Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Z zasadą indukcji matematycznej i dowodami indukcyjnymi sytuacja jest najczęściej
taka, że podaje się w szkole treść zasady indukcji matematycznej, a następnie omawia,
jak przeprowadzamy dowody indukcyjne.
Bez dodatkowych wyjaśnień, większość uczniów nie wie jednak, dlaczego dowód
indukcyjny wygląda tak, a nie inaczej, a zwłaszcza, dlaczego w tym dowodzie coś się
zakłada i w oparciu o to założenie dowodzi coś innego.
Wyjaśnimy te wątpliwości, a następnie przeprowadzimy kilka przykładowych dowodów
indukcyjnych.
Zapiszemy najpierw zasadę indukcji matematycznej słownie:
Jeżeli:
twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n0, oraz z prawdziwości
twierdzenia T dla liczby naturalnej n ≥ n0 wynika prawdziwość twierdzenia T dla
liczby n+1, to
twierdzenie T jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ n0.
a teraz symbolicznie (zapis T(k) oznacza, że twierdzenie T jest spełnione dla liczby k):
1.

 2.

T(n 0 ) , n 0 ∈ N
Λ
n≥n0
n∈N

[T(n) ⇒ T(n + 1)]

⇒
Λ T(n)
n≥ n 0
n∈N
Jak widać, zasada indukcji matematycznej jest twierdzeniem, które mówi, że jeżeli
spełnione są dwa założenia, to twierdzenie T dotyczące pewnego podzbioru zbioru liczb
naturalnych można uważać za prawdziwe (udowodnione).
Jest to tym samym wygodny aparat do udowadniania twierdzeń dotyczących zbioru
{n0 , n0 + 1, n0 + 2,...} , n 0 ∈ N .
Sama zasada indukcji matematycznej jest też twierdzeniem, i należy z niej korzystać
zgodnie z regułami wnioskowania.
O tym, jak należy korzystać z twierdzeń zapisanych w postaci implikacji, mówi tzw.
reguła odrywania. Oto ona:
Z⇒T
Z
T
Ten skrócony zapis należy rozumieć następująco:
„Jeżeli:
a) prawdziwe (udowodnione) jest twierdzenie Z ⇒ T ,
b) prawdziwe są założenia Z tego twierdzenia,
to dopiero wtedy możemy korzystać z tezy T (czyli „oderwać założenie od tezy)”.
Przykład:
Prawdziwe jest twierdzenie Pitagorasa.
Trójkąt o bokach długości a,b,c jest prostokątny (c – przeciwprostokątna).
Teraz dopiero możemy stwierdzić, że a 2 + b 2 = c 2 .
Nie można tego równania napisać bez wcześniejszego stwierdzenia, że trójkąt jest
prostokątny!
Podobnie sprawy się mają z zasadą indukcji matematycznej, gdyż ona również ma
postać implikacji:
a) zasada indukcji matematycznej jest udowodniona (prawdziwa),
1. T(n 0 ) , n 0 ∈ N


b) jeżeli sprawdzimy, że spełnione są dwa założenia:  2. Λ [T(n ) ⇒ T(n + 1)]
 nn∈≥ nN0

