Teoretyczne Podstawy Informatyki Zadanie 1 Zaproponuj maszynę

Lista
Teoretyczne Podstawy Informatyki
Zadanie 1 Zaproponuj maszynę Turinga rozpoznającą język złożony ze słów nad alfabetem {1} których
długość jest liczbą pierwszą.
Zadanie 2 Zaproponuj maszynę Turinga rozpoznającą język złożony ze słów nad alfabetem {1} których długość jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 3 Czy suma, przekrój, różnica zbiorów rekurencyjnych jest językiem rekurencyjnym?
Zadanie 4 Czy suma, przekrój, różnica zbiorów rekurencyjnie przeliczalnych jest językiem rekurencyjnie przeliczalnym?
Zadanie 5 Udowodnij, że jeśli jezyk i jego dopełnienie są rekurencyjnie przeliczalne, to jest on rekurencyjny.
Zadanie 6 Uzasadnij, że zbiór języków rozpoznawalnych przez maszyny Turinga z obustronnie nieskończoną taśmą jest równy zbiorowi języków rozpoznawalnych przez maszyny Turinga z jednostronnie
nieskończoną taśmą.
Zadanie 7 Uzasadnij, że zbiór języków rozpoznawalnych przez jednotaśmowe maszyny Turinga jest
równy zbiorowi języków rozpoznawalnych przez dwutaśmowe maszyny Turinga
Zadanie 8 Zaproponuj maszynę licznikową wykonującą mnożenie liczb naturalnuch.
Zadanie 9 Zaproponuj maszynę licznikową wyliczjącą minimum dwóch liczb.
Zadanie 10 Zaproponuj maszynę licznikową wykonującą odejmowanie.
Zadanie 11 Zaproponuj maszynę licznikową wykonującą dzielenie z resztą.
Zadanie 12 Bezpośrednio z definicji udowodnij, że mnożenie liczb naturalnych należy do zbioru Rek.
Zadanie 13 Bezpośrednio z definicji udowodnij, że potęgowanie liczb naturalnych należy do zbioru
Rek.
Zadanie 14 Niech p1 , p2 , p3 , ... ciąg kolejnych liczb pierwszych. Bezpośrednio z definicji udowodnij,
funkcja f (n) = pn należy do zbioru Rek.
Zadanie 15 Uzasadnij, że każda funkcja należący do zbioru Rek może być obliczana przez maszynę
Turinga.
Zadanie 16 Udowodnij, że funkcja f (n) = ”największa skończona liczba jedynek jaką może napisać
na taśmie maszyna Turinga o n stanach”, nie jest rekurencyjna.
Zadanie 17 Uzupełnij szczegóły dowodu twierdzenia o języku uniwersalnym.
Zadanie 18 Udowodnij lemat z dowodu twierdzenia Rice’a.
1
Zadanie 19 Udowodnij lemat z dowodu faktu o nierozstrzygalności języka Lp .
Zadanie 20 Udowodnij, że język Lr = {hM i : L(M )jest rekurencyjny} nie jest rekurencyjnie przeliczalny.
Zadanie 21
• Czy każda liczba wymierna jest liczbą obliczalną?
• Czy każda liczba algebraiczna jest obliczalna?
Zadanie 22 Udowodnij, że liczby obliczalne tworzą ciało.
Zadanie 23 Uzasadnij, że istnieje liczba rzeczywista, która naie jest obliczalna.
Zadanie 24 Ustalmy numerację par liczb naturalnych. Udowodnij, że liczba rzeczywista posiadająca
0 na n-tym miejscu po przecinku, gdy para liczb naturalnych o numerze n koduje wejjście i maszynę
która się nie zatrzymuje na nim, oraz 1 w przeciwnym wypadku, nie jest liczbą obliczalną.
Zadanie 25 Uzasadnij z dafinicji, że dla dowolnych x1 , x2 , ..., xn ∈ D istnieje y ∈ D taka, że xi ≤ y
dla każdego i.
Zadanie 26 Czy istnieją maszyny z wyrocznią M1 , M 2, M3 , M4 takie, że M1 i M2 potrafią symulować
M3 , M2 potrafią symulować M4 , M4 i M3 nie potrafią symulować się wzajemnie?
Zadanie 27 Uzasadnij, że dla dowolnej klasy x zachodzi x ≤ x0 .
Zadanie 28 Podaj przykłady termów, fofmuł atamowych, formuł oraz zdań języka struktury
(R, +, ∗, ≤, 0, 1)
Zadanie 29 W języku struktury (N, +, ∗, 0, 1) napisz firmułę
• ”x jest parzysta”
• ”x jest pierwsza”
Zadanie 30 Czy w języku struktury (R, +, ∗, 0, 1) można wyrazić ”x jest liczbą naturalną”?
Zadanie 31 W języku struktury (N, s(n)) wyraź własność φ(x, y, z) = ”x + y = z” (s(n) = n + 1).
Zadanie 32 Uzasadnij, że nie istnieje zdanie φ oraz struktura M , że M |= φ oraz M |= ¬φ.
Zadanie 33 Uzasadnij, że dla dowolnego zdania φ oraz struktury M , że M |= φ lub M |= ¬φ.
Zadanie 34 Uzasadnij, że jeśli dla pewnego zbioru zdań istnieje dokładnie jedna struktura w której
zdania tego zbioru sa spełnione, to zbiór ten jest zupełny.
Zadanie 35
Zadanie 36 Zapisz w języku (+, ∗, ≤, 0, 1) formułę formułę φ(a, b, r) = ”rjestresztzdzieleniaaprzezb”.
Zadanie 37 Zapisz w języku (, +, ∗, ≤, 0, 1) , formułę φ(x, y, z) = ”z = xy ”.
Zadanie 38 Metodą podaną na wykładzie zakoduj liczbą naturalną cąg liczb 2,3,5,7,13,17
Zadanie 39 Czy istnieje formuła φ(x) w języku {+, ∗, ≤, 0, 1} taka, że P A wynika φ(a) wtedy i tylko
wtedy gdy istnieje n ∈ N że sn (0) = a
Krzysztof Majcher
2