Logiczna teoria języka Budowa języka

1
Wykład pierwszy
Temat III.1
Językoznawstwo
Logiczna teoria języka
Budowa języka
Kategorie syntaktyczne
G. Malinowski Logika ogólna, ss. 23 – 25
Identyfikowanie wyrażeń ze względu na rolę, jaką pełnią w budowaniu wyrażeń złożonych,
prowadzi do podziału zasobów danego języka na kategorie syntaktyczne. Dwa wyrażenia należą
do jednej kategorii syntaktycznej, jeśli są wzajemnie „wymienialne” w dowolnym kontekście,
bez utraty spójności syntaktycznej - poprawności składniowej tego kontekstu.
Podstawy teorii kategorii syntaktycznych sformułował w latach trzydziestych ubiegłego
wieku polski filozof i logik Kazimierz Ajdukiewicz. Jej późniejsze uogólnienia i rozszerzenia
weszły do kanonu narzędzi używanych do formalizacji i badań języka naturalnego. Głównym
narzędziem metody Ajdukiewicza są wskaźniki opisujące kategorie oraz reguły redukcji
(upraszczania) złożonych wskaźników do wskaźników prostszych.
Podstawowe kategorie syntaktyczne: nazwy
zdania
Złożone kategorie syntaktyczne: funktory
(wskaźnik n)
(wskaźnik z)
(wskaźniki „ułamkowe”)
operatory („specjalne” wskaźniki
ułamkowe”)
Wskaźniki złożonych kategorii syntaktycznych budowane są ze wskaźników wyrażeń
podstawowych, tj. nazw i zdań.
Nazwy. Wyrażenie językowe jest nazwą, o ile nadaje się na podmiot lub orzecznik zdania
podmiotowo-orzecznikowego (po) o budowie
„A jest (to) B”
Zauważmy, że A jest podmiotem, B zaś orzecznikiem zdania (po). Zauważmy, że przyjęte w
logice pojęcie nazwy odbiega od swego gramatycznego odpowiednika.
Zdania. Zdaniem w logice nazywa się wyrażenie posiadające wartość logiczną. Funkcjonuje
nawet specjalny termin „zdanie w sensie logicznym”. Terminem tym określa się te spośród
poprawnych gramatycznie zdań, którym można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych:
prawdę lub fałsz.
Funktory. Funktory to wyrażenia językowe niesamodzielne, nienazwowe i niezdaniowe,
służące do konstruowania bardziej złożonych wyrażeń. Wyrażenia, z którymi funktor tworzy
2
nowe wyrażenie, nazywamy jego argumentami. W zależności od tego, jaka jest kategoria
składniowa tworzonej całości, dany funktor określa się jako
- nazwotwórczy,
- zdaniotwórczy,
- funktorotwórczy.
Ilość i jakość argumentów funktora jest jego drugą charakterystyką.
Operatory. W językach symbolicznych spotykamy wyrażenia wymykające się tradycyjnemu
podziałowi na funktor i argumenty. Takimi wyrażeniami są np. kwantyfikatory w logice klasycznej:
∀ x, ∃x - dla każdego x, dla pewnego x. Są one składniowo zbliżone do funktorów, lecz w
odróżnieniu od tych ostatnich są „syntaktycznie aktywne” i wchodzą w interakcję z wyrażeniem,
które poprzedzają. Kwantyfikatory przypominają funktory zdaniotwórcze o jednym argumencie
zdaniowym, tj. funktory typu z/z. Równocześnie jednak posiadają własność wiązania zmiennych
nazwowych. … Wiązanie operatorami jest ważną metodą eliminacji zmiennych w funkcjach
zdaniowych jednej i wielu zmiennych.
Pojęcie zdania w sensie logicznym
G. Malinowski Logika ogólna, ss. 47 – 48
Ze wszystkich poprawnych składniowo zdań języka (potocznego lub naukowego)
interesować nas będą te, które podlegają ocenie z punktu widzenia prawdy i fałszu. Zdania takie
nazywać będziemy zdaniami w sensie logicznym, prawdę i fałsz zaś wartościami logicznymi.
