LISTA ZADAŃ Z KOMBINATORYKI Nr 2 1. Pokaż, że iloczyn

LISTA ZADAŃ Z KOMBINATORYKI Nr 2
1. Pokaż, że iloczyn dowolnych k kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez k!.
2. Udowodnij następujące stwierdzenia za pomocą zasady szufladkowej
a) W turnieju każda drużyna gra z każdą inną dokładnie raz. W każdym momencie
trwania turnieju istnieją dwie drużyny, które rozegrały tyle samo meczów.
b) Wśród pięciu punktów wybranych w trójkącie równobocznym o boku 1, istnieje
przynajmniej jedna para punktów odległych od siebie o co najwyżej 12 .
c) Każdy wielościan wypukły zawiera przynajmniej dwie ściany o tej samej liczbie
krawędzi.
3. Dane są liczby całkowite a1 , a2 , a3 , . . . , an . Pokaż, że wtedy istnieją takie i, j, że ai +
ai+1 + . . . + aj jest podzielne przez n.
4. Pokaż, że w dowolnym zbiorze S złożonym z 10 liczb naturalnych mniejszych od 100,
zawsze istnieją dwa podzbiory o tej samej sumie.
5. Niech n, k, r, s ∈ N i 0 ¬ r, s < n, s > 0. Mamy nk + r kulek rozmieszczonych w
n szufladkach. Pokaż,że w pewnych s szufladkach znajduje się w sumie co najmniej
sk + min{r, s} kulek.
6. Na szachownicy n × m dla n ¬ m umieszczono m(k − 1) + 1 wież. Pokaż, że istnieje
takich k wież, które nie atakują się wzajemnie.
7. Ile jest pięciocyfrowych numerów telefonów, w których dokładnie jedna cyfra występuje
więcej niż jeden raz? A ile jest, gdy przynajmniej jedna cyfra występuje więcej niż jeden
raz?
8. Ile jest różnych rozłożeń wszystkich białych i czarnych figur i pionków szachowych na
szachownicy? Ile jest rozłożeń w których para gońców każdego z kolorów zajmuje pola
różnych kolorów.
9. Pokaż, że liczba
przedstawień n w postaci sumy k liczb naturalnych (różnych od zera)
wynosi n−1
,
jeśli
przedstawienia na różniące się kolejnością składników uważamy za
k−1
różne. Ile jest przedstawień n w postaci sumy dowolnej ilości liczb naturalnych?
10. Na teren fabryki, w której pracuje n osób prowadzi k wejść. Przy każdym wejściu jest
wyłożona lista obecności, na którą kolejno wpisują się pracownicy wchodzący tym wejściem w danym dniu (każdy wpisuje się na dokładnie jedną listę). Na ile sposobów mogą
zostać wypełnione listy obecności w tym dniu (liczy się również kolejność na listach)?
Ile jest takich sposobów, w których żadna z list nie jest pusta?
11. Rozwiązać relacje rekurencyjne:
(a) an = an−1 + 9an−2 − 9an−3 dla n ­ 3 oraz a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2.
(b) an = 8an−1 − 16an−2 dla n ­ 2 oraz a0 = −1, a1 = 0.
(c) an = 3an−2 − 2an−3 dla n ­ 3 oraz a0 = 1, a1 = 0, a2 = 0.
(d) an = 5an−1 − 6an−2 − 4an−3 + 8an−4 dla n ­ 4 oraz a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2.
12. Udowodnić następujące wzory:
(a) Fn2 − Fn+1 Fn−1 = (−1)n dla n ­ 1.
2
(b) Fn−1
+ Fn2 = F2n ,
(c) Fn−1 Fn + Fn Fn+1 = F2n+1 .
13. Znaleźć wzór rekurencyjny na liczbę sposobów wypłacenia n złotych przy użyciu
(a) monet jedno i dwuzłotowych;
(b) monet jedno, dwu i pięciozłotowych.
14. Definiujemy rekurencyjnie ciąg bn : b0 = b1 = b2 = 1 oraz bn = bn−1 + bn−3 dla n ­ 3.
(a) Pokaż, że bn ­ 2bn−2 dla n ­ 3,
√
(b) Udowodnij, że bn ­ ( 2)n−2 dla n ­ 2,
(c) Udowodnij, że bn ¬ ( 32 )n−1 dla n ­ 1,
(d) Czy można rozwiązać tą relację rekurencyjną?
15. Ile jest podzbiorów ciągu a1 , . . . , an nie zawierających żadnych dwóch kolejnych elementów ai , ai+1 .
16. Ile jest podzbiorów n miejsc przy okrągłym stole nie zawierających żadnych dwóch
miejsc bezpośrednio do siebie przyległych.
17. Udowodnić następujące wzory:
a) Fn2 − Fn+1 Fn−1 = (−1)n dla n ­ 1.
b)
n
X
Fi = Fn+2 − 1.
i=0
bn/2c
c) Fn =
X n−k
k .
k=0
18. Udowodnić, że liczby Fn są złożone dla wszystkich nieparzystych n > 3.
19. Jak jest liczba r-kombinacji multizbioru S = {∞ · a1 , ∞ · a2 , . . . , ∞ · ak }, w których
każdy element a1 , a2 , . . . , ak występuje przynajmniej raz?
20. Niech S będzie multizbiorem typu (n1 , n2 , . . . , nk ), gdzie n1 + n2 + . . . + nk = n. Jaka
jest liczba permutacji kołowych tego multizbioru?
21. Podziałem uporządkowanym zbioru S nazywamy ciąg (A1 , A2 , . . . , Ak ) podzbiorów zbioru
S, którego elementy tworzą podział zbioru S. Ile jest różnych podziałów uporządkowanych zbioru S, takich że |Ai | = ni oraz n = n1 + . . . + nk ?
22. Wskaż związek między podziałami uporządkowanymi zbioru i permutacjami multizbioru.
23. Znaleźć wzór na liczbę słów możliwych do utworzenia z n danych liter, wśród których
m liter jest identycznych, a pozostałe występują dokładnie raz.
24. Na płaszczyźnie danych jest n okręgów. Jaka jest maksymalna liczba obszarów, na które
dzielą one płaszczyznę.
25. Ile najwięcej kawałków sera można uzyskać z pojedynczego grubego kawałka za pomocą n
cięć nożem? Zakładamy, że każde cięcie jest wyznaczone przez płaszczyznę przecinającą
kawałek sera.
26. Sprawdź, że liczby harmoniczne Hn = 1+ 12 + 13 +. . .+ n1 spełniają zależność rekurencyjną
Hn =
1
(Hn−1 + Hn−2 + . . . + H1 ) + 1
n
dla n > 1.
27. Niech f (n) =
Pn
k=1 dlog2 ke.
Wykaż, że
f (n) = n − 1 + f (dn/2e) + f (bn/2c)
dla wszystkich n ­ 1. Pokaż, że jeśli w powyższej zależności wymagamy, by f (1) = 0,
to f jest jedyną funkcją spełniającą tę zależność.
Wsk.: Rozbij dlog2 ke na sumy po k parzystych i nieparzystych
P
28. Wyznacz jawną postać funkcji f (n) z poprzedniego zadania (bez symboli „ ” i „. . .”).