to na tej podstawie możemy uważać twierdzenie T za prawdziwe (udowodnione).
T(n 0 ) jest łatwo sprawdzić – wystarczy do badanego twierdzenia wstawić liczbę
naturalną n 0 .
Jak sprawdzić, czy prawdziwe jest owo „wynikanie”, czyli implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) ?
Odwołajmy się tu do własności implikacji. Oto tabela wartości logicznych implikacji
(przyjęto: 1=prawda, 0=fałsz):
T(n ) ⇒ T(n + 1)
T(n)
T(n+1)
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Z tabeli wynika, że jeżeli T(n) jest fałszywe, to nie ma co sprawdzać – wtedy implikacja
T(n ) ⇒ T(n + 1) jest prawdziwa.
Interesuje nas tylko przypadek, gdy T(n) jest prawdziwe. Wtedy:
a) gdy T(n+1) jest prawdziwe, to implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) jest prawdziwa,
b) gdy T(n+1) jest fałszywe, to implikacja T(n ) ⇒ T(n + 1) jest fałszywa.
Dlatego właśnie dowód indukcyjny wygląda w ten sposób:
1. Sprawdzamy prawdziwość twierdzenia T dla liczby n0.
2. Zakładamy, że twierdzenie T jest prawdziwe dla pewnej liczby n ≥ n 0 : T(n), bo
tylko w tym przypadku implikacja może być fałszywa. Jest to tzw. „założenie
indukcyjne”.
3. Sprawdzamy, czy z założenia 2. wynika prawdziwość twierdzenia T dla liczby
n+1: T(n+1).
Jeżeli na punkty 1. i 3. odpowiedź brzmi: TAK, to twierdzenie T zostało udowodnione.
Jeżeli na któryś z tych punktów odpowiedź byłaby: NIE, to twierdzenie jest fałszywe.
Przykłady.
Zadanie 1.
Udowodnij, ze dla każdego naturalnego n liczba 4n + 15n − 1 jest podzielna przez 9.
Dowód indukcyjny.
Sprawdzamy dla n=1:
41 + 15 ⋅ 1 − 1 = 18 - ta liczba dzieli się przez 9.
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 1 , tzn.
9 / 4n + 15n − 1 .
(
)
Jeżeli teraz udowodnimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn.
9 / 4n + 1 + 15(n + 1) − 1 , to na mocy zasady indukcji matematycznej dowód będzie
zakończony.
4n + 1 + 15(n + 1) − 1 = 4 ⋅ 4n + 15n + 15 − 1 = 4 ⋅ (4n + 15n − 1) − 3 ⋅ 15n + 18 =
(
)
= 4 ⋅ (4n + 15n − 1)
dzieli się przez 9
z założenia
− 9 ⋅ (5n − 2)
dzieli się przez 9
co kończy dowód.
Zadanie 2.
Udowodnij, ze dla każdego n ∈ N + zachodzi: 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) = n( 3n + 1)
Dowód indukcyjny.
Sprawdzamy dla n=1: 6 ⋅ 1 − 2 = 4 , czyli dla n=1 równanie przyjmuje postać
4 = 1 ⋅ ( 3 ⋅ 1 + 1) ⇔ 4 = 4 , więc jest prawdziwe.
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ∈ N + ,
tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) = n( 3n + 1) .
Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1,
4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) + (6(n + 1) − 2) = (n + 1)( 3(n + 1) + 1) .
tzn.
4 + 10 + 16 + ... + (6n − 2) + (6(n + 1) − 2) = (na mocy założenia)
= n( 3n + 1) + (6(n + 1) − 2) = 3n 2 + n + 6n + 4 = 3n 2 + 7n + 4
Wyrażenie to zapiszemy w postaci iloczynowej:
− 7−1
4
−7+1
∆ = 49 − 48 = 1 , n1 =
= − , n2 =
= −1
6
3
6
4

dalej: 3n 2 + 7n + 4 = 3(n + 1) n +  = (n + 1)( 3n + 4) = (n + 1)( 3(n + 1) + 1) ,
3

co kończy dowód.
Zadanie 3.
Udowodnij, ze dla każdego n ∈ N + zachodzi: 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1)( 3n + 4)
Dowód indukcyjny.
Sprawdzamy dla n=1: 6 ⋅ 1 + 4 = 10 , czyli dla n=1 równanie przyjmuje postać
4 + 10 = (1 + 1) ⋅ ( 3 ⋅ 1 + 4) ⇔ 14 = 14 , więc jest prawdziwe.
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ∈ N + ,
tzn. 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1)( 3n + 4)
Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn.
4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) + (6(n + 1) + 4) = (n + 1 + 1)( 3(n + 1) + 4) .
4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) + (6(n + 1) + 4) = (na mocy założenia)
(n + 1)( 3n + 4) + (6(n + 1) + 4) = 3n 2 + 4n + 3n + 4 + 6n + 10 = 3n 2 + 13n + 14
− 13 − 1
7
− 13 + 1
∆ = 169 − 168 = 1 , n1 =
= − , n2 =
= −2
6
3
6
7