Prawda i fałsz są przypisywane odpowiednio zdaniom prawdziwym oraz zdaniom fałszywym.
Zdanie jest prawdziwe, jeśli w rzeczywistości, którą opisuje, jest tak, jak ono głosi. Zdanie
jest fałszywe, jeśli nie jest tak, jak ono głosi. Podane określenia nawiązują do tzw. klasycznej
definicji prawdy, którą podał Arystoteles:
Powiedzieć o czymś, co jest, że jest, i o czymś, co nie jest, że nie jest-to powiedzieć prawdę,
powiedzieć zaś o czymś, co jest, że nie jest, oraz o czymś, co nie jest, że jest - to powiedzieć fałsz.
Określenia tego rodzaju wystarczają do ustalenia prawdziwości i fałszywości rozmaitych
zdań, w szczególności zaś zdań języka potocznego, opisujących otaczającą nas rzeczywistość.
Operatory
Zwrot (wyrażenie), które w wyrażeniu złożonym, zawierającym zmienne odnosi się do danej
zmiennej, nazywamy operatorem. O operatorze odnoszącym się np. do zmiennej x, powiemy,
że wiąże tę zmienną, natomiast o zmiennej, że jest związana przez ten operator. Taka
zmienna, która w danym wyrażeniu nie jest związana przez operator, nazywa się zmienną
wolną.
Np. w funkcji zdaniowej: „Istnieje takie x, że x ≤ y”, zwrot: „Istnieje takie …, że” jest
operatorem, który wiąże zmienną x; x jest zmienną związana przez ten operator, a y jest
zmienną wolną.
3
W wyrażeniu, które zawiera operator możemy wyróżnić: 1) sam operator, 2) zmienną do
której operator się odnosi, i 3) zasięg operatora, tj. występujące po operatorze wyrażenie
zawierające zmienną związaną.
Operatory dzielimy na kategorie syntaktyczne ze względu na:
1) kategorię syntaktyczną wyrażenia złożonego, całości, którą dany operator tworzy razem ze
zmienną związaną i swoim zasięgiem,
2) ilość wyrażeń występujących w zasięgu operatora (argumentów)
3) kategorie syntaktyczne kolejnych argumentów
4) kategorie syntaktyczną zmiennej związanej przez operator
Rodzaje operatorów
W logice występują następujące operatory:
A) operatory kwantyfikacji:
1) ,  - kwantyfikator ogólny, duży – wyrażenie: dla każdego
2) , V - kwantyfikator szczegółowy, egzystencjalny, mały– wyrażenie: dla pewnego,
istnieje takie … że
3) 1, V1 - kwantyfikator jednostkowy – wyrażenie: istnieje dokładnie jeden taki …, że
B) pozostałe operatory :
4) lx W(x) - operator deskrypcyjny – wyrażenie, które czytamy: jedyne x takie, że W(x), tzn.
jedyny taki przedmiot x, który ma własność W; W(x) oznacza, że przedmiot x ma własność
W, a zwrot lx W(x) opisuje jedyny przedmiotu x o danej własności.
Np. jeśli W(x) = y jest matką x-a, to lx W(x) czytamy: jedyne y takie, że y jest matką x-a.
5) {x; W(x)}- operator abstrakcji – wyrażenie, które czytamy: zbiór tych x, że W(x)
Symbol {x; W(x)} oznacza zbiór tych x, które mają własność W/spełniają warunek W.
Funkcja W(x), opisująca tę własność/podająca ten warunek, jest funkcją zdaniową o zmiennej
wolnej x. W tym symbolu wyrażenie „zbiór tych x, że” jest operatorem wiążącym zmienną x.
Prawo eliminacji operatora abstrakcji:
y{x; W(x)}  W(y)
Wyrażająca to prawo formuła oznacza, że przedmiot y należy do zbioru tych x, które mają
własność W wtedy i tylko wtedy, gdy przedmiot y ma własność W. Inaczej, prawo to mówi,
że zdanie, które stwierdza, że dany przedmiot posiada pewną własność (W), jest równoważne
zdaniu stwierdzającemu, że dany przedmiot należy do zbioru (klasy) przedmiotów
posiadających tę własność.