PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KONKURSU

PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KONKURSU
MATEMATYCZNEGO
DLA KLAS I-ych technikum
W KATEGORII:
MISTRZ DOWODZENIA
Zadanie 1
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2  3  16 , jest
podzielny przez 215 .
Zadanie 2
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3 n  2  2 n  2  3 n  2 n jest
wielokrotnością liczby 10.
Zadanie 3
Wykaż, że liczba 6100  2  6 99  10  6 98 jest podzielna przez 17.
Zadanie 4
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 2.
Zadanie 5
Udowodnij, że liczba 1  2014 2 1  2014 4 jest dzielnikiem liczby
1  2014  2014 2  2014 3  2014 4  2014 5  2014 6  2014 7 .



Zadanie 6
Udowodnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a 
1
1
 3 , to a 2  2  7 .
a
a
Zadanie 7
Udowodnij, że jeżeli a  b  1 i a 2  b 2  7 , to a 4  b 4  31 .
Zadanie 8
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x  y  z  0 , prawdziwa
jest nierówność xy  yz  zx  0 .
Możesz skorzystać z tożsamości x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz .
2
PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KONKURSU
MATEMATYCZNEGO DLA KLAS II, III i IV-ych technikum
W KATEGORII:
MISTRZ DOWODZENIA
Zadanie 1
Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1 2  3  16 , jest
podzielny przez 215 .
Zadanie 2
Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3 n  2  2 n  2  3 n  2 n jest
wielokrotnością liczby 10.
Zadanie 3
Wykaż, że liczba 6100  2  6 99  10  6 98 jest podzielna przez 17.
Zadanie 4
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje
resztę 2.
Zadanie 5
Udowodnij, że liczba 1  2014 2 1  2014 4 jest dzielnikiem liczby
1  2014  2014 2  2014 3  2014 4  2014 5  2014 6  2014 7 .
Zadanie 6
1
1
Udowodnij, że jeżeli a jest liczbą rzeczywistą różną od zera i a   3 , to a 2  2  7 .
a
a
Zadanie 7
Udowodnij, że jeżeli a  b  1 i a 2  b 2  7 , to a 4  b 4  31 .



Zadanie 8
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x  y  z  0 , prawdziwa
jest nierówność xy  yz  zx  0 .
Możesz skorzystać z tożsamości x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz .
2
Zadanie 9
Wykaż, że jeżeli c< 0, to trójmian kwadratowy y  x 2  bx  c ma dwa różne miejsca
zerowe.
Zadanie 10
Uzasadnij, że jeżeli  jest kątem ostrym, to sin 4   cos 2   sin 2   cos 4  .
Zadanie 11
W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów A i B. Dwusieczne te przecinają się w
punkcie P. Uzasadnij, że kąt APB jest rozwarty.
Zadanie 12
Udowodnij, że jeżeli długość krawędzi sześcianu jest o 2 krótsza od długości jego przekątnej,
to długość przekątnej tego sześcianu jest równa 3  3 .