3n 2 + 13n + 1 = 3(n + 2) n +  = (n + 2)(3n + 7) = (n + 2)( 3(n + 1) + 4) ,
3

co kończy dowód.
Zadanie 4.
Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność: 2n > 2n ?
Sformułuj hipotezę i udowodnij ją indukcyjnie.
Rozwiązanie.
Sprawdzamy:
n = 1 : 21 > 2 ⋅ 1 - fałsz
n = 2 : 2 2 > 2 ⋅ 2 - fałsz
n = 3 : 2 3 > 2 ⋅ 3 - prawda
n = 4 : 24 > 2 ⋅ 4 - prawda
n = 5 : 25 > 2 ⋅ 5 - prawda
Hipoteza: 2n > 2n dla n ≥ 3 .
Dowód indukcyjny.
Dla n=3 twierdzenie jest prawdziwe, co już sprawdzaliśmy.
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej n ≥ 3 ,
tzn. 2n > 2n .
Należy udowodnić, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n+1, tzn. 2n + 1 > 2(n + 1) .
2n + 1 = 2 ⋅ 2n = 2n + 2n > (dla n ≥ 3 : 2n > 2 )
> 2n + 2 > (założenie 2n > 2n )
> 2n + 2 = 2(n + 1) , co kończy dowód.
Zadanie 5.
Ciąg (an ) jest określony wzorem rekurencyjnym:
 a1 = A

a 2 = 2 A
 a = 2a − a , n ∈ N
n +1
n
 n+ 2
Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie.
Dla n=1: a 3 = 2a 2 − a1 = 2 ⋅ 2 A − A = 3 A
Dla n=2: a 4 = 2a 3 − a 2 = 2 ⋅ 3 A − 2A = 4A
Dla n=3: a 5 = 2a 4 − a 3 = 2 ⋅ 4 A − 3 A = 5 A
Stawiamy hipotezę: dla n ≥ 1 zachodzi an = n ⋅ A .
Dowód indukcyjny.
Prawdziwość twierdzenia dla n=1 i n=2 już sprawdziliśmy.
Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnych naturalnych n oraz n+1(*), czyli,
że an = n ⋅ A i an + 1 = (n + 1) ⋅ A .
Należy udowodnić, że a n + 2 = (n + 2) ⋅ A
an + 2 = 2an + 1 − an = 2(n + 1) ⋅ A − n ⋅ A = (n + 2) ⋅ A , co kończy dowód.
( )
* Zakładamy, że twierdzenie jest dla dwóch kolejnych liczb, i z tego ma wynikać
prawdziwość twierdzenia dla następnej liczby naturalnej.
Przyczyną takiego postępowania jest definicja rekurencyjna – kolejne wyrazy są liczone
za pomocą dwóch poprzednich wyrazów.
Jest to dopuszczalne.
Zastosowano w ten sposób „zmutowaną” wersję zasady indukcji matematycznej:
1. T(n 0 ) i T(n 0 + 1) , n 0 ∈ N



⇒
Λ T(n)
 2. Λ [T(n ) i T(n + 1)] ⇒ T(n + 2)
n≥ n 0
n≥ n 0
 n∈N

n∈N
Drugie założenie mówi, ze dla dowolnego naturalnego n ≥ n 0 z prawdziwości
twierdzenia dla dwóch kolejnych liczb n oraz n+1, wynika prawdziwość dla liczby n+2.