Ćwiczenia III-IV

PROJEKTOWANIE BADAŃ I METODY ANALIZY STATYSTYCZNEJ I
Zakład Analizy Historii Zdarzeń i Analiz Wielopoziomowych
ĆWICZENIA 1 - część I
Zad. 1
Populacja generalna ma rozkład normalny N(6,3). Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia
z próby liczącej dziewięć elementów będzie mniejsza od 4? Wygenerować z tego rozkładu
próbę dziewięcioelementową i obliczyć dla niej średnią.
Zad. 2
Z pewnej populacji o rozkładzie N(3,1) pobrano dziewięcioelementową próbę prostą, z innej
populacji o rozkładzie N(5,2) pobrano czteroelementową próbę prostą. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że średnia z pierwszej próby nie będzie większa od średniej z drugiej
próby. Wygenerować próby o podanych liczebnościach z powyższych rozkładów i wyznaczyć
dla nich średnie.
Zad. 3
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 11. Obliczyć:
a) P S 2  4
b) E S 2
c) D 2 S 2


 
 
Zad. 4
Z populacji normalnej o wariancji równej 4 pobrano próbę o liczebności 51. Obliczyć
P S2  5 .


Zad. 5
Zmienne losowe X, Y, Z, W są niezależne, przy czym X ~ N0,1 , Y ~ N1,1, Z ~  82 ,
W ~  102 . Obliczyć prawdopodobieństwa:


a) P X 2  Y  1  W  21
13


X2 Z
b) P Y  1 
12


2

c) P X  Y  1  0,96 Z  W

Zad. 6
Z dwóch populacji o rozkładach normalnych N(15, 28,82) i N(20, 28,82) wylosowano dwie
próby proste uzyskując następujące wyniki:
i= 1 2 3 4 5
x1i 17 16 13 18
x2i 18 21 24 19 18
Obliczyć prawdopodobieństwa:
a) PX 1  6  X 2 
S
s 
b) P 1  3,03 1 
s2 
 S2
1
c) PS1  3,956S 2 
Zad. 7
Niech X 1 ,, X 10 oraz Y1 ,, Y8 będą niezależnymi próbami prostymi z rozkładów
odpowiednio Nm1 ,   oraz Nm 2 ,  .
a) Podać rozkład zmiennej losowej W 

 X 1 m1 2
2

oraz Z  Y  X .
b) Obliczyć P S X2  6,9SY2 , gdzie S X2 oraz SY2 są odpowiednio wariancjami z tych prób.
Zad. 8
Niech X 1 ,, X 4 będzie próbą losową prostą z rozkładu N0,2. Obliczyć:
a) P X 1  X 2  X 3  X 4  6,56


b) P 3S 2  31,26
c) PX 1  X 2  X 3  X 4  6,56  3S 2  31,26
Zad. 9
Niech X 1 ,, X 6 będzie prostą próbą losową z rozkładu N0,2.
~
a) Obliczyć prawdopodobieństwo P S 2  2,14 .
~
~
b) Obliczyć E S 2 oraz D 2 S 2 .
 
 


Zad. 10
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów normalnych: N0,1 , N2,1 . Zamieścić w jednym układzie
współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.
Zad. 11
Z wykorzystaniem dowolnego pakietu obliczeniowego sporządzić wykresy dystrybuant
i funkcji gęstości rozkładów chi-kwadrat dla 5 i 8 stopni swobody. Zamieścić w jednym
układzie współrzędnych wykresy dystrybuant a w drugim wykresy funkcji gęstości.
2