatywy. Niech X = {x1 , x2 , . . . , xn } będzie
zakresem zmiennej
x w funkcji zdaniowej φ(x). Wówczas
!
^
—
φ(x) ⇐⇒ (φ(x1 ) ∧ φ(x2 ) ∧ · · · ∧ φ(xn ))
x
!
_
φ(x) ⇐⇒ (φ(x1 ) ∨ φ(x2 ) ∨ · · · ∨ φ(xn ))
—
x
Prawa rozdzielności kwantyfikatorów
!
^
^
^
[φ(x) ∧ ψ(x)] ⇐⇒
φ(x) ∧ ψ(x)
x
x
x
!
!
_
_
_
[φ(x) ∨ ψ(x)] ⇐⇒
φ(x) ∨ ψ(x)
x
x
x
!
!
_
_
_
[φ(x) ∧ ψ(x)] =⇒
φ(x) ∧ ψ(x) i nie zachodzi implikacja odwrotna
x
x
x
!
!
^
^
^
φ(x) ∨ ψ(x) =⇒
[φ(x) ∨ ψ(x)] i nie zachodzi implikacja odwrotna
!
—
—
—
—
x
x
x
—
^
(φ(x) ⇒ ψ(x)
^
⇐⇒ 
x
ψ(x)
φ(x)

!
—
Zmiana zakresu kwantyfikatora


!
_
φ(x) ∧ ψ(x)
⇐⇒ 
x

_
ψ(x)
φ(x)
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
!
^
— ∼
x
_
— ∼
!
φ(x) ⇐⇒
!
_
⇐⇒
^
φ(x)
x
x
∼ φ(x)
!
∼ φ(x)
x
Prawa te słuszne są również dla kwantyfikatorów o zasięgu ograniczonym.
Prawa przemienności dla kwantyfikatorów
!
!
—
^^
x
φ(x, y)
⇐⇒
y
^^
y
φ(x, y)
x
!
—
__
x
φ(x, y)
!
⇐⇒
y
__
y
!
—
_^
x
y
φ(x, y)
φ(x, y)
x
!
=⇒
^_
y
φ(x, y)
i nie zachodzi implikacja odwrotna
x
3